1、 - 1 - 福建省漳州市八校 2017届高三数学下学期 3 月联考试卷 文 一、选择题：（ 每小题 5分 ,共 60分） 1.已知集合 ? ? ? ?0 ,1 , 2 , 1 1 ,M N x x x Z? ? ? ? ? ?，则 M N为（ ） A ? ?0,1 B ? ?0,1 C ? ?0,1 D ? 2.已知复数 ? ?3 biz b Ri?的实部和虚部 相等，则 z? ( ) A 2 B 3 C 22 D 32 3. 命题 p:x R且满足 sin2x=1.命题 q:x R且满足 tanx=1.则 p是 q的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分
2、也不必要条件 4已知点 P的坐标（ x， y）满足 ，过点 P的直线 l与圆 C： x2+y2=16 相交于 A， B两点， 则 |AB|的最小值为 （ ） A B C D 5.“微信抢红包”自 2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 9元，被随机分配为 1.49元， 1.31元， 2.19元， 3.40元， 0.61 元，共 5份，供甲、乙等 5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是（ ） A. 25 B. 12 C. 43 D. 65 6设方程 2x|lnx|=1 有两个不等的实根 x1和 x2，则（ ） A x1x
3、2 0 B x1x2=1 C x1x2 1 D 0 x1x2 1 7某程序框图如右图所示，其中21()gx xx? ?，若输出的 20162017S? ， 则判断框内应填入的条件为 （ ） A. 2017n? B. 2017n? C. 2017n? D. 2017n? 8. 某几何体的三视图如图所示，则刻几何体的体积为（） A 23 B 43 C.53 D 73 9.为得到函数 22 cos 3 sin 2y x x?的图象，只需将函数 2sin2 1yx?的图像 （ ） - 2 - A向左平移 12 个长度单位 B向右平移 12 个长度单位 C向左平移 512 个长度单位 D向右平移 512
4、 个长度单位 10.已知 M 是抛物线 C ： 2 2 ( 0)y px p?上一点 ， F 是抛物线 C 的 焦点 ， 若 |MF p? ， K是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点 ， 则 MKF?（ ） A 60? B 45? C 30? D 15? 11.我国南宋著名数学家 秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC? 三个内角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，面积为 S ，则 “三斜求积”公式为22 2 222142a c bS a c? ?.若 ? ?222s in 4 s in 1 2a C A a c b? ? ? ?，则用“三斜求积”公
5、式求得 ABC? 的面积为（ ） A. 3 B.2 C.3 D. 6 12.若函数1( ) c os 2 3 ( si n c os ) ( 4 1 )2f x x a x x a x? ? ? ? ?在 ,02?上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A1 ,17B1 , 7?C. 1( , 1, )7? ? ?D1, )?二、填空题（每题 5分，满分 20 分） 13函数 ? ? lnf x x? 在 1x? 处的切线方程是 _ 14.若 | | 1a? ， | | 2b? ， c a b?，且 ca? ，那么 a 与 b 的夹角为 15.在锐角 ABC? 中，内角 ,ABC 的对边分别为
6、 ,abc，且 2 sin 3a B b? ， 2, 4a b c? ? ? ，则 ABC? 的面积 = 16. 已知双曲线 22 1yx m?的左右焦点分别为 12,FF，过点 2F 的直线交双曲线右支于 ,AB两点，若 1ABF? 是以 A 为直角顶点的等腰三角形，则 12AFF? 的面积为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .） 17. (本小题满分 12分 )已知数列 ?na 满足 112, 2 1nna a a? ? ?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 )a(nb nn 1? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS . - 3 - 18. (本小题满分
7、12分 ) 某中学高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人。为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从 中抽取了 100 名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成 5 组：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 0 , 1 2 0 , 1 2 0 , 1 3 0 , 1 3 0 , 1 4 0 , 1 4 0 , 1 5 0分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。 （ I）从样本分数小于 110分的学生中随机抽取 2人，求两人恰为一男一女的概率； （ II）若规定分
8、数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关” ? 附表： 19（本小题满分 12分） 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， AB AD， CD AD， CD=2AB点 E 是 PC 的中点 （ ）求证： BE 平面 PAD； （ ）已知平面 PCD 底面 ABCD，且 PC=DC在棱 PD 上是否存在点 F，使 CF PA？请说明理由 20. (本小题满分 12 分 )已知圆 O ： 221xy?过椭圆 C ： 12222 ?bxay ( 0ab? )的短轴端点， P ， Q 分别是圆 O
9、 与椭圆 C 上任意两点 ， 且线段 PQ 长度的最大值为 3 - 4 - （）求椭圆 C 的方程 ； （）过点 (0,)t 作 圆 O 的一条切线交椭圆 C 于 M ， N 两点 ， 求 OMN? 的面积的最大值 21 （本小题满分 12分） 设函数 2( ) lnf x x ax ax? ? ?， a 为正实数 （ 1）当 2a? 时，求 曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2） 求证： 1( ) 0f a ； （ 3）若函数 ()fx有 且只有 1个 零点，求 a 的值 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选
10、修 4-4：坐标系与参数方 程 已知曲线 C 的极坐标方程是 2cos? ，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线 l 的参数方程的是32 (12x t mtyt? ? ?为参数 ). （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ 2）设点 ? ?,0Pm ，若直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点，且 1? PBPA ，求实数 m 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 2 1 2f x x x? ? ? ?的最小值为 m . （ 1）求实数 m 的值； （ 2）若 ,abc均为正实数，且满足
11、 a b c m? ? ? ，求证 : 2 2 2 3b c aa b c? ? ?. 参考答案 一、选择题 : CDCA ADAB CBAD 二、填空题 : 13 1?xy 14. 0120 . 15 3 16.4 2 2? 三、解答题 : 17. 解： (1) ? ?112 1 , 1 2 1n n n na a a a? ? ? ? ? ?,若 10na ? ，则 1 1nnaa? ?，又- 5 - 1 2 12 , 2 1 3 , 1 0na a a a? ? ? ? ? ? ?1 1 2,1nnaa? ? ? ? 数列 ? ?1na? 为以 1为首项， 2 为公比的等比数列， ? ?
12、 111 1 2 nnaa ? ? ? ?， 121nna ? ? ? . (2) ? ?1nnb n a?,由（ 1）可知， 112 1, 2nnnna b n? ? ? ?，又211 2 3 . , 1 +2 2 + 3 2 + .+ n 2 nn n nS b b b b S ? ? ? ? ? ? ?， 232 2 2 2 3 2 . 2 nnSn? ? ? ? ? ?， 由 -，得? ? ? ?2 3 1 1 1 21 2 2 2 . . . 2 2 2 2 1 2 , 1 2 112 nn n n n n nS n n n S n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ?18.解析：（ ）由已知得，抽取的 100名学生中，男生 60名，女生 40名， 分数小于等于 110分的学生中，男生人有 600.05=3 （人），记为 A1， A2， A3； 女生有 400.05=2 （人），记为 B1， B2； ?2 分 从中随机抽取 2名学生，所有的可能结果共有 10种，它们是： （ A1， A2），（ A1， A3），（ A2， A3），（ A1， B1），（ A1， B2）， （ A2， B1），（ A2， B2），（ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2）； 其中，两名学生恰好为一 男一女的可能结果共有 6种，它们是： （ A1
14、， B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2） ，（ A3， B1），（ A3B2）； ?4 分 故所求的概率为 P=63=105 ?6 分 （ ）由频率分布直方图可知， 在抽取的 100名学生中，男生 600.25=15 （人），女生 400.375=15 （人）； ?7 分 据此可得 22 列联表如下： 数学尖子生 非 数学尖子生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 （ 9分） 所以得21212211222112 )(? nnnn nnnnn? 2100( 15 25 15 45 )= 1.7960 40 30 70? ?
15、 ? ? ? ?； ?11 分 因为 1.79 2.706， 所以没有 90%的把握认为 “ 数学尖子生与性别有关 ” ?12 分 19.解： （ 1）证明：取 PD中点 Q，连结 AQ、 EQ E为 PC 的中点， EQ CD且 EQ= CD ? 又 AB CD 且 AB= CD， EQ AB且 EQ=AB ? 四边形 ABED是平行四边形， BE AQ ? 又 BE?平面 PAD， AQ?平面 PAD， BE 平面 PAD ? 6分 （ 2）解：棱 PD上存在点 F为 PD 的中点，使 CF PA， 平面 PCD 底面 ABCD，平面 PCD 底面 ABCD=CD， AD CD， AD 平
16、面 PCD， DP是 PA在平面 PCD中的射影， - 6 - PC=DC， PF=DF， CF DP， CF PA 12 分 20.解：（）圆 O 过椭圆 C 的短轴端点 ， 1b? ， 又 线段 PQ 长度的最大值为 3， 13a? ， 即 2a? ， 椭圆 C 的标准方程为 2 2 14y x? （）由题意可设切线 MN 的方程为 y kx t?， 即 0kx y t? ? ? ， 则2| 11t k ? ， 得221kt? 联立得方程组 22,14y kx ty x? ? ，消去 y 整理得 2 2 2( 4 ) 2 4 0k x ktx t? ? ? ? ? 其中 2 2 2(2 )
17、 4 ( 4 )( 4 )kt k t? ? ? ? ?221 6 1 6 6 4 4 8 0tk? ? ? ? ? ?， 设 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ， 则12 22 4ktxx k? ?， 212 2 44txx k ? ?， 则 22221 6 1 6 6 4| | 1 4tkM N k k? ? ? ? ? ? 将代入得24 3 | | 3tMN t? ?， 21 2 3 | |1 | |23O M N tS M N t? ? ? ? ? ?， 而22 3 | | 2 3 133 |tt t t? ?， 等号成立当且仅当 3|t t?， 即 3t? 综上可知： max( ) 1OMNS? ? 21解： （ 1）当 2a? 时， 2( ) ln 2 2f x x x x? ? ?，则 1
