1、 微专题九 相似三角形综合运用 姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟 1 1(20192019郴州)如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点(不与 A，B 重 合)，把ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A1，延长 EA1交直线 DC 于点 F，再把 BEF 折叠，使点 B 的对应点 B1落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点 H. (1)求证：A1DEB1EH； (2)如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断 DEF 的形状，并说明理由； (3)如图 3，在(2)的条件下，点 G 为DEF 内一点，且DGF150，试探究 DG，
2、EG，FG 的数量关系 2 2(20192019南通)如图，矩形 ABCD 中，AB2，AD4.E，F 分别在 AD，BC 上， 点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称，P 是边 DC 上的一动点 (1)连结 AF，CE，求证：四边形 AFCE 是菱形；来源:163文库 (2)当PEF 的周长最小时，求DP CP的值； (3)连结 BP 交 EF 于点 M，当EMP45时，求 CP 的长 3 3(20192019宿迁)如图，在钝角ABC 中，ABC30，AC4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将BDE 绕点 B 逆时针方向旋转度(0180) (1)如图，当 0180
3、时，连结 AD，CE.求证：BDABEC； (2)如图，直线 CE，AD 交于点 G.在旋转过程中，AGC 的大小是否发生变 化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； (3)将BDE 从图位置绕点 B 逆时针方向旋转 180，求点 G 的运动路程 4 4(20192019武汉)在ABC 中，ABC90，AB BCn，M 是 BC 上一点，连结 AM. (1)如图 1，若 n1，N 是 AB 延长线上一点，CN 与 AM 垂直，求证：BMBN. (2)过点 B 作 BPAM，P 为垂足，连结 CP 并延长交 AB 于点 Q. 如图 2，若 n1，求证：CP PQ BM BQ； 如图
4、3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan BPQ 的值(用含 n 的式子表示) 5 5(20192019眉山)如图1，在正方形ABCD 中，AE 平分CAB，交BC于点E，过点 C 作 CFAE，交 AE 的延长线于点 G，交 AB 的延长线于点 F. (1)求证：BEBF； (2)如图 2，连结 BG，BD，求证：BG 平分DBF； (3)如图 3，连结 DG 交 AC 于点 M，求AE DM的值 6 6(20192019乐山)在ABC 中，已知 D 是 BC 边的中点，G 是ABC 的重心，过 G 点的直线分别交 AB，AC 于点 E，F. (1)如图 1，当 EFBC 时，求证：B
5、E AE CF AF1； (2)如图 2，当 EF 和 BC 不平行，且点 E，F 分别在线段 AB，AC 上时，(1)中的结 论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图 3，当点 E 在 AB 的延长线上或点 F 在 AC 的延长线上时，(1)中的结论是 否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 参考答案 【基础训练】 1(1)证明：由折叠的性质可知： DAEDA1E90，EBHEB1H90，AEDA1ED，BEH B1EH， DEA1HEB190. 又HEB1EHB190， DEA1EHB1， A1DEB1EH. (2)DEF 是等边三角形理由如下：
6、 直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， 点 A1是 EF 的中点，即 A1EA1F. 在A1DE 和A1DF 中， DA1DA1， DA1EDA1F90， A1EA1F， A1DEA1DF(SAS)， DEDF，FDA1EDA1. 又ADEA1DE，ADF90，来源:163文库 ADEEDA1FDA130，来源:学,科,网 Z,X,X,K EDF60， DEF 是等边三角形 (3)由(2)可知DEF 是等边三角形将DGE 逆时针旋转 60到DGF 位置， 如图， GFGE，DGDG，GDG60， DGG是等边三角形， GGDG，DGG60. DGF150， GGF90， GG 2GF2GF
7、2， 即 DG 2GF2GE2. 2证明：(1)如图，连结 AF，CE，AC 交 EF 于点 O. 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ADBC，ADBC， AEOCFO，EAOFCO. 点 A 与点 C 关于 EF 所在的直线对称， AOCO，ACEF. AEOCFO，EAOFCO，AOCO， AEOCFO(AAS)， AECF，且 AECF， 四边形 AFCE 是平行四边形 又ACEF， 四边形 AFCE 是菱形 (2)如图，作点 F 关于 CD 的对称点 H，连结 EH，交 CD 于点 P，此时EFP 的周 长最小 四边形 AFCE 是菱形， AFCFCEAE. AF 2BF2AB2，
8、 AF 2(4AF)24， AF5 2，AECF 5 2，DE 3 2. 点 F，点 H 关于 CD 对称，CHCF5 2. ADBC， DP CP DE CH 3 5. (3)如图，延长 EF，延长 AB 交于点 N，过点 E 作 EHBC于 H，交 BP 于点 G，过 点 B 作 BOFN 于点 O. 由(2)可知，AECF5 2，BFDE 3 2. EHBC，AABC90， 四边形 ABHE 是矩形， ABEH2，BHAE5 2，FH1， EF EH 2FH2 5. ADBC，BFNAEN， BN AN BF AE FN EN， BN BN2 3 5 NF NF 5， BN3，NF3 5
9、 2 ， AN5，NE5 5 2 . NN，BONA90， NBONEA，BN EN BO AE NO AN， 3 5 5 2 BO 5 2 NO 5 ， BO3 5 5 ，NO6 5 5 . EMPBMO45，BOEN， OBMBMO45，BOMO3 5 5 ， MEENNOMO7 5 10 . ABEH，BNMGEM， BN EG NM EM， 3 EG 9 5 5 7 5 10 ， EG7 6，GHEHEG 5 6. EHCD，BGHBPC， GH CP BH BC， 5 6 PC 5 2 4，CP 4 3. 3解：(1)由图，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， DEA
10、C，BD BA BE BC， BD BE BA BC. 在图中，DBEABC， DBAEBC， DBAEBC. (2)AGC 的大小不发生变化，AGC30. 理由：在图中，设 AB 交 CG 于点 O. DBAEBC，DABECB. DABAOGG180，ECBCOBABC180，AOG COB， GABC30. (3)如图，设 AB 的中点为 K，连结 DK，以 AC 为边向右作等边ACO，连结 OG， OB. 以 O 为圆心，OA 为半径作O， AGC30，AOC60， AGC1 2AOC， 点 G 在O 上运动来源:学#科#网 以 B 为圆心，BD 为半径作B，当直线与B 相切时，BDA
11、D， ADB90. BKAK，DKBKAK. BDBK，BDDKBK， BDK 是等边三角形， DBK60， DAB30， BOG2DAB60， BG 的长604 180 4 3 . 观察图象可知，点 G 的运动路程是BG 的长的两倍，因此点 G 的运动路程是8 3 . 4(1)证明：如图 1 中，延长 AM 交 CN 于点 H. AMCN，AHC90. ABC90， BAMAMB90，BCNCMH90. AMBCMH，BAMBCN. 在ABM 和CBN 中， BAMBCN， ABBC， ABMCBN， ABMCBN(ASA)， BMBN. (2)证明：如图 2 中，作 CHAB 交 BP 的
12、延长线于 H. BPAM，BPMABM90. BAMAMB90， CBHBMP90， BAMCBH. CHAB，HCBABC180. ABC90，ABMBCH90. 在ABM 和BCH 中， BAMCBH， ABBC， ABMBCH， ABMBCH(ASA)， BMCH. CHBQ，CP PQ CH BQ BM BQ. tanBPQ1 n. 5(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABC90，ABBC， EABAEB90. AGCF，FCBCEG90. AEBCEG， EABFCB. 在ABE 和CBF 中， EABFCB， ABBC， ABECBF90， ABECBF(ASA)， BEB
13、F. (2)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABDCAB45. AE 平分CAB，CAGFAG22.5. 在AGC 和AGF 中， CAGFAG， AGAG， AGCAGF90， AGCAGF(ASA)， CGGF. CBF90， GBGCGF， GBFGFB90FCB 90GAF9022.567.5， DBG180ABDGBF来源:Z.xx.k.Com 1804567.567.5， DBGGBF， BG 平分DBF. (3)解：连结 BG，如图所示 四边形 ABCD 是正方形， DCAB，DCAACB45，DCB90， AC 2DC. DCGDCBBCFDCBGAF 9022.5112.
14、5， ABG180GBF18067.5112.5， DCGABG. 在DCG 和ABG 中， DCAB， DCGABG， CGBG， DCGABG(SAS)， CDGGAB22.5， CDGCAG. DCMACE45， DCMACE， AE DM AC DC 2. 6(1)证明：G 是ABC 重心，DG AG 1 2. 又EFBC， BE AE DG AG 1 2， CF AF DG AG 1 2， 则BE AE CF AF 1 2 1 21. (2)解：(1)中结论成立，理由如下： 如图，过点 A 作 ANBC 交 EF 的延长线于点 N，FE，CB 的延长线相交于点 M， 则BMEANE，
15、CMFANF， BE AE BM AN， CF AF CM AN， BE AE CF AF BM AN CM AN BMCM AN . 又BMCMBMCDDM， 而 D 是 BC 的中点，即 BDCD， BMCMBMBDDMDMDM2DM， BE AE CF AF 2DM AN . 又DM AN DG AG 1 2， BE AE CF AF2 1 21， 故结论成立 (3)解：(1)中结论不成立，理由如下： 当 F 点与 C 点重合时，E 为 AB 中点，BEAE. 点 F 在 AC 的延长线上时，如图，BEAE， BE AE1，则 BE AE CF AF1. 同理，当点 E 在 AB 的延长线上时，BE AE CF AF1， 结论不成立
