1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求 1 （4 分）直线l过点( 1,2)P ，且倾斜角为45，则直线l的方程为( ) A10 xy B10 xy C30 xy D30 xy 2 （4 分）设P是椭圆 22 1 53 xy 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A2 2 B2 3 C2 5
2、D4 2 3 （4 分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( ) A若/ /m，/ /n，则/ /mn B若m，n，则mn C若m，mn，则/ /n D若/ /m，mn，则n 4 （4 分）两条平行线 1:3 410lxy 与 2:6 870lxy间的距离为( ) A 1 2 B 3 5 C 6 5 D1 5 （4 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱CD的中点，则( ) A 11 AEDC B 1 AEBD C 11 AEBC D 1 AEAC 6 （4 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A24 B48 C6
3、0 D72 7 （4 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G、H分别为 1 AA、AB、 1 BB、 11 BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A45 B60 C90 D120 8 （4 分）直线34xyb与圆 22 2210 xyxy 相切，则b的值是( ) A2或 12 B2 或12 C2或12 D2 或 12 9 （4 分）若圆 22 1: 1Cxy与圆 22 2: 680Cxyxym外切，则(m ) 第 2 页（共 13 页） A21 B19 C9 D11 10 （4 分）如图，P是正方体 1111 ABCDABC D对角线 1 AC上一动点，设
4、AP的长度为x， 若PBD的面积为( )f x，则( )f x的图象大致是( ) A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）在 6 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于 （用数字作答） 12 （4 分）已知双曲线标准方程为 2 2 1 3 x y，则其焦点到渐近线的距离为 13 （4 分）已知平面，给出下列三个论断：；/ /以 其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 14 （4 分）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为 9 4 ，底面是边长为3
5、的正 三角形若P为底面 111 ABC的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为 15（4 分） 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N， 若M为FN的中点，则|FN 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （7 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 2 1yx 与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C 的方程 17 （7 分）如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的 第 3 页（共 13 页） 中点求证： （1）直线/
6、 /EF面ACD； （2）平面EFC 面BCD 18 （7 分）已知ABC的三个顶点是(1,1)A，( 1,3)B ，(3,4)C （1）求BC边的高所在直线 1 l的方程； （2）若直线 2 l过C点，且A、B到直线 2 l的距离相等，求直线 2 l的方程 19 （9 分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角 形，CD 平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点 （）求证：PO 平面ABCD； （）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小 20 （10 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)
7、F，离心率为 2 2 直线l过 点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M （）求椭圆C的方程； （）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜 率 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要
8、求只有一项符合题目要求 1 （4 分）直线l过点( 1,2)P ，且倾斜角为45，则直线l的方程为( ) A10 xy B10 xy C30 xy D30 xy 【解答】解：直线l过点( 1,2)P ，且倾斜角为45， 则直线l的斜率为tan451 k， 直线方程为21 (1)yx ， 即30 xy 故选：D 2 （4 分）设P是椭圆 22 1 53 xy 上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A2 2 B2 3 C2 5 D4 2 【解答】解：椭圆 22 1 53 xy 的焦点坐标在x轴，5a ， P是椭圆 22 1 53 xy 上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦
9、点的距离之和 为22 5a 故选：C 3 （4 分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( ) A若/ /m，/ /n，则/ /mn B若m，n，则mn C若m，mn，则/ /n D若/ /m，mn，则n 【解答】解：A若/ /m，/ /n，则m，n相交或平行或异面，故A错； B若m，n，则mn，故B正确； C若m，mn，则/ /n或n，故C错； D若/ /m，mn，则/ /n或n或n，故D错 故选：B 4 （4 分）两条平行线 1:3 410lxy 与 2:6 870lxy间的距离为( ) A 1 2 B 3 5 C 6 5 D1 第 5 页（共 13 页） 【 解 答 】
10、 解 ： 两 条 平 行 线 1:3 410lxy ， 即6820 xy， 与 它 平 行 的 直 线 2:6 870lxy， 故它们之间的距离为 | 27|1 23664 d ， 故选：A 5 （4 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱CD的中点，则( ) A 11 AEDC B 1 AEBD C 11 AEBC D 1 AEAC 【解答】解：法一：连 1 BC，由题意得 11 BCBC， 11 AB 平面 11 B BCC，且 1 BC 平面 11 B BCC， 111 ABBC， 1111 ABBCB， 1 BC平面 11 AECB， 1 AE 平面 11 AECB， 1
11、1 AEBC 故选：C 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D中棱长为 2， 则 1(2 A，0，2)，(0E，1，0)，(2B，2，0)，(0D，0，0)， 1(0 C，2，2)，(2A，0，0)， (0C，2，0)， 1 ( 2A E ，1，2)， 1 (0DC ，2，2)，( 2BD ，2，0)， 1 ( 2BC ，0，2)，( 2AC ，2，0)， 11 2AE DC ， 1 2AE BD， 11 0AE BC， 1 6AE AC， 11 AEBC 故选：C 第 6 页（共 13 页） 6 （4 分）用数
12、字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A24 B48 C60 D72 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 1，3，5 中的一个数，共有 3 种排法， 然后还剩 4 个数， 剩余的 4 个数可以在十位到万位 4 个位置上全排列， 共有 4 4 24A 种排法 由分步乘法计数原理得，由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有32472 个 故选：D 7 （4 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G、H分别为 1 AA、AB、 1 BB、 11 BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A45 B6
13、0 C90 D120 【解答】解：如图，连 1 AB、 1 BC、 11 AC，则 1111 ABBCAC， 且 1 / /EFAB、 1 / /GHBC， 所以异面直线EF与GH所成的角等于60， 故选：B 8 （4 分）直线34xyb与圆 22 2210 xyxy 相切，则b的值是( ) A2或 12 B2 或12 C2或12 D2 或 12 【解答】解：圆 22 2210 xyxy 的圆心坐标为(1,1)，半径 1 4441 2 r ， 第 7 页（共 13 页） 因为直线34xyb与圆 22 2210 xyxy 相切， 所以圆心(1,1)到直线34xyb的距离 |34| 1 916 b
14、 d ， 解得2b 或12b 故选：D 9 （4 分）若圆 22 1: 1Cxy与圆 22 2: 680Cxyxym外切，则(m ) A21 B19 C9 D11 【解答】解：由 22 1: 1Cxy，得圆心 1(0,0) C，半径为 1， 由圆 22 2: 680Cxyxym，得 22 (3)(4)25xym， 圆心 2(3,4) C，半径为25m 圆 1 C与圆 2 C外切， 22 34251m， 解得：9m 故选：C 10 （4 分）如图，P是正方体 1111 ABCDABC D对角线 1 AC上一动点，设AP的长度为x， 若PBD的面积为( )f x，则( )f x的图象大致是( )
15、A B C D 第 8 页（共 13 页） 【解答】 解： 设正方体的棱长为 1， 连接AC交BD于O， 连PO， 则PO是等腰PBD的高， 故PBD的面积为 1 ( ) 2 f xBDPO， 在三角形PAO中， 222 122 2cos2 223 POPAAOPAAOPAOxx， 22 1122221 ( )22 2222233 f xxxxx， 画出其图象，如图所示， 对照选项，A正确 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分 11 （4 分）在 6 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于 160 （用数字作答）
16、 【解答】解： 6 2 ()x x 的二项式展开式的通项公式为 6 2 16 ( 2) rrr r TCx ， 令620r，求得3r ，可得常数项为 33 6 ( 2)160C ， 故答案为：160 12 （4 分）已知双曲线标准方程为 2 2 1 3 x y，则其焦点到渐近线的距离为 1 【解答】 解： 由题得： 其焦点坐标为( 2,0)，(2,0) 渐近线方程为 3 3 yx ， 即30yx， 所以焦点到其渐近线的距离 |302| 1 3 1 d 故答案为：1 13 （4 分）已知平面，给出下列三个论断：；/ /以 其中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题：
17、【解答】解：平面，给出下列三个论断：；/ / ，/ /由面面垂直的判定定理得， 第 9 页（共 13 页） 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题为： 故答案为： 14 （4 分）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为 9 4 ，底面是边长为3的正 三角形若P为底面 111 ABC的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为 60 【解答】解：如图所示， 1 AA 底面 111 ABC， 1 APA为PA与平面 111 ABC所成角， 平面/ /ABC平面 111 ABC， 1 APA为PA与平面ABC所成角 1 1 1 2 33 3 ( 3)
18、44 A B C S 1 1 1 111 1 1 3 3 4 A B CABCA B C VAASAA 三棱柱 ，解得 1 3AA 又P为底面正三角形 111 ABC的中心， 11 2 1 3 APAD， 在Rt 1 AAP中， 1 1 1 tan3 AA APA AP ， 1 60APA 故答案为：60 15（4 分） 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N， 若M为FN的中点，则|FN 3 【解答】解：抛物线 2 :4C yx的焦点(1,0)F，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点 N若M为FN的中点， 可知M的横坐标为： 1 2 ， 第 10 页（
19、共 13 页） 则 11 |11 22 FM ， 1 | 2| 2 13 2 FNFM 故答案为：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 40 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （7 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 2 1yx 与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C 的方程 【解答】解：曲线 2 1yx ，令0 x ，可得1y ，与y轴的交点为(0,1)， 令0y ，可得1x 或 1，与x轴的交点为( 1,0)，(1,0)， 设圆的方程为 2222 0(40)xyDxEyFDEF， 则 10 10 10 EF DF D
20、F ，解得0D ，0E ，1F ， 故圆C的方程为 22 10 xy 17 （7 分）如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的 中点求证： （1）直线/ /EF面ACD； （2）平面EFC 面BCD 【解答】证明： （1）E，F分别是AB，BD的中点 EF是ABD的中位线，/ /EFAD， EF 面ACD，AD 面ACD，直线/ /EF面ACD； （2）ADBD，/ /EFAD，EFBD， CBCD，F是BD的中点，CFBD 又EFCFF，BD面EFC， 第 11 页（共 13 页） BD 面BCD，面EFC 面BCD 18 （7 分）已知ABC的三个顶点是(1
21、,1)A，( 1,3)B ，(3,4)C （1）求BC边的高所在直线 1 l的方程； （2）若直线 2 l过C点，且A、B到直线 2 l的距离相等，求直线 2 l的方程 【解答】解： （1） 431 314 BC k， 1 1 4 l BC k k ，（4 分） 直线 1 l的方程是4(1)1yx ，即450 xy（6 分） （2）直线 2 l过C点且A、B到直线 2 l的距离相等， 直线 2 l与AB平行或过AB的中点M， 31 1 1 1 AB k，直线 2 l的方程是(3)4yx ，即70 xy，（9 分） AB的中点M的坐标为(0,2)， 422 303 CM k，直线 2 l的方程是
22、 2 (3)4 3 yx，即2360 xy， 综上，直线 2 l的方程是70 xy或2360 xy（12 分） 19 （9 分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PAD是正三角 形，CD 平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点 （）求证：PO 平面ABCD； （）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小 【解答】证明： （）因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD 又因为CD 平面PAD，PO 平面PAD，所以POCD ADCDD，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以PO 面ABCD 解： （）如图，以O点为原点，分别以
23、OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建 立空间直角坐标系 则(0O，0，0)，(2A，0，0)，(2B，4，0)，( 2C ，4，0)，( 2D ，0，0)，(0G，4， 第 12 页（共 13 页） 0)，(0P，0，2 3)，( 1E ，2，3)，( 1F ，0，3)， (0EF ，2，0)，(1EG ，2，3)， 设平面EFG的法向量为(mx，y，) z， 则 20 230 m EFy m EGxyz ，令1z ，则( 3m ，0，1)， 又平面ABCD的法向量(0n ，0，1)， 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为， 则 |1 cos | |2 m n mn 所以平面EF
24、G与平面ABCD所成锐二面角为 3 20 （10 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为(1,0)F，离心率为 2 2 直线l过 点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M （）求椭圆C的方程； （）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜 率 【解答】解： （）由题意可知，1c ， 2 2 c e a ， 222 abc，2,1ab， 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （）设直线l的方程为(1)(0)yxkk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x，
25、 2) y， 第 13 页（共 13 页） 联立 2 2 (1) 1 2 yx x y k ，消去y得， 2222 (21)4220 xxkkk，则 2 12 2 4 21 xx k k ， M为线段AB的中点， 2 12 2 2 221 M xx x k k ， 2 (1) 21 MM yx k k k ， 1 2 M OM M y x k k ， 11 22 OMl kkk k 为定值 （）若四边形OAPB为平行四边形，则OAOBOP， 2 12 2 4 21 P xxx k k ， 1212 2 2 ()2 21 P yyyxx k kk k ， 点P在椭圆上， 2 22 22 42 ()2()2 2121 kk kk ，解得 2 1 2 k，即 2 2 k， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为 2 2 k
