1、题组层级快练题组层级快练(二十九二十九) 1已知ABC，a 5，b 15，A30，则 c( ) A2 5 B. 5 C2 5或 5 D均不正确 答案 C 解析 a sinA b sinB，sinB bsinA a 15 5 sin30 3 2 . ba，B60或 120. 若 B60，C90，则 c a2b22 5. 若 B120，C30，则 ac 5. 2 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 a 3， b2， A60， 则 c( ) A.1 2 B1 C. 3 D2 答案 B 解析 a 3，b2，A60，由余弦定理 a2b2c22bccosA，得 34c2 2
2、2c1 2，整理得 c 22c10，解得 c1.故选 B. 3(2020 安徽合肥模拟)在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 3 2 ，则 BC 的 长为( ) A. 3 2 B. 3 C2 3 D2 答案 B 解析 因为 S1 2ABACsinA 1 22 3 2 AC 3 2 ，所以 AC1， 所以 BC2AB2AC22AB ACcos603. 所以 BC 3. 4(2018 课标全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 a2b2c2 4 ，则 C( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案 C 解析 根据题意及三角形的面积公式知1
3、 2absinC a2b2c2 4 .所以 sinCa 2b2c2 2ab cosC， 所以在ABC 中，C 4 . 5(2020 昆明市高三诊断测试)在平面四边形 ABCD 中，D90，BAD120，AD 1，AC2，AB3，则 BC( ) A. 5 B. 6 C. 7 D2 2 答案 C 解析 如图，在ACD 中，D90，AD1，AC2，所以CAD 60.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC 中， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB ACcosBAC7， 所以 BC 7. 故选 C. 6 (2020 湘东六校联考)若ABC 的三个内角满足 6sinA4sinB3sinC
4、， 则ABC 是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上都有可能 答案 C 解析 由题意，利用正弦定理可得 6a4b3c，则可设 a2k，b3k，c4k，k0，则 cosC 4k 29k216k2 22k3k 0，所以 C 是钝角，所以ABC 是钝角三角形，故选 C. 7(2020 江西七校一联)在ABC 中，若 sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，则ABC 的形状一定是( ) A等边三角形 B不含 60的等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形 答案 D 解析 sin(AB)12cos(BC)sin(AC)12cosAsinB，sinAcosBcosAsinB1 2
5、cosAsinB，sinAcosBcosAsinB1，即 sin(AB)1，则有 AB 2 ，故三角形为直 角三角形 8(2014 江西，理)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2(ab)2 6，C 3 ，则ABC 的面积是( ) A3 B.9 3 2 C.3 3 2 D3 3 答案 C 解析 利用所给条件以及余弦定理整体求解 ab 的值，再利用三角形面积公式求解 c2(ab)26，c2a2b22ab6. C 3 ，c2a2b22abcos 3 a2b2ab. 由得ab60，即 ab6. SABC1 2absinC 1 26 3 2 3 3 2 . 9(2015
6、安徽)在ABC 中，AB 6，A75，B45，则 AC_ 答案 2 解析 因为A75，B45，所以C60，由正弦定理可得 AC sin45 6 sin60， 解得 AC2. 10(2018 课标全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinCcsinB 4asinBsinC，b2c2a28，则ABC 的面积为_ 答案 2 3 3 解析 由 bsinCcsinB4asinBsinC， 得 sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC， 因为 sinBsinC 0， 所以sinA1 2.因为b 2c2a28， cosAb 2c2a2 2bc ， 所以bc8
7、 3 3 ， 所以SABC1 2bcsinA 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 . 11(2019 课标全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinAacosB 0，则 B_ 答案 3 4 解析 方法一：依题意与正弦定理得 sinBsinAsinAcosB0，即 sinBcosB，则 tanB 1.又 0B，所以 B3 4 . 方法二：由正弦定理得 bsinAasinB，又 bsinAacosB0，所以 asinBacosB0，即 sinB cosB，则 tanB1.又 0B0，故 cosB0，cosB1 2.又 0B0，因此 cosB1 2， 又 0B，所
8、以 B 3 . 13(2020 沈阳市模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2c2a2 bc. (1)求角 A 的大小； (2)若 sinA2sinBcosC，试判断ABC 的形状并给出证明 答案 (1) 3 (2)ABC 为等边三角形，证明略 解析 (1)由 b2c2a2bc，可知b 2c2a2 2bc 1 2，根据余弦定理可知，cosA 1 2， 又角 A 为ABC 的内角，所以 A 3 . (2)方法一：由三角形内角和定理得 A(BC)，故 sinAsin(BC)， 根据已知条件，可得 sin(BC)2sinBcosC，整理得 sinBcosCcosBsi
9、nC0， 所以 sin(BC)0. 又 BC(，)，所以 BC. 又由(1)知 A 3 ，所以ABC 为等边三角形 方法二：由正弦定理和余弦定理，得 a2ba 2b2c2 2ab ，整理得 b2c2，即 bc. 又由(1)知 A 3 ，所以ABC 为等边三角形 14(2017 北京，理)在ABC 中，A60，c3 7a. (1)求 sinC 的值； (2)若 a7，求ABC 的面积 答案 (1)3 3 14 (2)6 3 解析 (1)根据正弦定理 a sinA c sinCsinC csinA a 3 7sin60 3 7 3 2 3 3 14 . (2)当 a7 时，c3 7a3a，又 si
10、nC 3 3 14 ，cosC 1sin2C13 14. 在ABC 中，sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC 3 2 13 14 1 2 3 3 14 4 3 7 ，SABC1 2acsinB 1 273 4 3 7 6 3. 15(2020 沧州七校联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知(16b 11c)cosA11acosC. (1)求 cosA 的值； (2)若 bc4，求 a 的最小值 答案 (1)11 16 (2) 10 2 解析 (1)由已知(16b11c)cosA11acosC 及正弦定理，得(16sinB11sin
11、C)cosA 11sinAcosC， 即 16cosAsinB11(sinAcosCcosAsinC)11sinB，且 sinB0，所以 cosA11 16. (2)由 bc4，可得 b2c22bc16， 则 162bc2bc，解得 bc4，当且仅当 bc2 时，等号成立 由余弦定理可得a2b2c22bc11 16(bc) 227 8 bc1627 8 bc5 2， 所以a的最小值为 10 2 . 16 (2018 天津)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 bsinAacos B 6 . (1)求角 B 的大小； (2)设 a2，c3，求 b 和 sin
12、(2AB)的值 答案 (1) 3 (2) 7 3 3 14 解析 (1)在ABC 中，由正弦定理 a sinA b sinB，可得 bsinAasinB，又由 bsinA acos B 6 ，得 asinBacos B 6 ，即 sinBcos B 6 ，可得 tanB 3.又因为 B(0， )，可得 B 3 . (2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B 3 ，有 b2a2c22accosB7，故 b 7. 由 bsinAacos B 6 ，可得 sinA 3 7.因为 ac，故 cosA 2 7.因此 sin2A2sinAcosA 4 3 7 ，cos2A2cos2A11 7， 所以
13、 sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 . 17 (2020 衡水中学调研卷)设ABC的内角A， B， C所对边的长分别为a， b， c， 且有2sinBcosA sinAcosCcosAsinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 b2，c1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长 答案 (1) 3 (2) 7 2 解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosAsin(AC)sinB，因为 sinB0，所以 cosA1 2. 由于 0A，故 A 3 . 方法二：由题设可知，2bb 2c2a2 2bc a a2b2c2 2ab
14、cb 2c2a2 2bc ，于是 b2c2a2bc， 所以 cosAb 2c2a2 2bc 1 2. 由于 0A，故 A 3 . (2)方法一： 因为AD 2 AB AC 2 2 1 4(AB 2AC22AB AC )1 4 14212cos 3 7 4，所以|AD | 7 2 ，从而 AD 7 2 . 方法二：因为 a2b2c22bccosA412211 23，所以 a 2c2b2，B 2 . 因为 BD 3 2 ，AB1，所以 AD13 4 7 2 . 补充作业(教师选用) 1由下列条件解ABC，其中有两解的是( ) Ab20，A45，C80 Ba30，c28，B60 Ca14，c16，A
15、45 Da12，c15，A120 答案 C 解析 对于 A， 由 A45， C80得 B55， 由正弦定理 a sinA b sinB c sinC， 得 a bsinA sinB 10 2 sin55，c 20sin80 sin55 ，此时ABC 仅有一解，A 不符合条件；对于 B，由 a30，c 28，B60，由余弦定理 b2a2c22accosB，得 b2844，可得 b2 211，此时ABC 仅有一解，B 不符合条件；对于 D，由 a12，c15，知 ac，则 A 2 2 ，又 ca，故 C45，由正弦函数的图象和性 质知，此时ABC 有两解，故选 C. 2(2016 课标全国，理)在
16、ABC 中，B 4 ，BC 边上的高等于1 3BC，则 cosA( ) A.3 10 10 B. 10 10 C 10 10 D3 10 10 答案 C 解析 设ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意可得1 3acsin 4 2 2 c，则 a 3 2 2 c.在ABC 中，由余弦定理可得 b2a2c2 2ac9 2c 2c23c25 2c 2，则 b 10 2 c. 由余弦定理，可得 cosAb 2c2a2 2bc 5 2c 2c29 2c 2 2 10 2 cc 10 10 ，故选 C. 3(2020 郑州市第一次质量预测)在ABC 中，三边长分别为 a，a2，a4，最
17、小角的余 弦值为13 14，则这个三角形的面积为( ) A.15 3 4 B.15 4 C.21 3 4 D.35 3 4 答案 A 解析 由条件知长为 a 的边对应的角最小，设为 A，则由余弦定理，得 cosA （a2）2（a4）2a2 2（a2）（a4） 13 14，解得 a3 或 a2(舍去)，则三边长分别为 3，5，7，且 sinA3 3 14 ，所以ABC 的面积 S1 257 3 3 14 15 3 4 ，故选 A. 4(2020 陕西西安一中期中)在ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则 A 的取值范 围是( ) A. 0， 6 B. 6 ， C. 0，
18、3 D. 3 ， 答案 C 解析 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理，得 a2b2c2bc，bcb2c2 a2.cosAb 2c2a2 2bc 1 2，A 3 .A0，A 的取值范围是 0， 3 .故选 C. 5 (2014 课标全国， 理)已知钝角三角形 ABC 的面积是1 2， AB1， BC 2， 则 AC( ) A5 B. 5 C2 D1 答案 B 解析 由题意可得1 2ABBCsinB 1 2，又 AB1，BC 2，所以 sinB 2 2 ，所以 B45 或 B135.当 B45时，由余弦定理可得 ACAB2BC22AB BC cosB1，此时 ACAB1，B
19、C 2，易得 A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以 B135. 由余弦定理可得 AC AB2BC22AB BC cosB 5.故选 B. 6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2Acos2B2cos2C，则 cosC 的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D1 2 答案 C 解析 由 cos2Acos2B2cos2C，得 12sin2A12sin2B2(12sin2C)， 即 sin2Asin2B2sin2C，由正弦定理可得 a2b22c2.由余弦定理可得 c22abcosC2c2， 所以 cosC c2 2ab a2b2 4ab 2a
20、b 4ab 1 2，所以 cosC 的最小值为 1 2，故选 C. 7如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则 AB 的长为( ) A. 3 2 B.5 3 2 C.5 6 2 D5 6 答案 C 解析 在ABC 中，AD5，AC7，DC3，cosADCAD 2DC2AC2 2ADDC 1 2， ADC120，ADB60，在ABD 中，AD5，B45，ADB60，由 正弦定理 AB sinADB AD sinB，得 AB 5 6 2 . 8(2020 吉林一中模拟)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acosC 3 2 c b，则
21、A_ 答案 6 解析 由余弦定理得 cosCa 2b2c2 2ab ，将其代入 acosC 3 2 cb 中得，aa 2b2c2 2ab 3 2 cb，化简整理得 b2c2a2 3bc，于是 cosAb 2c2a2 2bc 3 2 ，所以 A 6 . 9(2018 北京)若ABC 的面积为 3 4 (a2c2b2)，且C 为钝角，则B_；c a的 取值范围是_ 答案 60 (2，) 解析 ABC 的面积 S1 2acsinB 3 4 (a2c2b2) 3 4 2accosB， 所以 tanB 3， 因为 0 B180，所以B60.因为C 为钝角，所以 0A30，所以 0tanA2，故 c a的
22、取值范围为(2， ) 10(2018 江苏)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_ 答案 9 解析 因为ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以ABDCBD60， 由三角形的面积公式可得1 2acsin120 1 2asin60 1 2csin60， 化简得 acac， 又 a0， c0， 所以1 a 1 c1，则 4ac(4ac) 1 a 1 c 5c a 4a c 52 c a 4a c 9，当且仅当 c2a 时 取等号，故 4ac 的最小值为 9. 11(2020 长
23、沙市统考)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asin(AB) csinBC 2 . (1)求 A； (2)若ABC 的面积为 3，周长为 8，求 a. 答案 (1)60 (2)13 4 解析 (1)由题设得 asinCccosA 2， 由正弦定理得 sinAsinCsinCcosA 2，易知 sinC0，所以 sinAcos A 2， 所以 2sinA 2cos A 2cos A 2，易知 cos A 20，所以 sin A 2 1 2，故 A60. (2)由题设得1 2bcsinA 3，从而 bc4. 由余弦定理得 a2(bc)212. 又 abc8，所以 a2(
24、8a)212，解得 a13 4 . 12(2017 课标全国，理)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA 3 cosA0，a2 7，b2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 答案 (1)4 (2) 3 解析 (1)由已知可得 tanA 3，所以 A2 3 . 在ABC 中，由余弦定理得 284c24ccos2 3 ，即 c22c240.解得 c6(舍去)，c 4. (2)由题设可得CAD 2 ，所以BADBACCAD 6 .故ABD 面积与ACD 面 积的比值为 1 2AB AD sin 6 1 2ACAD 1.又A
25、BC 的面积为1 242sinBAC2 3， 所以ABD 的 面积为 3. 13(2020 郑州市质检一)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面 积为 S，且满足 sinBb 2 4S. (1)求 sinAsinC； (2)若 4cosAcosC3，b 15，求ABC 的周长 答案 (1)1 2 (2)3 3 15 解析 (1)由三角形的面积公式可得 S1 2bcsinA，又 sinB b2 4S，2bcsinAsinBb 2，即 2csinAsinBb， 由正弦定理可得 2sinCsinAsinBsinB，sinB0，sinAsinC1 2. (2)4cosA
26、cosC3，cosAcosC3 4，cosAcosCsinAsinC 3 4 1 2 1 4， 即 cos(AC)1 4，cosB 1 4，0B，sinB 15 4 ， a sinA b sinB c sinC 15 15 4 4，sinAsinCac 16 1 2，ac8. b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，(ac)2151227，ac3 3. ABC 的周长为 abc3 3 15. 14(2020 济南市质量评估)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ca 2bcosA. (1)求角 B 的大小； (2)若 a5，c3，边 AC 的中点为
27、D，求 BD 的长 答案 (1)2 3 (2) 19 2 解析 (1)由 2ca2bcosA 及正弦定理，得 2sinCsinA2sinBcosA， 又 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以 2sinAcosBsinA0， 因为 sinA0，所以 cosB1 2，因为 0B，所以 B 2 3 . (2)由余弦定理得 b2a2c22accosABC52325349，所以 b7，所以 AD7 2. 因为 cosBACb 2c2a2 2bc 49925 273 11 14， 所以 BD2AB2AD22 AB ADcosBAC949 4 237 2 11 14 19 4 ，所以
28、 BD 19 2 . 15(2020 福州市质检)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 成等 差数列，且 b 3 2 . (1)求ABC 的外接圆直径； (2)求 ac 的取值范围 答案 (1)1 (2) 3 2 ， 3 解析 (1)因为角 A，B，C 成等差数列， 所以 2BAC，又因为 ABC，所以 B 3 . 根据正弦定理得ABC 的外接圆直径 2R b sinB 3 2 sin 3 1. (2)方法一：由 B 3 ，知 AC2 3 ，可得 0A2 3 . 由(1)知ABC 的外接圆直径为 1，根据正弦定理得 a sinA b sinB c sinC1， 所以 acsinAsinCsinAsin 2 3 A 3 3 2 sinA1 2cosA 3sin A 6 . 因为 0A2 3 ，所以 6 A 6 5 6 . 所以1 2sin A 6 1，从而 3 2 3sin A 6 3，所以 ac 的取值范围是 3 2 ， 3 . 方法二：由(1)知，B 3 ， b2a2c22accosB(ac)23ac(ac)23 ac 2 2 1 4(ac) 2(当且仅当 ac 时，取等 号)，因为 b 3 2 ，所以(ac)23，即 ac 3， 又三角形两边之和大于第三边，所以 3 2 ac 3， 所以 ac 的取值范围是 3 2 ， 3 .
