1、强化训练强化训练 10圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的综合问题 1(2021山西大学附属中学模拟)椭圆x 2 16 y2 251 的长轴长为( ) A4B5C10D8 答案C 解析由题意知，椭圆x 2 16 y2 251，即 a 225， 所以其长轴长为 2a10. 2(2021重庆一中模拟)若椭圆 C：x 2 8 y 2 4 1 的右焦点为 F，过左焦点 F作倾斜角为 60的 直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则PQF 的周长为() A6 2B8 2 C6D8 答案B 解析由椭圆方程可知 a28a2 2， 根据椭圆的定义可知|PF|PF|2a，|QF|QF|2a， PQF 的周长为|PQ|P
2、F|QF|PF|QF|PF|QF|4a8 2. 3(2020怀化质检)“m1”是“曲线 x2 3m y2 m11 表示椭圆”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析由曲线 x2 3m y2 m11 表示椭圆， 得 3m0， m10， 3mm1， 解得 m(1,2)(2,3)， 由于(1,2)(2,3)(1，)， 所以“m1”是“曲线 x2 3m y2 m11 表示椭圆”的必要不充分条件 4已知点 A(0， 5)，B(2,0)，点 P 为函数 y21x2图象上的一点，则|PA|PB|的最小 值为() A12 5B7C3D不存在 答案B 解析由 y
3、2 1x2，得y 2 4 x21(y0) 设点 A(0， 5)，即点 A(0， 5)，A(0， 5)为双曲线y 2 4 x21 的上、下焦点 由双曲线的定义得|PA|PA|4， 则|PA|PB|4|PA|PB|4|BA|7. 5(多选)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2在 y 轴上，短轴长等于 2，离心率为 6 3 ， 过焦点 F1作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，则下列说法正确的是() A椭圆 C 的方程为y 2 3 x21 B椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 C|PQ|2 3 3 DPF2Q 的周长为 4 3 答案ACD 解析由已知得，2b2，b1，c a 6
4、 3 ， 又 a2b2c2，解得 a23. 椭圆方程为 x2y 2 3 1. 如图 |PQ|2b 2 a 2 3 2 3 3 ， PF2Q 的周长为 4a4 3. 故选 ACD. 6(多选)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y 3 3 x，则下列结论正确的是() AC 的方程为x 2 3 y21 BC 的离心率为 3 C曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D直线 x 2y10 与 C 有两个公共点 答案AC 解析因为渐近线方程为 y 3 3 x，所以可设双曲线方程为x 2 9 y 2 3 ，代入点(3， 2)，得 1 3，所以双曲线方程为 x2 3 y21，选项 A 正确；该双
5、曲线的离心率为2 3 3 ，选项 B 不正确； 双曲线的焦点为(2,0)，曲线 yex 21 经过双曲线的焦点(2,0)，选项 C 正确；把 x 2y1 代入双曲线方程，得 y22 2y20，解得 y 2，故直线 x 2y10 与曲线 C 只有一 个公共点，选项 D 不正确 7已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21，且圆 E：(x2) 2y21 的圆心是双曲线 C 的右焦点若圆 E 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为_ 答案 x2 3 y21 解析c2a2b24. 取渐近线方程为 bxay0， 又 |2b| a2b21a 23b2. 由可得 a23，b21， 双曲线 C 的
6、方程为x 2 3 y21. 8(2021重庆一中模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点，PAl， 垂足为 A，若直线 AF 的斜率为 3，则|PF|_. 答案4 解析抛物线方程为 y24x， 焦点 F(1,0)，准线 l 的方程为 x1， 直线 AF 的斜率为 3， 直线 AF 的方程为 y 3(x1)， 当 x1 时，y2 3， 可得 A 点坐标为(1,2 3) PAl，A 为垂足， P 点纵坐标为 2 3，代入抛物线方程，得 P 点坐标为(3,2 3)， |PF|PA|3(1)4. 9在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b
7、0)的左焦点 F 关于一条渐近线的对 称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为_ 答案2 解析设 F(c,0)关于直线 yb ax 的对称点为 P(x 0，y0)， 则 y0 2 x0c 2 b a， y0b ax 0， 解得 x0c 2，y 0bc 2a， 所以 P c 2， bc 2a ， 因为直线 PF 与直线 yb ax 互相垂直， 则 bc 2a cc 2 b a1，即 b 23a2， 又 b2c2a2，所以 c24a2， 解得 e2. 10(2021福州第一中学模拟)已知 F1，F2是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，点 A 在 椭圆 E 上，且F1A
8、F2120，|AF1|2|AF2|，则椭圆离心率是_ 答案 7 3 解析因为点 A 在椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)上， 所以|AF1|AF2|2a， 又|AF1|2|AF2|，所以 |AF1|4 3a， |AF2|2 3a， 因为|F1F2|2c， 又在AF1F2中，F1AF2120， 所以根据余弦定理可得 cosF1AF2|AF1| 2|AF2|2|F1F2|2 2|AF1|AF2| 16 9 a24 9a 24c2 16 9 a2 5 4 9 4e 21 2， 解得 e 7 3 (负值舍去) 11.如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x
9、 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 (1)设 AB 的中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 4 1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围 (1)证明设 P(x0，y0)，A 1 4y 2 1，y1 ，B 1 4y 2 2，y2 . 因为 PA，PB 的中点在抛物线上， 所以 y1，y2为方程 yy0 2 24 1 4y 2x0 2 ， 即 y22y0y8x0y200 的两个不同的实根 所以 y1y22y0，所以 PM 垂直于 y 轴 (2)解由(1)可知 y1y22y0， y1y28x0y20， 所以|PM|1 8(y
10、2 1y22)x03 4y 2 03x0， |y1y2|2 2y204x0. 所以PAB 的面积 SPAB1 2|PM|y 1y2|3 2 4 (y204x0) 3 2 . 因为 x20y 2 0 4 1(1x0b0)的离心率为 3 2 ，短轴长为 2. (1)求椭圆 L 的标准方程； (2)过点 Q(0,2)的直线 l 与椭圆 L 交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直 线 l 的方程及|AB|的大小 解(1)由 e2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 3 4，得 a 24b2， 又短轴长为 2，可得 b1，a24， 椭圆 L 的标准方程为x 2 4 y21
11、. (2)易知直线 l 的斜率存在且不为零， 设直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 ykx2， 则联立 ykx2， x24y240， 消元得(4k21)x216kx120， 1616k248(4k21)16(4k23)0，即 k23 4. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2 16k 4k21，x 1x2 12 4k21， 由题意可知OA OB ，即OA OB 0， x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)40， 121k 2 14k2 32k2 14k240， 解得 k243 4， |AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 1k2
12、4 4k 23 14k2 4 65 17 . 综上，直线 l 的方程为 2xy20 或 2xy20，|AB|4 65 17 . 13焦点为 F 的抛物线 C：y24x 的对称轴与准线交于点 E，点 P 在抛物线 C 上，在EFP 中，sinEFP 2sinFEP，则|EP|的值是() A2 2B4C2D1 答案A 解析如图所示，过点 P 作 PH 垂直于准线于点 H， 设|PE|m，则|PF|PH|mcosFEP， 在EFP 中，由正弦定理知 |PF| sinPEF |PE| sinEFP， 即mcosFEP sinFEP m 2sinFEP， 所以 cosFEP 2 2 ， 又FEP(0，)
13、，所以FEP 4， 则 sinEFP 2sinFEP1， 又EFP(0，)，所以EFP 2， 在 RtEFP 中，|EF|2，FEP 4， 所以|PE|2 2. 14(2020潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行 于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦 点已知抛物线 y24x 的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上 的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则ABM 的周长为() A.71 12 26 B9 10C.83 12 26 D9 26 答案D 解析抛物线方程中，令
14、 y1 可得 x1 4，即 A 1 4，1， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点 F，设直线 AB 的方程为 yk(x1)， 与抛物线方程联立可得：k2x22(k22)xk20， 据此可得 xAxB1，xB 1 xA4，且|AB|x AxBp25 4 ， 将 x4 代入 y24x 可得 y4，故 B(4，4)， 故|MB| 432412 26， 故ABM 的周长为|MA|AB|BM| 31 4 25 4 269 26. 15已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，其中 B 在 x 轴上方，P，Q 分别为圆(x1)2y21
15、 上的两个动点，当 4|AP|BQ|最小 时，直线 l 的斜率为_ 答案2 2 解析设直线 l：yk(x1)(k0)， 当 4|AP|BQ|最小时，即|AP|，|BQ|分别取最小值， 则|AP|min|AF|1，|BQ|min|BF|1， 所以(4|AP|BQ|)min4|AF|BF|5， 联立 ykx1， y24x， 化简得 k2x2(2k24)xk20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21， 由抛物线的定义得|AF|x11，|BF|x21， 故 1 |AF| 1 |BF| 1 x11 1 x21 x1x22 x11x21 x1x22 x1x2x1x21 x1x22 x1
16、x221， 得 4|AF|BF|5(4|AF|BF|) 1 |AF| 1 |BF| 54， 当且仅当|BF|2|AF|时取等号， 此时|AF|3 2，|BF|3， 则 x11 2，x 22，则 x1x22k 24 k2 5 2， 解得斜率 k2 2(舍负) 16 顺次连接椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的四个顶点， 恰好构成了一个边长为 3且面积为 2 2 的菱形 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 M(3,0)，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若对满足条件的任意 直线 l，不等式MA MB (R)恒成立，求的最小值 解(1)由已知得 1 2
17、2a2b2 2， a2b23， 又 ab0，所以 a 2，b1, 所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， MA MB (x13，y1)(x23，y2)(x13)(x23)y1y2， 当直线 l 垂直于 x 轴时，x1x21，y1y2，且 y211 2， 此时MA (4，y1)，MB (4，y2)， MA MB 31 2 ； 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l：yk(x1)， 由 ykx1， x22y22， 得(12k2)x24k2x2k220 (4k2)24(2k22)(12k2)0， x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 22 12k2， MA MB x1x23(x1x2)9k2(x11)(x21) (1k2)x1x2(3k2)(x1x2)k2931k 27 2k21 1 2 31 17 2k21 31 2 ， 要使不等式MA MB (R)恒成立， 只需(MA MB )max31 2 . 即的最小值为31 2 .
