1、 设设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f， 对集合对集合A中的中的任意一个数任意一个数x ，在集合，在集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f：AB为从集合为从集合A到到B的一个函数。的一个函数。 其中其中x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围A叫做函数叫做函数定义域定义域。 与与x的值相对应的的值相对应的y的值叫函数值，的值叫函数值， 函数值的集合函数值的集合f(x) | x A叫做函数的叫做函数的值域值域。 记作记作y=f(x), xy=f(x), x A A 一、知识回顾一、知识
2、回顾 在函数的三要素中，对应法则是函数的核心，定义域是函在函数的三要素中，对应法则是函数的核心，定义域是函 数的重要组成部分，定义域和对应法则一经确定，值域就随数的重要组成部分，定义域和对应法则一经确定，值域就随 之确定，因此，之确定，因此，求函数的值域，要注意考虑函数的定义求函数的值域，要注意考虑函数的定义 域域。 本节将通过具体例子讲授函数值域的求法本节将通过具体例子讲授函数值域的求法 二、新课讲解二、新课讲解 1、观察法：、观察法： 总结总结：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域：观察法就是利用常见函数的值域来求函数的值域. 例例1.1.求下列函数的值域：求下列函数的值域： （1
3、1） （2 2） 32( 11)yxx 24yx 解：解： (1)11,333 1325,15 xx xy 1,5所以函数的值域为：所以函数的值域为： (2)40 242 x x 2, 所以函数的值域为：所以函数的值域为： 2、配方法：、配方法： 3 2 1 -1 -2 -3 654321-1-2x O y （2，3） 总结总结：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法， 一般是根据函数所给一般是根据函数所给x的取值范围结合函数的取值范围结合函数 的图象求得函数的值域的图象求得函数的值域. 例例2.2.已知函数已知函数 ，求它在下列区间的值域，求它在下列
4、区间的值域 2 41yxx (1)xR(2) 3,4(3) 0,1 40,5 (1)3, (2)2,1 (4)3,6 2 23yx 解：解： (3)2,1 练习：求函数练习：求函数 的值域的值域 2 45yxx 已知函数已知函数 2 23yxx 分别求它在下列区间上的值域分别求它在下列区间上的值域 4,) 3,) 4,5 0,5 (1)(1) xR (2)(2) 0,)x (3)(3) 2,2x (4)(4) 1,2x 练习练习 3、换元法、换元法 总结总结：换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域：换元法就是用“换元”的方法，将所给函数化成值域 容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域
5、容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域. 所以函数的值域为所以函数的值域为 例例3.3.求函数求函数 的值域的值域 24 1yxx 解：设解：设 ，则，则 10tx t 2 1xt 代入原函数得：代入原函数得： 整理得：整理得： 2 2 14ytt 22 2422(1)4yttt 4y ,4 所以函数的值域为所以函数的值域为 代入原函代入原函数得：数得： 整理得：整理得： 2 2 14ytt 22 2422(1)4yttt 4y ,4 练习：练习： 1 (, 2 求函数求函数 的值域的值域 12yxx 4、分离常数法、分离常数法 例例4.4.求函数求函数 的值域的值域 2-x 45x y 2
6、-x 14 5 2-x 142)-5(x y 0 2-x 14 2x 解：解： 5y 5 2-x 14 5 即即 5y|y 所以函数的值域为所以函数的值域为 c a y|y bc)ad0,(c dcx bax y 总结：总结：形如形如 的值域为的值域为 练习：练习： 求下列函数的值域：求下列函数的值域： 37x 1-5x y 32x 5-3x y 6 65 2 2 xx xx y 5 5、反解法：、反解法： 1x 1-x y 2 2 1-y y-1- x y-11)x-(y 22 即即 1y-10 1-y y-1- 0 x 2 总结：总结： 利用已知函数的值域求未知函数的值域 利用已知函数的值
7、域求未知函数的值域 例例5.5.求函数求函数 的值域的值域 1-xyyx 22 解：原函数整理为：解：原函数整理为： ），1 1所以函数的值域为所以函数的值域为 1x 1-x y 2 2 例例5.5.求函数求函数 的值域的值域 练习：练习： 的值域的值域求函数求函数 1-x2 3x y ), 2 1 (,-3(- 6、判别式法、判别式法 例例6 6、求函数、求函数y =y = 1 1 2 2 xx xx 的值域的值域 解：解： 0 4 3 4 3 ) 2 1 (1 22 xxx ， 函数的定义域为函数的定义域为R R，原式可化为：，原式可化为： 1) 1( 22 xxxxy 整理得整理得 2
8、(1)(1)10yxyxy （1 1）若）若y=1,y=1,即即2x=0,2x=0,则则x=0 x=0 ； 0R x1,y2 ）若）若（ 1y3,y 3 1 解得：解得： 综上：函数是值域是综上：函数是值域是 3 3 1 ， 判别式法一般用于分式函数，其定义域应为判别式法一般用于分式函数，其定义域应为R R， 其分子或分母为二次式其分子或分母为二次式. . 总结总结: : 的值。的值。求实数求实数 ，的值域是的值域是若函数若函数 ba, 41 1x bax f(x) 2 3b 4,a 练习：练习： 7 7、图象法、图象法 例例7 7、求函数、求函数y=|x+1|+|xy=|x+1|+|x- -
9、2|2|的值域的值域. . 解：将函数化为分段函数形式：解：将函数化为分段函数形式： )2( 12 )21( 3 )1( 12 xx x xx y 2-1 3 x O y由图象可知，函数的值域是由图象可知，函数的值域是 3 3 ， ） 采用“数形结合”，利用采用“数形结合”，利用 直观图形求解的一种方法直观图形求解的一种方法. . 总结：总结： 图象法（几何法）图象法（几何法） 的值域。的值域。求函数求函数三个函数中的最小值，三个函数中的最小值， 是是已知函数已知函数 f(x) x-2y, 2 1 x 4 1 y1,xyf(x) 练习：练习： ，（ 5 4 二次函数二次函数 0)c(abxax
10、y 2 1.开口方向开口方向 a0,开口向上开口向上 a0时，时，x= 4a b-4ac 2a b 2 ，函数有最小值，函数有最小值 （2）当）当a0时，时，x= 4a b-4ac 2a b 2 ，函数有最大值，函数有最大值 二二 、讲授新课、讲授新课 2、当、当x在某一范围内的最值在某一范围内的最值 (1) 配方法配方法 （2）注意开口方向）注意开口方向 （ 3）注意对称轴的位置）注意对称轴的位置 解决问题的思路：解决问题的思路： 3x(3)1 0 x2-(2) -2x4-1 5,4x2xf(x) 1 2 ）（ 最值最值求下列条件下的函数的求下列条件下的函数的 、已知二次函数、已知二次函数 的值。的值。求实数求实数 ，的最大值是的最大值是时，函数时，函数 ，当，当、已知函数、已知函数 a 2y1x0 2 1 4 a -ax-xy2 2 的值。的值。求实数求实数 ，时，有最小值时，有最小值当当 、已知二次函数、已知二次函数 a 2-3x0 3,axxy3 2 的表达式并作出图像。的表达式并作出图像。求出求出 的最小值为的最小值为函数函数 时，时，当当、已知、已知 g(t) g(t),f(x) 1txt2,2x-xf(x)5 2 的值。的值。，求，求最大值最大值 ，有最小值有最小值 时，函数时，函数当当、设、设 ba,1 1bax-xf(x) 1x1-0,a4 2
