1、第第1010讲讲 一次函数及其应用一次函数及其应用 第三单元第三单元 2021 内 容 索 引 01 02 03 考点梳理整合考点梳理整合 安徽真题体验安徽真题体验 考法互动研析考法互动研析 安徽真题体验安徽真题体验 命题点1 一次函数的图象和性质 1.(2020 安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而 减小,则点A的坐标可以是( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B 解析 一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小,k0,故A选项不符合题意; 当x=1,y=-2时,k+3=-2,解得k=-50,故D选项不符合题意
2、.故选B. 1 3 2.(2019 安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数 y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴 的下方,则实数a的取值范围是_. 答案 a1或a-1 解析 y=x-a+1与x轴的交点为(a-1,0), 平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方, 当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)0,a1或a0 b0 经过第一、二、三象限 y随x的 增大而 增大 b=0 经过第一、三象限 b0 经过第一、三、四象限 2.图象及其性质(10年3考) k的符号 b的取值 图示 经过象限 性质 k0 经过第
3、一、二、四象限 y随x的 增大而 减小 b=0 经过第二、四象限 b0时,向上 平移;当b0)个单位长度后,相 应得到的一次函数解析式为y=k(x+m)+b或y=k(x-m)+b ;向上或向下平移 n(n0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=kx+b+n 或 y=kx+b-n. 口决:左加右减,上加下减,左右移给x值加减,上下移给y值加减. 考法互动研析考法互动研析 考法1一次函数的图象与性质 例1(2020 四川攀枝花)甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵 明阳跑步从甲地往乙地,王浩月骑自行车从乙地往甲地.两人同时出发,王 浩月先到达目的地,两人之间的距离s(单位:km)
4、与运动时间t(单位:h)的函数 关系大致如图所示,下列说法中错误的是( ) A.两人出发1小时后相遇 B.赵明阳跑步的速度为8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距10 km D.王浩月比赵明阳提前1.5 h到目的地 答案 C 解析 由图象可知,两人出发1小时后相遇,故选项A正确;赵明阳跑步的速度 为243=8(km/h),故选项B正确;王浩月的速度为241-8=16(km/h),王浩月 从开始到到达目的地用的时间为2416=1.5(h),故王浩月到达目的地时两 人相距81.5=12(km),故选项C错误;王浩月比赵明阳提前3-1.5=1.5(h)到 目的地,故选项D正确.故选C. 方法总
5、结 本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质: (1)当k0,b0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x 的增大而增大; (2)当k0,b0时,直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限),y随x 的增大而增大; (3)当k0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x 的增大而减小; (4)当k0,b0,b=-11 2 解析 由一次函数 y=kx+b 的增减性可知,y 随 x 的增大而增大时,k0,所以 2m-10,解得 m1 2. 考法2用待定系数法确定一次函数表达式 例2(2020 河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b, 现画出了它的图
6、象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象 的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数, 设其图象为直线l. x -1 0 y -2 1 (1)求直线l的解析式; (2)请在图上画出画出直线l(不要求列表计算),并求直线l被直线 l和y轴所截线段的长; (3)设直线y=a与直线l,l及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对 称,直接写出a的值. 解 (1)依题意把(-1,-2)和(0,1)代入 y=kx+b,得 -2 = - + , 1 = , 解得 = 3, = 1. 直线 l 的解析式为 y=3x+1. (2)依题意可得直线 l的解析式为 y=x+3, 作函数图象如下.
7、 令 x=0,得 y=3,故 B(0,3), 令 = 3 + 1, = + 3, 解得 = 1, = 4,A(1,4). 直线 l被直线 l和 y轴所截线段的长 AB= (1-0)2+ (4-3)2= 2. (3)令 a=3x+1,解得 x=-1 3 . 令 a=x+3,解得 x=a-3. 当对称点在直线 l上时, 2 -1 3 =a-3,解得 a=7; 当对称点在直线 l上时, 则 2 (a-3)=-1 3 ,解得 a=17 5 ; 当对称点在 y轴上时, 则-1 3 +(a-3)=0,解得 a=5 2; 综上,a的值为5 2 或 17 5 或 7. 方法总结 确定一次函数表达式常用待定系数
8、法.一次函数y=kx+b与坐标 轴的两个交点坐标分别是(0,b)和 . - ,0 对应练4(2020 江苏南京)将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转 90 ,所得到的图象对应的函数表达式是_. 答案 y=1 2x+2 解析 在一次函数 y=-2x+4 中,令 x=0,则 y=4,直线 y=-2x+4 经过点(0,4), 将一次函数y=-2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90,则点(0,4)的对应点为 (-4,0),旋转后得到的图象与原图象垂直,则对应的函数解析式为 y=1 2x+b. 将点(-4,0)代入得1 2 (-4)+b=0,解得 b=2. 旋转后对应的函数解析式为 y=1 2
9、x+2. 对应练5(2020 北京)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图 象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2). (1)求这个一次函数的解析式; (2)当x1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的 值,直接写出m的取值范围. 解 (1)一次函数y=kx+b(k0)由y=x平移得到,k=1. 将点(1,2)代入y=x+b可得b=1, 一次函数的解析式为y=x+1. (2)当x1时,函数y=mx(m0)的函数值都大于y=x+1,即图象在y=x+1上方, 由右图可知: 临界值为当x=1时,两条直线都过点(1,2), 当x1,m2时,
10、 y=mx(m0)都大于y=x+1. 又x1, m可取值2,即m=2. m的取值范围为m2. 考法3一次函数的应用 例3 (2020 四川乐山)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外 租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表: (1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1 320元,求一辆轿车的单程租 金为多少元? (2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或 轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少? 车型 每车限载人数/人 租金/(元/辆) 商务车 6 300 轿 车 4 解 (1)设租用一辆轿车的
11、租金为x元. 由题意得,3002+3x=1 320. 解得x=240. 答:租用一辆轿车的租金为240元. (2)方法 1:若只租用商务车,34 6 =52 3,只租用商务车应租 6 辆,所付租金为 300 6=1 800(元); 若只租用轿车,34 4 =8.5,只租用轿车应租 9 辆,所付租金为 240 9=2 160(元); 若混和租用两种车,设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元. 由6m+4n=34,得4n=-6m+34, W=300m+60(-6m+34)=-60m+2 040. -6m+34=4n0,m , 1m5,且m为整数. W随m的增大而减小, 当m=5时,W有最小值1
12、 740,此时n=1, 综上,租用商务车5辆和轿车1辆时,所付租金最少为1 740元. 由题意,得 6 + 4 = 34, = 300 + 240. 17 3 方法2:设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元. m为整数,m只能取0,1,2,3,4,5,故租车方案有: 不租商务车,则需租9辆轿车,所需租金为9240=2 160(元); 由题意,得 6 + 4 = 34 = 300 + 240 由 6m+4n=34,得 4n=-6m+340,m17 3 , 租1辆商务车,则需租7辆轿车,所需租金为1300+7240=1 980(元); 租2辆商务车,则需租6辆轿车,所需租金为2300+6240
13、=2 040(元); 租3辆商务车,则需租4辆轿车,所需租金为3300+4240=1 860(元); 租4辆商务车,则需租3辆轿车,所需租金为4300+3240=1 920(元); 租5辆商务车,则需租1辆轿车,所需租金为5300+1240=1 740(元). 由此可见,最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆,此时所付租金最少, 为1 740元. 方法总结 利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函 数的意义,找出函数与自变量存在的数量关系,从而得出函数解析式,根据 自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解. 对应练6(2020 上海)小明从家步行到学校需走的路程为1 800米.
14、图中的折 线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(单位:米)与时间t(单位:分 钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15分钟 时,到学校还需步行_米. 答案 350 解析 当8t20时,设s=kt+b, 将(8,960),(20,1 800)代入,得 s=70t+400.当t=15时,s=1 450, 1 800-1 450=350,当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行 350米,故答案为350. 8 + = 960, 20 + = 1 800,解得 = 70, = 400, 对应练7(2020 辽宁大连)甲、乙两个探测气 球分别从海拔5 m和15
15、m处同时出发,匀速上 升60 min,右图是甲、乙两个探测气球所在位 置的海拔y(单位:m)与气球上升时间x(单 位:min)的函数图象. (1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式. (2)当这两个气球的海拔高度相差15 m时,求上升的时间. 解 (1)由题可知,甲气球函数图象过(0,5),(20,25). 设 y甲=k1x+b1,由题意,得 5 = 0 + , 25 = 201+ , 解得 1 = 1, 1= 5.y 甲=x+5(0 x60). 乙气球函数图象过(0,15)(20,25). 设 y乙=k2x+b2(k20), 由题意,得 15 = 0 + 2 , 25 = 202+
16、 2, 解得 2 = 1 2 , 2= 15. y乙=1 2x+15(0 x60). (2)当 y甲-y乙=15 时,(x+5)- 1 2 + 15 =15, 解得 x=50. 当 y乙-y甲=15 时, 1 2 + 15 -(x+5)=15, 解得 x=-10(舍去). 综上,当 x=50 时,即上升时间为 50 min 时,海拔高度差 15 m. 对应练8(2020 四川成都)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗 疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家 购进一批产品,成本价为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调 查发现,线下的月销量y(单位
17、:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足 一次函数的关系,部分数据如下表: (1)求y与x的函数关系式; (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试 问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润. x/(元/件) 12 13 14 15 16 y/件 1 200 1 100 1 000 900 900 解 (1)设一次函数的函数关系式为y=kx+b(k0).将x=12,y=1 200代入函数 得12k+b=1 200.将x=13,y=1 100代入函数得13k+b=1 100. 一次函数的函数关系式为y=-100 x+2 400. (2)设商家线上和线下的月利润总和为w元,由题意可得w=400(x-2-10)+y(x- 10). 将y=-100 x+2 400代入可得 w=-100(x-19)2+7 300. 当线下售价定为19元/件时,月利润总和最大,此时最大利润是7 300元. 解方程组 12 + = 1 200, 13 + = 1 100, 得 = -100, = 2 400,
