1、8.1.1函数的零点 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.函数的零点函数的零点 (1)(1)概念概念: :使函数使函数y=f(x)y=f(x)的值为的值为0 0的的_. . 零点、图象与零点、图象与x x轴的交点、方程实数解的关系轴的交点、方程实数解的关系: : 实数实数x x (2)(2)本质本质: :方程方程f(x)=0f(x)=0的根、函数的根、函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴的公共点的横坐标轴的公共点的横坐标. . (3)(3)应用应用: :利用零点、图象与利用零点、图象与x x轴的交点、方程实数解的关系轴的交点、方程实数解的关系, ,实现三种问题的相实现三种
2、问题的相 互转化互转化. . 【思考】【思考】 函数的零点是点吗函数的零点是点吗? ? 提示提示: :不是不是, ,是使是使f(x)=f(x)=0 0的实数的实数x,x,是方程是方程f(x)=0f(x)=0的根的根. . 2.2.函数零点范围的判定函数零点范围的判定 (1)(1)条件条件: :函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上上的图象是一条不间断的曲线的图象是一条不间断的曲线, , 且有且有_; ; (2)(2)结论结论: :函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有零点上有零点. . (3)(3)本质本质: :利用函数的性质判断零点的存在性利
3、用函数的性质判断零点的存在性. . (4)(4)应用应用: :判断零点的存在性、求参数的范围等判断零点的存在性、求参数的范围等. . f(a)f(b)0f(a)f(b)0 【思考】【思考】 函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有零点，是不是一定有上有零点，是不是一定有f(a)f(a)f(b)0f(b)0.1=10. 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线, ,且有且有 f(a)f
4、(b)0f(a)f(b)0,f(b)0,则在区间则在区间 (a,b)(a,b)内一定没有零点内一定没有零点. .( () ) (3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-x+1-x+1有零点有零点. .( () ) 提示：提示：(1)(1). .在区间在区间(a(a，b)b)内至少有一个零点内至少有一个零点. . (2)(2). .如如f(x)=xf(x)=x2 2在区间在区间(-1, 1)(-1, 1)上有上有f(-1)f(1) =1f(-1)f(1) =11=101=10但是在区间但是在区间(-1, 1)(-1, 1) 上有零点上有零点0.0. (3)(3). .因为方程因为方程x
5、 x2 2-x+1=0-x+1=0的的=1-4=-30=1-4=-30无根，所以函数没有零点无根，所以函数没有零点. . 2.2.已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)的图象是连续的的图象是连续的, ,且其中的四组对应值如表且其中的四组对应值如表, ,那么那么 在下列区间中在下列区间中, ,函数函数f(x)f(x)不一定存在零点的是不一定存在零点的是( () ) A.(1,2)A.(1,2)B.1,3B.1,3C.2,5)C.2,5)D.(3,5)D.(3,5) x x1 12 23 35 5 f(x)f(x)3 3-1-12 20 0 【解析】【解析】选选D.D.由题表可
6、知由题表可知,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0.,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0. 由由f(1)f(1) f(2)0,f(2)0,可知函数可知函数f(x)f(x)在在(1,2)(1,2)上一定有零点上一定有零点; ;则函数则函数f(x)f(x)在在1,31,3上一上一 定有零点定有零点; ; 由由f(2)f(2) f(3)0,f(3)0,f(5)=0,f(3)0,f(5)=0,可知可知f(x)f(x)在在(3,5)(3,5)上不一定有零点上不一定有零点. . 所以函数所以函数f(x)f(x)不一定存在零点的区间是不一定存在零点的区间是(3,5)
7、.(3,5). 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数f(x)=f(x)= ln x-6ln x-6的零点是的零点是_._. 【解析】【解析】令令f(x)=f(x)= ln x-6=0,ln x-6=0,则则ln x=6,ln x=6,解得解得x=ex=e6 6. . 答案答案: :e e6 6 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一零点的概念及求法类型一零点的概念及求法( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-3x-4-3x-4的零点是的零点是( () ) A.-1,0A.-1,0B.0,4B.
8、0,4 C.1,-4C.1,-4D.-1,4D.-1,4 2.(2.(多选题多选题) )已知函数已知函数f(x)= f(x)= 则则f(x)f(x)的零点为的零点为( () ) A.1A.1 B.-2 B.-2 C.2 C.2 D.3 D.3 3.3.若函数若函数f(x)=ax+1-2af(x)=ax+1-2a的零点是的零点是 , ,则则a=_.a=_. x 1 2 3 e1x2, x1 log,x2 3 ， ， 1 2 【解析】【解析】1.1.选选D.D.根据题意根据题意, ,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-3x-4,-3x-4, 若若f(x)=0,f(x)=0,即即x x2 2-3
9、x-4=0,-3x-4=0,解得解得x=-1x=-1或或4,4, 即函数的零点为即函数的零点为-1,4.-1,4. 2.2.选选AC.AC.当当x2x2时时, ,由由e ex-1 x-1-1=0, -1=0,解得解得x=1;x=1; 当当x2x2时时, ,由由loglog3 3 =0, =0,得得 =1,=1, 即即x x2 2-1=3,-1=3,解得解得x=2.x=2. 所以所以f(x)f(x)的零点为的零点为1,2.1,2. 2 x1 3 2 x1 3 3.3.依题意得依题意得f =0,f =0,即即 a+1-2a=0,a+1-2a=0,解得解得a= .a= . 答案答案: : 1 ( )
10、 2 1 2 2 3 2 3 【解题策略】【解题策略】 函数零点的求法函数零点的求法 (1)(1)代数法代数法: :求方程求方程f(x)=0f(x)=0的实数根的实数根. . (2)(2)几何法几何法: :对于不能用求根公式的方程对于不能用求根公式的方程f(x)=0,f(x)=0,可以将它与函数可以将它与函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象 联系起来联系起来. .图象与图象与x x轴的交点的横坐标即为函数的零点轴的交点的横坐标即为函数的零点. . 类型二零点个数的判断类型二零点个数的判断( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 【典例】【典例】1.1.函数函数f(x)=xf(x)=
11、x3 3-x-x的零点的个数是的零点的个数是( () ) A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3 2.2.定义在定义在R R上的奇函数上的奇函数f(x)f(x)满足满足f(x)=xf(x)=x2 2-2x(x0),-2x(x0),则函数则函数f(x)f(x)的零点个数的零点个数 为为( () ) A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3 3.(20203.(2020南通高一检测南通高一检测) )函数函数y=f(x)y=f(x)是定义域为是定义域为R,R,周期为周期为2 2的函数的函数, ,且当且当 x-1,1)x-1,1)时时,f(x)=1-x,f(x)=1-x2 2; ;已
12、知函数已知函数g(x)=lg|x|,g(x)=lg|x|,则函数则函数y=f(x)-g(x)y=f(x)-g(x)在区间在区间 -7,10-7,10内的零点个数为内的零点个数为( () ) A.11A.11B.13B.13C.15C.15D.17D.17 【思路导引】【思路导引】1.1.求出零点再判断求出零点再判断. . 2.2.先求出先求出x0 x0时的零点时的零点, ,再利用奇偶性判断再利用奇偶性判断x0 x1x1时时, ,令令f(x)=0,f(x)=0,得得ln x- x+3=0,ln x- x+3=0, 故故ln x+3= x,ln x+3= x, 在同一直角坐标系中分别作出在同一直角
13、坐标系中分别作出y=ln x+3,y= xy=ln x+3,y= x的图象如图所示的图象如图所示, , 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 观察可知观察可知, ,有有1 1个交点个交点, ,即即f(x)=0f(x)=0在在(1,+)(1,+)上有上有1 1个解个解; ;综上所述综上所述, ,函数函数f(x)f(x)的零的零 点个数为点个数为3.3. 类型三函数零点范围的判定类型三函数零点范围的判定( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 角度角度1 1判断零点所在的区间判断零点所在的区间 【典例】【典例】(2020(2020菏泽高一检测菏泽高一检测) )函数函数f(x)=logf(
14、x)=log8 8x- x- 的一个零点所在的区间的一个零点所在的区间 是是( () ) A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4) 1 3x 【思路导引】【思路导引】代入端点值判断符号关系代入端点值判断符号关系. . 【解析】【解析】选选B.B.函数函数f(x)=logf(x)=log8 8x- x- 是连续增函数是连续增函数, ,因为因为 f(2)=logf(2)=log8 82- 0,2- 0,可得可得f(1)f(2)0,f(1)f(2)1,x= 1,且且 f(1)1,f(1)1, a 2 所以所以 所以所以a3,a3
15、, 当当x1x1,f(-1)= 1,此时此时, ,与与y=1y=1有有2 2个交点个交点, , 综上所述综上所述, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是3,+).3,+). 答案答案: :3,+)3,+) a2, a1a3, 或 a 2 a 2 【解题策略】【解题策略】 判断函数零点所在区间的三个步骤判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)(1)代入代入: :将区间端点值代入函数求出函数的值将区间端点值代入函数求出函数的值. . (2)(2)判断判断: :把所得的函数值相乘把所得的函数值相乘, ,并进行符号判断并进行符号判断. . (3)(3)结论结论: :若符号为正且函数在该区间内是单调函
16、数若符号为正且函数在该区间内是单调函数. . 则在该区间内无零点则在该区间内无零点, ,若符号为负且函数连续若符号为负且函数连续, ,则在该区间内至少有一个零点则在该区间内至少有一个零点. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)=ef(x)=ex x-x- (e=2.718 28-x- (e=2.718 28是自然对数的底数是自然对数的底数) )一定存在零点的区间一定存在零点的区间 是是( () ) A.(-1,0)A.(-1,0)B.(0,1)B.(0,1)C.(1,2)C.(1,2)D.(2,e)D.(2,e) 3 2 【解析】【解析】选选B.f(x)=eB.f(x)=ex
17、 x-x- -x- 为连续函数为连续函数, , 且且f(-1)=ef(-1)=e-1 -1+1- 0,f(0)=1-0- 0, +1- 0,f(0)=1-0- 0,f(1)=e-1- 0, f(2)=ef(2)=e2 2-2- 0,f(e)=e-2- 0,f(e)=ee e-e- 0,-e- 0, 可得可得f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)内存在零点内存在零点. . 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2.(20202.(2020镇江高一检测镇江高一检测) )已知方程已知方程e ex x=8-x=8-x的解的解x x0 0(k,k+1)(kZ),(k,k+1)(kZ),则则k
18、=k=( () ) A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3 【解析】【解析】选选B.B.由方程由方程e ex x=8-x=8-x可得可得e ex x+x-8=0,+x-8=0, 令令f(x)=ef(x)=ex x+x-8,+x-8, 因为因为f(1)=e+1-8=e-70,f(1)=e+1-8=e-70,-60, 所以所以x x0 0(1,2),(1,2),所以所以k=1.k=1. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.函数函数f(x)=logf(x)=log2 2(2x+1)(2x+1)的零点是的零点是( () ) A.1A.1B.0B.0C.(0,0)C.(0,0)D.(1,
19、1)D.(1,1) 【解析】【解析】选选B.B.令令loglog2 2(2x+1)=0,(2x+1)=0,解得解得x=0.x=0. 2.(20202.(2020淮安高一检测淮安高一检测) )已知已知m m是函数是函数f(x)= -2f(x)= -2x x+2+2的零点的零点, ,则实数则实数mm( () ) A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2) C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4) x 【解析】【解析】选选B.B.由由f(x)= -2f(x)= -2x x+2=0+2=0可得可得, +2=2, +2=2x x. . 作出函数作出函数y= +2y= +2与
20、与y=2y=2x x的图象如图所示的图象如图所示, , xx x 当当0 x10 x0,f(x)0恒成立恒成立, ,没有零点没有零点, ,因为因为f(1)=10,f(2)= -20,f(2)= -22x2时时, +22, +22x x, ,即即y= +2y= +2恒在恒在y=2y=2x x的下方的下方. . 故故m(1,2).m(1,2). 2 xx 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数f(x)=ef(x)=ex x+3x+1+3x+1的零点所在的区间为的零点所在的区间为( () ) A.(-2,-1)A.(-2,-1)B. B. C. C. D. D. 1
21、 ( 1) 2 ， 1 (0) 2 ， 1 (0) 2 ， 【解析】【解析】选选B.B.函数函数f(x)=ef(x)=ex x+3x+1+3x+1是连续函数是连续函数, , 因为因为f(-1)=ef(-1)=e-1 -1-3+10, -3+10, 故函数的零点所在的区间为故函数的零点所在的区间为 1 2 13 f()e10, 22 1 ( 1). 2 ， 4.4.函数函数y=xy=x2 2-bx+1-bx+1有一个零点有一个零点, ,则则b=_.b=_. 【解析】【解析】因为函数有一个零点因为函数有一个零点, ,所以所以=b=b2 2-4=0,-4=0, 所以所以b=b=2.2. 答案答案:
22、:2 2 5.(20205.(2020南通高一检测南通高一检测) )已知函数已知函数f(x)=|xf(x)=|x2 2-5|-2,-5|-2,则函数则函数F(x)=xf(x)-1F(x)=xf(x)-1的零点的零点 的个数为的个数为_._. 【解析】【解析】显然显然x=0 x=0不是函数不是函数F(x)F(x)的零点的零点, , 令令F(x)=xf(x)-1=0,F(x)=xf(x)-1=0,则则f(x)= .f(x)= . 故函数故函数F(x)F(x)的零点个数即为函数的零点个数即为函数f(x)f(x)的图象与函数的图象与函数g(x)= g(x)= 的图象的交点个数的图象的交点个数, , 在同一坐标系中作两函数图象如图在同一坐标系中作两函数图象如图: : 1 x 1 x 由图可知由图可知, ,函数函数f(x)f(x)与函数与函数g(x)g(x)的图象有的图象有5 5个交点个交点, ,即函数即函数F(x)F(x)有有5 5个零点个零点. . 答案答案: :5 5
