1、试卷第 1 页，总 6 页 岳阳市岳阳市 20212021 届高三教学质量检测届高三教学质量检测试题试题（二）（二） 数数 学学 本试卷共 6 页，共 22 道题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答 题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的） 1如图，矩形表示实数集R，集合 2 |430, |02Ax xxBxx=+=，则阴影部分表 示的集合为（ ） A |23xx B |23xx C |01xx D |01x xx 或 2若复数z满足(3 4 )25zi+=，则z在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3已知sin2cos0+=，则sin2=（ ） A 4 5 B 2 5 C 2 5 D 4 5 4攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒 尖等，多见于亭阁式建筑某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个 正
3、六棱锥 设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2， 则侧棱与底面外接圆半径的比为 （ ） A 3 3sin B 3 3cos C 1 2sin D 1 2cos 试题卷第 2 页，总 6 页 5已知,Ra b，且0ab ，则下列结论正确的是（ ） A 11 ab B 22 ab C 2 2 ab D 22 lnlnba 6如图，正五边形ABCDE中，AB ABm=，BC BDn=， CD CAp=，DE DCq=，则（ ） A mnpq B nmpq C mpnq D npmq 7 周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 满、芒种这十二节气的日影长依次
4、成等差数列的结论已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别 为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计， 则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为（ ） A 3 7 B 4 7 C 13 21 D 5 7 8设实数0a ，若对任意的 e,)x+，不等式2 eln0 a x axx 恒成立，则a的最大值为( ) A 1 e B 2 e C e 2 D e 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9下列结论正确的是（ ） A 若,a
5、 b为正实数，ab，则 3223 +a b ab ba+ B 若,a b m为正实数，ab，则 ama bmb + + C 若,a bR，则“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件 D 当(0,)x+时， 4 23x x 的最小值是2 4 3 10设函数 sin cos ( ) sincos xx f x xx = + ，则（ ） A ( )()f xf x=+ B ( )f x在 (,) 4 4 上单调递增 C ( )f x在 3 (,) 44 上有最大值 2 4 D 4 x =是( )f x的一条对称轴 C B A E D 试卷第 3 页，总 6 页 11已知三棱锥ABCD的三条侧棱
6、 ,AB AC AD两两垂直，其长度分别为, ,a b c点A在底面 BCD内的射影为O，点,A B C D所对面的面积分别为 A S， B S， C S， D S在下列所给的命题 中，正确的有（ ） A 2222 1111 AOabc =+； B 2222 ABCD SSSS+； C 若三个侧面与底面所成的角分别为，则 222 sinsinsin2+=； D 三棱锥ABCD的外接球表面积为 222 ()abc+ 12如图，与圆柱底面成60的平面截此圆柱，其截面图形为椭圆已知该圆柱底面半径为2， 则（ ） A 椭圆的离心率为 3 2 B 椭圆的长轴长为 8 3 3 C 椭圆的面积为32 D 椭
7、圆内接三角形的面积最大值为6 3 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x+=+，则 128 aaa+的值是 14数列 n a中， 19 3,9aa=，且任意连续三项的和都是18，则 2021 a= 15 已知抛物线 2 4xy=上存在相异两点关于直线y xm=+ 对称， 请写出一个符合条件的实数m的 值 16已知函数 ln,( 0,) ( ) 4,(, 0 xx f x xx + = + ，若实数a b c d, ,互不相等且 ( )( )( )( )f af bf cf d=，则abcd的取值范围为
8、试题卷第 4 页，总 6 页 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 10 分） 设数列 n a满足 1 1a =， 1 1 2 3n nn aa + = （1）求数列 n a的通项公式； （2）令(21) nn bna=+，求数列 n b的前n项和 n S 18 （本题满分 12 分） 在coscos2 cosaBbAcC+=； 2 2sin2 3sin()cos3CABC+=； sin()sinsinCABA=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题： 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 （
9、1）求C； （2）若2c =，求 22 ab+的取值范围 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 试卷第 5 页，总 6 页 19 （本题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD， 90PBC= ，ADBC， 90ABC= ，2 222ABADCDBC= （1）求证：CD 平面PBD； （2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 3 ，求二面角BPCD的正切值 20 （本题满分 12 分） 一个袋子中装有n个红球(5,)nnN和5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球 颜色不同则为中奖 （1）试用n表示一次摸奖就中奖的概率； （2）若5n =
10、，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P，当n取多少时P最大？ A B C P D 试题卷第 6 页，总 6 页 21 （本题满分 12 分） 已知双曲线C的焦点到其渐近线2yx= 的距离为2 （1）求双曲线C的标准方程； （2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点(0,2)P的直线l交C双曲线的左右两支分别于,A B， 交渐近线分别于,M N，证明：AMBN= 22 （本题满分 12 分） 已知函数( )esin1 x f xaxx=+ （1）当2a =时，求函数( )f x的单调区间； （2）当12a 时，证明：函数( )f x
11、有2个零点 岳阳市 2021 届高三教学质量检测（二） 数学参考答案及评分细则 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A C D B B D 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求. .全部选对的得全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选
12、对的得2分，有选错的得分，有选错的得0分）分） 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD ACD AD 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 3 14. 6 15. m的取值只需满足3m 即可 16. 0,16) 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设数列 n a满足 1 1a =， 1 1 2 3n nn aa + = （1）求数列 n a的通项公式； （2）令(21) n
13、n bna=+，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】 （1） 由已知，当2n时， 2 1 2 3n nn aa =， 121321 ()()() nnn aaaaaaaa =+ 2 分 1 221 1 3 12(1 333)123 1 3 n nn = + += + = 4 分 当1n =时， 1 1 1 31a =符合上式，所以 1 3n n a =， * nN. 5 分 （2） 由（1）知 1 (21)(21) 3n nn bnan =+=+， 011 3 35 3(21) 3n n Sn = + + 3 n S = 121 3 35 3(21) 3(21) 3 nn nn + +
14、7 分 得 121 232(333)(21) 3 nn n Sn = + 121 (21)2(1 333)31 nn n =+ 1 3 2(21) 31 1 3 n n n =+ 23nn= 所以，3n n Sn=， * nN. 10 18在coscos2 cosaBbAcC+=； 2 2sin2 3sin()cos3CABC+=； sin()sinsinCABA=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题： 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 （1）求C； （2）若2c =，求 22 ab+的范围 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】
15、（1） 选 由正弦定理得，sincossincos2sincosABBACC+=， 2 分 即sin()sin2sincosABCCC+= 所有 1 cos 2 C =，又(0,)C，故 3 C = 5 分 选 2 1 cos2 2sin2 3sincos23sin23 2 C CCCC += += 2 分 即 3sin2cos22, sin(2)1 6 CCC= 4 分 所以， 2 62 C =， 3 C = 5 分 选 sin()sin()sinCACAA=+ 2 分 所以，sincoscossinsincoscossinsinCACACACAA=+ 即2sincossinACA=，sin
16、0A 4 分 所以， 1 cos 2 C =，(0,)C，故 3 C = 5 分 （2） 由正弦定理， 4 34 3 sin,sin 33 aA bB= 6 分 16162 sinsinsinsin() 333 abABAA= 7 分 2 16318 38 sin(cossin)sincossin 32233 44 ( 3sin2cos2 ) 33 AAAAAA AA =+=+ =+ 84 sin(2) 363 A=+ 9 分 因为 2 (0) 3 A，所以(0,4ab 11 分 由余弦定理 22 4(4,8abab+=+ 12 分 19如图，在四棱锥PABCD中，平面PBC平面ABCD，90
17、PBC=，ADBC， 90ABC= ，2 222ABADCDBC= （1）求证：CD 平面PBD； （2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 3 ，求二面角BPCD的正切值 【解答】 （1） 证明：在四边形ABCD中， / /,90 ,222ADBCABCABADCDBC=， 所以,ABDBCD都为等腰直角三角形，即CDDB， 又因为平面PBC平面,90ABCDPBC=，平面PBC平面,ABCDBC= 所以直线PB 平面ABCD，又CD 平面ABCD 所以PBCD又PBBDB=， 所以CD 平面PBD. 6 分 （2） 以B为原点，,BC BP BA分别为 , ,x y z轴建立空
18、间直角坐标系，如图， 设2,BC =则,1,2,ABCDBD= 因为直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 , 3 所以在RtPBD中 3 ,cos, 3 BD PDB PD =即6,2PDPB=， 设平面PBC和平面PDC法向量分为为, ,m n易知可取(0,0,1),m = 因为PC =(2, 2,0),(1,0, 1),DC= 所以 0 , 0 PC n DC n = = 解得(1,1,1),n =设所求二面角为, 所以 1 cos | |3 m n mn = ，即tan 2= 12 分 A B C P D z x y A B C P D 20一个袋子中装有n个红球(5,)nnN和
19、5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个 球颜色不同则为中奖 （1）试用n表示一次摸奖就中奖的概率； （2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P，当n取多少时P最大？ 【解答】 （1） 一次摸奖是从(5)n+个球中同时选两个球，有 2 5 Cn+种方法，它们是等可能的，其中两球不 同色有 11 5 C Cn种方法，所以一次摸奖就中奖的概率为： 11 5 2 5 C C10 ( )(5,) C(5)(4) n n n P nnn nn + = + N 3 分 （2） 当5n =时， 5 (5) 9 P=，由于摸
20、奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验， 三次摸奖恰有一次中奖的概率为 12 3 5480 C( ) 99243 = 6 分 （3） 记（1）中的 10 ( )(5,) (5)(4) n P ntnn nn = = + N ， 10(1)1010(4) (1)( )0 (6)(5)(5)(4)(4)(5)(6) nnn P nP n nnnnnnn + += + ， 5 (1)( )(5) 9 P nP nP+=，即 5 0 9 t 1232 3 C(1)363Pttttt= =+， 2 ( )91233(31)(1)F ttttt=+ =， 在 1 (0, ) 3 上单调递增，在
21、1 5 ( , 3 9 上单调递减， 所以当 1 3 t =时，P取得最大值由 101 (5)(4)3 n t nn = + ，解得20n =或1n =（舍去） ， 所以当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回） ，恰有一次中奖的概率P最大 12 分 21已知双曲线C的焦点到其渐近线2yx= 的距离为2 （1）求双曲线C的标准方程； （2）设双曲线C的焦点在x轴上，过点(0,2)P的直线l交C双曲线的左右两支分别于,A B，交渐 近线分别于,M N，证明：AMBN= 【解答】 （1） 当C的焦点在x轴上时，设 22 22 :1 xy C ab =，易得焦点 ( ,0)F c到渐近线的距离为b，
22、 故2b =，又2 b a =，所以1a =，此时，C的方程为 2 2 1 4 y x = 2 分 当C的焦点在y轴上时，设 22 22 :1 yx C ab =，易得焦点 (0, )Fc到渐近线的距离为b， 故2b =，又2 a b =，所以4a =，此时，C的方程为 22 1 164 yx = 4 分 （2） 设过点P的直线:2l ykx=+，联立 2 2 2 (01) 4 ykx y x =+ = 或 消去y，整理得： 22 (4)4440kxkx =，0 ，( 2,2)k 7 分 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 3344 (,),(,)M x yN x y 当1=时
23、， 12 2 4 4 k xx k += ，即AB中点横坐标为 2 2 4 k k 当0=时， 34 2 4 4 k xx k += ，即MN中点横坐标为 2 2 4 k k 10 分 故线段,AB MN的中点重合，所以AMBN= 12 分 22已知函数( )esin1 x f xaxx=+ （1）当2a =时，求函数( )f x的单调区间； （2）当12a 时，证明：函数( )f x有2个零点 【解答】 （1） 当2a =时，( )e2sin1 x f xxx=+， 则( )e2cos x fxx= +，可得( )esin x fxx=. 2 分 当(0,)x+时，e1 x ，( )1 si
24、n0fxx ， ( )fx在(0,)+单调递增，( )(0)0fxf=， ( )f x在(0,)+单调递增. 4 分 当(,0 x 时，可得e1 x ，( )e2cos1 cos0 x fxxx= + +， ( )f x在(,0单调递减； 综上，( )f x在(,0单调递减，在(0,)+单调递增. 5 分 （2） 当0 x =时， 0 (0)e0 1 sin00f= +=，所以0 x =是( )f x的一个零点， 由( )ecos x fxax=+，可得( )esin x fxx=. 因为12a ， 6 分 当(0,)x+时，e1 x ，( )1 sin0fxx ，( )x f 在(0,)+单
25、调递增， ( )(0)20fxfa=，所以( )f x在(0,)+单调递增， 所以( )(0)0f xf=，此时( )f x在(0,)+无零点. 8 分 当(, x 时，ax，有( )esin1 esin10 xx f xaxxx=+ ， 此时( )f x在(, 无零点. 9 分 当( ,0)x 时，sin0 x ，( )esin0 x fxx=， 所以( )fx 在( ,0)单调递增，又(0)20fa = ， ()e10fa = ， 由零点存在性定理知，存在唯一 0 ( ,0)x ，使得 0 ()0fx=. 当 0 ( ,)xx 时，0( )fx，( )f x在 0 ( ,)x单调递减； 当 0 (,0)xx时，0( )fx，( )f x在 0 (,0)x单调递增； 又 ( )e 10fa =+ ， 0 ()(0)0f xf=，所以( )f x在( ,0)上有 1 个零点. 综上，当12a 时，( )f x有2个零点. 12 分
