1、 - 1 - 北京市海淀北大附中 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 理（含解析） 一、本大题共 4 小题，共计总分 15 分（每空 3 分，共 5 空，合计 15 分） 已知 x 、 y 、 z 均为实数， m ， n 为确定实数写成下列各问题： （可用字母与符号： m 、 n 、 p 、 q 、 ? 、 ? 、 ? 、 ? 、 ? ） 1设命题 p 为： “ 0m? ” ，表述命题 p? ： _ a bDABCB 1C 1D 1A 1【答案】 0m? 【解析】 0m? 的否这是： 0m? ， 若 p 为： 0m? ，则 :0pm? 2设命题 q 为： “ 0n? ” ，用字母与
2、符号表述命题 “ m 、 n 均为非零实数 ” ： _ A 1D 1 C1B 1CBAD 【答案】 pq? 【解析】 “ m 、 n 均为非零实数 ” ，即 “ 0m? ， 0n? ” ， 又命题 :p “ 0m? ” ，命题 q 为： “ 0n? ” ，故用字母符号表述命题： “ m 、 n 均为非零实数 ” 为： pq? 3已知增函数 ()y f x? ，命题 :t “ xy? ， ( ) ( ) 0f x f y? ” ， t? 是： _ 【答案】 xy? ， ( ) ( ) 0f x f y? 【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时 否定结论，故命题 :r “ xy? ，
3、( ) ( ) 0f x f y? ” ， - 2 - 则 r? 是： xy? ， ( ) ( ) 0f x f y? 4某学生三好学生的评定标准为： （ 1）各学科成绩等级均不低于等级 B ，且达 A 及以上等级学科比例不低于 85% ； （ 2 ）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于 85%； （ 3 ）体育学科综合成绩不低于 85 分 设学生达 A 及以上等级学科比例为 %x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为 %y ，学生的体育学科综合成绩为 (0 100)x yzz、 、 用 (, , )xyz 表示学生的评定数据 已知参评候选人各学业成绩均不低于 B ，且
4、无违反学校规定行为则： （ 1）下列条件中，是 “ 学生可评为三好学生 ” 的充分不必要条件的有 _ (85,80,100) (85,85,100) 255x y z? 285x y z? （ 2 ）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件 _ 【答案】（ 1） （ 2 ） 200x y z? 【解析】（ 1）对于 ，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是 80% ，低于 85% ，不能被评三好学生，充分性不成立； 对于 ，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是 (85,85,100) ，必要性不
5、成立，故 符合题意； 对 于 ，由 85x ， 85Y ， 85z? ，得 255x Y z? ，故 255x y z? 是学生可评为三好学生的充要条件，故 不符合题意； 对于 ，由 知 285x Y z? 是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故 符合题意 综上所述， “ 学生可评为三好学生 ” 的充分不必要条件有 （ 2 ）由（ 1）可知， 255x y z? 是 “ 学生可评为三好学生 ” 的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是： 200x y z? 二、本大题共 7 小题，共计总分 31 分（填空 2（ 1）， 6（ 1）每空 4 分， 2（ 2）， 6（ 2）每空4 分，其余
6、每空 3 分，共 7 空，合计 21 分；第 3， 4 小题为解答题，每题 5 分，合计 10 分） 已知单位正方形 1 1 1 1ABCD A B C D? ，点 E 为 11BD中点 1设 1AD a? ， 1AB b? ，以 ? ?a b c、 、 为基底 表示：（ 1） AE? _；（ 2 ） 1AC? _ 【答案】（ 1） 1122ab? （ 2 ） 1 1 12 2 2abc? 【解析】（ 1）在 11ABD ， 1AB b? ， 1AD a? ， E 为 11BD中点， 111 1 1 1( ) ( )2 2 2 2A E A B A D a b a b? ? ? ? ? ? -
7、 3 - （ 2 ）11 111 1 1 1 12 2 2 2 2A C A E E C A E A C A E A C a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 2以 A 为原点，分别以 AB 、 AD 、 1AA 为 x 、 y 、 z 轴，建立空间直角坐标系，则： （ 1）点 E 坐标为 _ （ 2 ）若点 F 满足： F 在直线 1BB 上，且 EF 面 11ADC ，则点 F 坐标为 _ 【答案】（ 1） 11, ,122?（ 2 ） 11,0,2? 【解析】（ 1） 1 1 1 1ABCD A B C D? 是单位正方体， 棱长为 1， 1(1,0,1)B ， 1(0,1,1)
8、D ， 由中点坐标公式得 11, ,122E? （ 2 ）易知当 F 为 1BB 中点时， 1EF BD ，从而 EF 平面 11ADC ， 11,0,2F? 以下 3、 4 题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3求直线 1AB 与 11ADC 所成的角 【答案】见解析 【解析】解：设直线 1AB 与平面 11ADC 所成的角为 ? ， (0,0,0)A ， 1(1,0,1)B ， 1(1,1,1)C ， 1(0,1,1)D ， 1 (1,0,1)AB ? ， 1 (1,1,1)AC ? ， 1 (0,1,1)AD ? ， 设平面 11ADC 的一个法向量为 ( , , )n x
9、y z? ， 则 1100AC nAD n? ? ?，即 00x y zyz? ? ? ?，令 1y? ，则 0x? ， 1z? ， (0,1, 1)n?， 1 | | 1 1s in | c o s , | 2| | | | 22A B nA B n A B n? ? ? ? ? ? ? ?， 30?，即直线 1AB 与平面 11ADC 所成的角为 30? 4求二面角 1 1 1B AD C?的大小 【答案】见解析 - 4 - 【解析】解：设平面 11ABD 的一个法向量为 ( , , )m x y z? ， 则 1100AB mAD m? ? ?，即 00xzyz? ?，令 1x? ，则
10、1y? ， 1z? ， (1,1, 1)m?， 由 3 知平面 11ADC 的法向量 (0,1, 1)n?， 2 2 6c o s , 33 2 3mn? ? ? ?， 故二面角 1 1 1B AD C?的大小为 6arccos3 5过点 C 与直线 1AC 所成角为 45 ，且与平面 ABCD 所成角为 60 的直线条数为 _ 【答案】 2 【解析】过点 C 与直线 1AC 所成角为 45 ，且与平面 ABCD 所成角为 60 的直线条数与过 1C 与直线 1AC 所成角为 45? ，且与平面 ABCD 所在的角为 60? 的直线条数相同，过 1C 与直线 1AC 所成角为 45? 的直线为
11、以 1C 为项点，以 1AC 为轴线的圆锥的 母线，过 1C 且与平面 ABCD 所成角为 60? 的直线是以 1C 为顶点，以 1CC 为轴线，顶角为 60? 的圆锥的母线，由于 1tan 2AC C ? ，所以 145 60AC C? ? ? ，故这两个圆锥 曲面的相交，有 2 条交线，从而过点 C 与直线 1AC 所成角为 45? ，且与平面 ABCD 所成角为 60? 的直线条数为 2 6设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点 A 的平面组为：面 11ADDA 、面 ABCD 、面11ABBA 正方体内（含表面）有一动点 P ，到共点于 A 的三个面的距离依次为 1d 、 2d 、
12、3d （ 1）写出一个满足 1 2 3 1d d d?的点 P 坐标 _（按 2 题建系） （ 2 ）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于 1，则该点轨迹图形的体积为： _ d 1d 3d 2PDA BCB 1C 1D 1A 1【答 案】（ 1） (0,0,1) （ 2 ） 112 - 5 - 【解析】（ 1）设 ( , , )Pxyz ，则 P 到平面 11ADDA 的距离为 x ， P 到平面 ABCD 的距离为 z ， P到平面 11ABBA 的距离为 y ，故由 1 2 3 1d d d?得 1x y z? ? ? ，故任写一个满足 1x y z? ? ? 的坐标
13、即可， 0(0,0,1)y （ 2 ）若点 P 到共顶点 A 的平面组的距离和 1x y z? ? ? ，则点 P 位于平面 1ABD 上，若点 P 到共顶点 A 的平面组的距离和 1x y z? ，则 P 位于正方体除去三棱锥 1A ABD? 剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于 1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积 21 2 1 13 2 2 12V ? ? ? ? A 1D 1 C1B 1CBAD 三、本大题共 4 小题 共计总分 41 分（填空 1， 3（ 1）每小题 4 分， 3（ 3），（ 4）每小题 2 分，其余各填空
14、题每题 3 分，共 12 小题，合计 36 分， 4（ 1）题赋分最高 5 分） 圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图 1） 图 11写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称： _ 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线 【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和 且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线 - 6 - 2直角坐标系，圆锥曲线 C 的方程 22 1yx n?， O
15、为原点（如图 1） （ 1 ）为获得（如图 1 ）中用与圆锥轴线 垂直 方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 n? _； （ 2 ）为获得（如图 1 ）中用与圆锥轴线 平行 方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取 n? _； （ 3 ）上问 2 （ 2 ）中，对应取定 n 值的曲线，其离心率 e? _； （ 4 ）上问 2 （ 2 ）中，对应取定 n 值的曲线，其渐近线方程是 _； （ 5 ）为得到比（ 2 ）中开口更大同类曲线，写出一个新取值 n? _ 【答案】（ 1） 1n? （ 2 ） 3? （ 3 ） 2 （ 4 ） 3yx? （ 5 ） 4n? 【解析】（ 1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得
16、的圆锥曲线是圆，此时 1n? （ 2 ）用与圆锥轴线平行方向的平面截 得的圆锥曲线是双曲线，此时 0n? ，故可取 3n? （ 3 ）当 3n? 时，圆锥曲线 C 的方程为 22 13yx ?，此时 1a? ， 3b? ， 2c? ，故其离心率e2ca? （ 4 ）由（ 3 ）知，双曲线 C 的渐近线方程为： 3yx? （ 5 ）双曲线的离心率越大，开口越大，对于 22 1yx n?，要使离心率大于 2 ，则 3n? ，故可取 4n? 3同 2 小题中曲线 C 条件，且曲线 C 为椭圆，设 1F 、 2F 为两个焦点， A 点在曲线 C 上 （ 1）若焦点在 y 轴上，可取 n? _； （ 2 ）描述 3（ 1）中椭圆至少两个几何特征： _； _ （ 3 ）若 4n? ，则 12AFF 的周长为 _； （ 4 ）若 2AOF 是以 AO 为斜边的等腰直角三角形（如图 2 ），则椭圆的离心率 e? _
