1、 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （第二课时）（第二课时） 教学设计教学设计 教学目标教学目标 1 经历借助 () C 公式推导 () C ， () S ， () T 公式的过程， 进一步体会公式 () C 的意义，发展学生逻辑推理素养 2掌握 () C ， () S ， () T 等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重难点 教学重点：教学重点： 经历从公式 () C 出发推导其它和角、 差角公式的过程， 进一步体会 () C 的意义 教学难点：教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换 课前准备课前准备 PPT
2、课件 教学过程教学过程 （一）整体感知（一）整体感知 引导语：引导语： 前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性， 借助两点间距离的坐标 公式推导出了公式 () C ，今天我们将继续探究如何用任意角, 的三角函数表示 cos(),sin(),tan() （二（二）新知探究）新知探究 问题问题 1：你能依据与之间的联系，利用公式 () C ，推导出两角和的余弦 公式吗？ 预设的预设的师生活动：师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨 预设答案：预设答案：cos()coscossinsin(简记为 () C ) 设计意图设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻
3、找差异，获得新知 问题问题 2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公 式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试 预设的预设的师生活动：师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明教师巡视，对遇到困难的学生 进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法 预设答案预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下： sin()cos()cos 22 coscossinsin 22 sincoscossin sin()sincoscossin(简记为 () S ) 然后用替换上式中的可得 sin()sincoscossin(简记
4、为 () S ) 以上只是其中一种证法 设计意图：设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推 导 问题问题 3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从 ()() S,C 出发，推导 出用任意角, 的正切表示tan(),tan()的公式吗？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示 预设答案：预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式 直接由相应角的正弦与余弦相除即可， 后证的公式除相除之外， 还可以借助先证出的公式证 明如先证和角正切： sin() tan() cos() sincosco
5、ssin sincoscossincoscoscoscos coscossinsin coscossinsin coscoscoscos tantan 1 tantan ， tantan tan() 1 tantan (简记作 () T ) 随后将替换为，即可得到 tantan()tantan tan() 1 tantan()1tantan ， tantan tan() 1tantan (简记作 () T ) 公式 () S ， () C ， () T 给出了任意角 ， 的三角函数值与其和角的三角 函数值之间的关系 为方便起见， 我们把这三个公式都叫做和角公式 类似地， () S ， () C
6、 ， () T 都叫做差角公式 设计意图：设计意图： 通过已推导出的公式获得更多的公式， 在此过程中， 学会用联系的思维方式， 提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养 例例 1 已知 sin = 3 5， 是第四象限角，求 sin( 4 )，cos( 4 + )，tan( 4)的值 追问追问 1： 题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目 要求出的三个数值， 我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知 条件中或可由已知条件推出？ 预设答案：预设答案：两个条件，即角的正弦值与角终边所在的象限可以根据这些条件算 出的余弦值与正切值 为了求
7、出所求数据， 需借助和角公式与差角公式 需要的数据是 的正弦、余弦、正切值，以及 4 的正弦、余弦正切值这些数据均可从条件中轻易推出 解：由 sin = 3 5， 是第四象限角，得 cos =1 sin 2=1 (3 5) 2=4 5， 所以 tan =sin cos = 3 5 4 5 = 3 4 于是有 sin( 4 )=sin 4cos -cos 4sin = 2 2 4 5 2 2 ( 3 5)= 72 10 ； cos( 4 + )=cos 4cos sin 4sin = 2 2 4 5 2 2 ( 3 5)= 72 10 ； tan( 4)= tan tan 4 1+tan tan
8、 4= tan 1 1+tan = 3 41 1+(3 4) =7 设计意图：设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度另外，本 题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯， 即先认真分析条件， 适度拓展条 件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将 这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离 追问追问 2：如果去掉“是第四象限角”这个条件，则答案如何？ 预设答案：预设答案：正确答案是，当是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是 221 10107 ，； 当是第四象限角时， 所求的三个三角
9、函数值依次是 7 2 7 2 7 1010 ， 但 有些学生可能会错误表达为 sin( 4 )的值为 2 10 或 7 2 10 ，cos( 4 + )的值为 2 10 或 7 2 10 ，tan( 4)的值为 1 7 或7这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确 性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出 设计意图：设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与 整合的数学思想， 另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会， 同时也对追问 3 做了 铺垫 追问追问 3：观察追问 2 两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有 sin(
10、 4 )=cos( 4 + )那么对于任意角 ，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 预设答案：预设答案：等式对任意角都成立证明方法有多种，如等号左右两侧分别用 ()() S,C 展开后比较；将 4 或者 4 换元，然后借助诱导公式即可证明 设计意图：设计意图： 通过延伸， 培养学生“观察现象提出问题解决问题”的科学思维品 质，鼓励学生多观察，多思考，多提问激发学生的发散性思维，一题多解 例例 2 利用和(差)角公式计算下列各式的值： （1）sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 ； （2）cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ； （3）sin 66
11、 sin 54 sin 36 sin 24 ； （4）1+tan 15 1tan 15 追问：追问：以上 4 个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？ 预设答案：预设答案： 前 3 个问题都含有四个三角函数值， 其中两个的乘积与另外两个的乘积作差， 在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第 4 个问题仅含正切值， 为分式形式，且分母中有常数 1，与和角正切公式结构相似 设计意图：设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与 线索 解： （1）由公式 S(-)， sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 =s
12、in(72 42 ) =sin 30 =1 2； （2）由公式 C(+)，得 cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 =cos(20 +70 ) =cos 90 =0； （3）(方法一) sin 66 sin 54 sin 36 sin 24 = cos24 cos 36 sin 36 sin 24 ， 由公式 C(+)，原式=cos(36 +24 )=cos60 =1 2； (方法二) sin 66 sin 54 sin 36 sin 24 = sin 66 cos36 cos 66 sin 36 ， 由公式 S(-)，原式=sin(66 -36 )=sin 30 =1 2；
13、 （4）由公式 T(+)及 tan 45 =1，得1+tan 15 1tan 15= tan 45+tan 15 1tan 45tan 15=tan(45 +15 ) =tan 60 =3 设计意图：设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换 方式适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解本题目中的（1） （2）是简 单的公式反用， （3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以 凑成公式右侧的形式， 再加以解决， 解答 （4） 时， 需要以退为进， 逆向化归， 将1代换成tan45， 这个变形技巧在例 3 中出现过，已经作过了铺垫
14、 （三（三）归纳归纳小结小结 问题问题 4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你 能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？ 预设的师生活动：预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答 预设预设答案答案： 公式中的, 均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个 任意角的和或差；公式 ()() S,C 均需要sin,cos,sin,cos四个值齐备时方可使 用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式 () T 中，若, 之 中有一个是 4 ，则公式的结构会更简洁 设计意图：设计意图：回顾反思，在
15、头脑中形成思维网络 （四）作业布置（四）作业布置 教科书习题 5.5 第 4，5，6，13 题 （五（五）目标检测设计）目标检测设计 1 （1）已知 cos = 3 5，( 2 ，)，求 sin( + 3)的值； （2）已知 sin = 12 13， 是第三象限角，求 cos( 6 + )的值； （3）已知 tan =3，求 tan( + 4)的值 2求下列各式的值： （1）sin 72 cos 18 +cos 72 sin 18 ； （2）cos 72 cos 12 +sin 72 sin 12 ； （3） tan 12+tan 33 1tan 12tan 33； （4）cos 74 sin
16、 14 sin 74 cos 14 ； （5）sin 34 sin 26 -cos 34 cos 26 ； （6）sin 20 cos 110 +cos 160 sin 70 3已知 sin()cos cos()sin =3 5， 是第三象限角，求 sin( + 5 4 )的值 预设答案：预设答案：1 （1）433 10 ； （2）1253 26 ； （3）2 2 （1）1； （2）1 2； （3）1； （4） 3 2 ； （5） 1 2； （6）1 372 10 设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两 个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养
