1、11.1.5旋转体 一、圆柱、圆锥、圆台 1.思考 (1)圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗? 提示:能,这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形,直角三角形, 直角梯形绕一特定轴旋转形成. (2)将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展 开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来. 提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在 平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示. 2.填空 (1)圆柱、圆锥、圆台: 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体; 圆锥可看成以直角三角形的一直角边所在直线
2、为旋转轴,将直角 三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体; 圆台可看成以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴,将直 角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体. 用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋 转体,其中,旋转轴称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋 转体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面,不垂 直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到 什么位置,不垂直于轴的边都称为母线. 在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由 圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、 等腰三角形、梯形. 显然,圆台可以看
3、成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何 体. 旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积,侧面积与底面积之和称 为旋转体的表面积(或全面积). (2)圆柱、圆锥、圆台的相关特征: (3)几种几何体的表面积公式 3.做一做 (1)判断正误. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面. ( ) 用平面去截圆锥,会得到一个圆锥和一个圆台.() 答案: (2)圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于 () A.72 B.42C.67 D.72 解析:S表=(32+42+36+46)=67. 答案:C (3)下列图形中是圆柱的序号为. 解析:由圆柱的几何特征知为圆柱. 答案: (4)如图所示,已知圆
4、锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高 h=. 答案:3 二、球 1.思考 (1)平时我们大家在体育课上玩的篮球与本节将要研究的球的概念 一致吗? 提示:不一致.因为篮球内部是空的,球是几何体(内部不是空的).球 体的表面称之为球面.若篮球皮厚度不计,篮球不是球体,但比较接 近球面的定义. (2)实际生活中,飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行? 提示:因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行程 最短. 2.填空 (1)球的相关概念 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形 成的曲面;球面围成的几何体,称为球.球也是一个旋转体. 形成球面的半圆的圆心称为球
5、的球心,连接球面上一点和球心的 线段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直 径. 由球面的形成过程可看出,球面可以看成空间中到一个定点的距 离等于定长的点的集合. 球的截面是一个圆面(圆及其内部). 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的 平面截得的圆称为球的小圆. (2)球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积S=4R2,即球的表面积等于它的大 圆面积的4倍. (3)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较 3.做一做 (1)球的任意两条直径不具有的性质是() A.相交 B.平分 C.垂直 D.都经过球心 解析:球的任意两条直径相交、平分、都经过球心,就是不满足垂
6、 直.故选C. 答案:C (2)有下列说法: 球的半径是球面上任意一点与球心的连线; 球的直径是球面上任意两点间的连线; 用一个平面截一个球,得到的是一个圆. 其中说法正确的序号是. 解析:利用球的结构特征判断:正确;不正确,因为直径必过球 心;不正确,因为得到的是一个圆面. 答案: 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 旋转体的结构特征旋转体的结构特征 例1判断下列各命题是否正确. (1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何 体是圆台; 解: 错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个 圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示. 探究一探究二探究三探究四
7、探究五当堂检测 (2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形, 圆台的轴截面是等腰梯形; 解:正确. (3)到定点的距离等于定长的点的集合是球. 解:错误.应为球面. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 变式训练1给出下列说法:圆柱的底面是圆面;经过圆柱任意两 条母线的截面是一个矩形面;圆台的任意两条母线的延长线可能 相交,也可能不相交;夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个 旋转体.其中说法正确的是.（填序号） 解析:正确;正确; 不正确,圆台的母线延长相交于一点; 不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体, 其他的两截面间几何体不是旋转体. 答案: 探究
8、一探究二探究三探究四探究五当堂检测 旋转体中的基本计算旋转体中的基本计算 例2如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆 台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3cm, (1)求圆台OO的母线长; 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 解:设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为 116,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截 面,如图所示. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (2)若圆台上底面的半径为1,求它的表面积. 解:若圆台上底面的半径为1, 则下底面的半径为4, 故它的表面积为 S=(12+42+19+49)=
9、62. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 变式训练2一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4 cm2 和25 cm2.求: (1)圆台的高; 解:(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面, 设圆台的高为h cm,由条件可得圆台上底半径r=2 cm,下底半径r=5 cm. 由勾股定理得 (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 解:设圆锥的母线长为x,由三角形相似得: 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 旋转体的侧面积或表面积旋转体的侧面积或表面积 例3(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则这个圆 锥的侧面积是() 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (2
10、)圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积 为() 解析:设半径为r,母线为l,由已知得S=r2, 又l=2r,侧面积S=2rl=42r2=4S.故选A. 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (3)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇 环的圆心角是180,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留) 解:如图,设圆台的上底面周长为c, 因为扇环的圆心角180,所以c=SA. 又c=210=20,所以SA=20 cm. 同理SB=40 cm,所以AB=SB-SA=20cm. S表面积=S侧+S上底+S下底 =(O1A+OB)AB+O1A2+
11、OB2 =(10+20)20+102+202 =1 100cm2 所以圆台的表面积是1 100 cm2. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 变式训练3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于( ) A.15 B.15C.24 D.30 解析:S侧=rl=35=15.故选B. 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (2)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6和4的矩形,则圆柱的表面 积为() A.6(4+3) B.8(3+1) C.6(4+3)或8(3+1) D.6(4+1)或8(3+2) 解析:圆柱的侧面积S侧=64=242.由于圆柱的底面周长和母线 长不明确,因此进行
12、分类讨论:长为6的边为母线时,4为圆柱的 底面周长,则2r=4,即r=2,S底=4,S表=S侧+2S底 =242+8=8(3+1);长为4的边为母线时,6为圆柱的底面周长, 则2r=6,即r=3.S底=9,S表=S侧+2S底=242+18=6(4+3).故 选C. 答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (3)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为144,母线长为10, 则圆台的侧面积为() A.81B.100 C.14D.169 解析:圆台的轴截面如图, 设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r. 因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中, 有102=(4r)2+(4r-r)2.
13、解得r=2. 所以S圆台侧=(r+4r)10=100.故选B. 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 旋转体的截面与侧面展开旋转体的截面与侧面展开 例4已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm,截得圆台的 圆锥的母线长为12 cm,求圆台的母线长. 解:如图是圆台的轴截面, 由题意知AO=2 cm,AO=1 cm, SA=12 cm. 所以AA=SA-SA=12-6=6(cm). 所以圆台的母线长为6 cm. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 延伸探究本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇 环(如图). (1)求扇环的圆心角; (2)求扇环的面积. 探
14、究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 变式训练4圆台的上底面面积为,下底面面积为16,用一个平行于 底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为21,求 这个截面的面积. 解:圆台的轴截面如图所示, O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心,过点D作DFAB于点 F,交GH于点E. 由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3. 所以GE=2. 所以圆O3的半径为3,所以这个截面的面积为9. 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 球中的计算问题球中的计算问题 例5(1)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等 于13,则球心O到ABC所在小圆的距
15、离为. 解析:因为AB=10,AC=6,BC=8, 所以ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径. 所以r=5. 轴截面图如下,所以d2=R2-r2=132-52=122. 所以球心O到ABC所在小圆的距离为12. 答案:12 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 反思感悟解决有关球的问题时常用到的性质 (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连 线与这个截面垂直. (2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截 面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三 角形问题.
16、 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 变式训练5(1)用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截面圆的面积. 解:如图所示,设AK为截面圆的半径,O为球心,则OKAK. 在RtOAK中,OA=5 cm,OK=4 cm, 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 解析:设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则由已知,得 答案:9 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 (2)用一个平面截半径为5 cm的球,球心到截面的距离为4 cm,求截 面圆的面积. 解:如图所示,设AK为截面圆的半径,O为球心,则OKAK. 在RtOAK中,OA=5 cm,OK=4 cm,
17、探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 1.圆锥的母线有() A.1条B.2条 C.3条D.无数条 解析:圆锥的母线在侧面上,有无数条. 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 2.(多选题)下列几何体不是台体的是() 解析:台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一 点.B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥.结合棱台和圆台 的定义可知D是台体. 答案:ABC 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 3.圆柱OO的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为. 解析:由已知得圆柱OO的底面半径为2,则其侧面积S侧 =2rl=226=24,表面积S表=2r
18、(r+l)=22(2+6)=32. 答案:2432 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 4.如图几何体是由平面图形旋转得到的.（填序号） 解析:因为题图为一个圆台和一个圆锥的组合体,因此平面图形应 是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的.由此可知不正 确.正确. 答案: 探究一探究二探究三探究四探究五当堂检测 5.如图是不是棱锥、圆柱、圆锥、圆台等几何体? 解:图中的六个三角形不只有一个公共点,故不是棱锥,只是一个 多面体;图不是圆柱,因为上、下两底面不平行(或不是由一个矩 形旋转而成);图不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥;图 截圆锥的平面与底面不平行,故截面与底面之间的几何体不是圆 台.
