1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节数列求和的常用方法 知 识 梳 理 求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 等差数列的前 n 项和公式 Snn（a1an） 2 na1n（n1） 2 d 等比数列的前 n 项和公式 ()当 q1 时，Snna1； ()当 q1 时，Sna1（1q n） 1q a1anq 1q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求
2、和，正负相消剩下首尾若干项 (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数 列求和公式的推导过程的推广 (6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中， 可两两结合求解， 则称之为并项求和 形如 an(1)nf(n) 类型，可采用两项合并求解 例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21) 5 050. 1一些常见数列的前 n 项和公式 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人
3、教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)1234nn（n1） 2 ； (2)1357(2n1)n2； (3)2462nn2n； (4)122232n21 6n(n1)(2n1) 2常见的裂项公式 (1) 1 n（n1） 1 n 1 n1； (2) 1 （2n1） （2n1） 1 2 1 2n1 1 2n1 ； (3) 1 n n1 n1 n. 诊 断 自 测 1若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的前 n 项和为() A2nn21B2n 1n21 C2n 1n22 D2nn2 答案C 解析Sn2（12 n） 12 n（12n1） 2 2n 1
4、2n2. 2已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，当 n2 时，an2Sn1n.则 S2 021等于 () A1 011B1 008C1 009D1 010 答案A 解析由an2Sn1n(n2)得an12Snn1， 两式相减得an1an2an1an 1an1S2 021a1(a2a3)(a2 018a2 019)(a2 020a2 021) 1 010111 011. 3数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3)，则它的前 100 项之和 S100 等于 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q
5、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 () A200B200C400D400 答案B 解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12) (34)(99100)4(50)200. 4(必修 5P61A4(3)改编)12x3x2nxn 1_(x0 且 x1) 答案 1xn （1x）2 nxn 1x 解析设 Sn12x3x2nxn 1， 则 xSnx2x23x3nxn， 得(1x)Sn1xx2xn 1nxn 1x n 1x nxn， Sn 1xn （1x）2 nxn 1x. 5数列an的通项公式为 anncos n 2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2 021_ 答案1
6、 010 解析因为数列 anncos n 2 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a2 2，a30，a44. 故 S4a1a2a3a42. a50，a66，a70，a88， 故 a5a6a7a82，周期 T4. S2 0212 020 4 2a11 010. 6(2016浙江卷)设数列an的前 n 项和为 Sn.若 S24，an12Sn1，nN*，则 a1_，S5_ 答案1121 解析由 a22a11， a2a14， 解得 a11， a23， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48312
7、2854 期待你的加入与分享 当 n2 时，由已知可得： an12Sn1， an2Sn11， 得 an1an2an， an13an，又 a23a1， an是以 a11 为首项，公比 q3 的等比数列 S5113 5 13 121. 考点一分组转化法求和 【例 1】 (2021深圳二调)已知数列an满足 a12，an1an2n2(nN*) (1)判断数列an2n是否为等差数列，并说明理由； (2)记 Sn为数列an的前 n 项和，求 Sn. 解(1)设 bnan2n，则 bn1an12n 1， 则 bn1bn(an12n 1)(an2n)an 1an2n， (an2n2)an2n2(nN*)，
8、所以数列an2n是首项为 0，公差 d2 的等差数列 (2)由(1)可知 an2n02(n1)， an2n2(n1)， Sn2（12 n） 12 n02（n1） 2 2n 1n2n2. 感悟升华(1)若数列cn的通项公式为 cnanbn，且an，bn为等差或等比数 列，可采用分组求和法求数列cn的前 n 项和 (2)若数列cn的通项公式为 cn an，n 为奇数， bn，n 为偶数，其中数列a n， bn是等比数列或 等差数列，可采用分组求和法求cn的前 n 项和 【训练 1】 (2021绍兴月考)已知数列an的前 n 项和 Snn 2n 2 ，nN*. (1)求数列an的通项公式； 本资料分
9、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和 解(1)当 n1 时，a1S11； 当 n2 时，anSnSn1n 2n 2 （n1） 2（n1） 2 n. a1也满足 ann，故数列an的通项公式为 ann(nN*) (2)由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn. 记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n(212222n)(12342n) 记 A212222n，B12342n， 则 A2（12 2n
10、） 12 22n 12， B(12)(34)(2n1)2nn. 故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n 1n2. 考点二错位相减法求和 【例 2】 (2021新力量联盟期末)已知数列an是等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a53a2，S714a27. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列anbn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列bn(anbn)的前 n 项和 Tn. 解(1)设等差数列an的公差为 d. 由 a53a2得 a14d3(a1d)， 化简得 d2a1， 由 S714a27 得 da11， 由得 a11，d2， 所以数列an的通项公式为 an2n1. (2)由
11、数列anbn是首项为 1，公比为 2 的等比数列得 anbn2n 1，即 2n1 bn2n 1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 bn2n 12n1， 所以 bn(anbn)2n 1(2n12n1) 4n 1(2n1)2n1， 令 cn4n 1，dn(2n1)2n1， 则cn的前 n 项和 Pn4 n1 3 ， dn的前 n 项和 Qn1132522(2n3)2n 2 (2n1)2n 1， 2Qn12322523(2n3)2n 1 (2n1)2n
12、， 得 Qn12222222n 1(2n1)2n 2(12222n 1)(2n1)2n1 (32n)2n3， 所以 Qn(2n3)2n3， 所以 TnPnQn4 n 3 (2n3)2n10 3 . 感悟升华(1)一般地， 如果数列an是等差数列， bn是等比数列， 求数列anbn 的前 n 项和时，可采用错位相减法求和 (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“SnqSn”的表达式 【训练 2】 (2021嘉、丽、衢模拟)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 an12Sn 1(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)在 an和 an1
13、之间插入 n 个实数，使得这 n2 个数依次组成公差为 dn的等差数 列，求数列 1 dn的前 n 项和 Tn. 解(1)因为 an12Sn1， 故 an2Sn11(n2)，两式相减可得 an1an2(SnSn1)2an(n2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故 an13an(n2)， 因为an是等比数列，且 a22a11， 所以 3a12a11，故 a11，所以 an3n 1. (2)由题设可得 an1an(n1)dn， 所以 1 dn n1 a
14、n1an n1 23n 1， 所以 Tn1 3 23 4 232 n1 23n 1， 则 1 3T n1 3 3 232 n 23n 1n1 23n ， 得 2 3T n1 1 23 1 232 1 23n 1n1 23n 1 1 23 1 1 3n 1 11 3 n1 23n . 所以 Tn15 8 2n5 83n 1. 考点三裂项相消法求和 【例 3】 已知数列an中，a11，a22，an12an13an(n2)，数列an的前 n 项和为 Sn. (1)求 an； (2)设 bn Sn1 SnSn1(nN *)，Tnb1b2bn，求 Tn. 解(1)由题意知 an1an2(anan1)(n
15、2)， 又因为 a2a110， 所以数列an1an为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 所以 an1an2n 1. 当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n 22n320 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 11（12 n1） 12 12n 1， 当 n1 时，a11 也满足上式，故 an2n 1，nN*. (2)由(1)知，Sn2n1， 所以 bn 2n （2n1）（2n 11） 1 2n1 1 2n 11， 故 Tnb1b
16、2bn 1 211 1 221 1 221 1 231 1 2n1 1 2n 11 1 211 1 2n 111 1 2n 11. 感悟升华(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最 后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项 (2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之 积与原通项公式相等 【训练 3】 正项数列an的前 n 项和 Sn满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0. (1)求数列an的通项公式； (2)令 bn n1 （n2）2a2n，求数列b n的前 n 项和 Tn. 解(1)由 S2n(n2n1)Sn(n2n)0， 得Sn(n
17、2n)(Sn1)0. 由于an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n. 于是 a1S12， 当 n2 时，anSnSn1 n2n(n1)2(n1)2n， 又 a1221 适合上式 综上，数列an的通项公式 an2n(nN*) (2)由于 an2n，bn n1 （n2）2a2n， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 bn n1 4n2（n2）2 1 16 1 n2 1 （n2）2. Tn 1 16 1 1 32 1 22 1 42 1 32 1 52 1
18、（n1）2 1 （n1）2 1 n2 1 （n2）2 1 16 1 1 22 1 （n1）2 1 （n2）2 5 64 1 16（n1）2 1 16（n2）2. 基础巩固题组 一、选择题 1数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1234(1)n 1n，则 S17 () A9B8C17D16 答案A 解析S171234561516171(23)(45)(6 7)(1415)(1617)11119. 2已知数列an满足 a11，a23，an1an1an(n2)，则数列an的前 40 项和 S40() A20B40C60D80 答案C 解析由 an1 an an1(n2)，a 11，a23，可得
19、 a33，a41，a51 3，a 61 3，a 7 1，a83，这是一个周期为 6 的数列，一个周期内的 6 项之和为26 3 ，又 40 664，所以 S40626 3 133160. 3已知数列an满足 an1an2，a15，则|a1|a2|a6|() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A9B15C18D30 答案C 解析an1an2，a15，数列an是公差为 2 的等差数列 an52(n1)2n7. 数列an的前 n 项和 Snn（52n7） 2
20、n26n. 令 an2n70，解得 n7 2. n3 时，|an|an；n4 时，|an|an. 则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6 S62S362662(3263)18. 4(2021镇海中学检测)已知数列an满足 an0，a2n1a2n1 4a nan1，a11 2， 则该数列的前 2 020 项和等于() A.3 027 2 B1 514C.3 029 2 D1 515 答案D 解析由题意得 an11 2 2 an1 2 2 1 4，又 a n0，所以 a21，a31 2，a 41， 可得 an 1 2，n2k1，kN *， 1，n2k，kN*， 所以该数列的前 2 020
21、项和 S2 020 1 010 11 2 1 515，故选 D. 5已知数列an满足 a11，an1an2n(nN*)，则 S2 020() A22 0181B321 0103 C321 0091D321 0092 答案B 解析a11，a2 2 a12，又 an2an1 an1an 2 n1 2n 2.an 2 an 2.数列an的奇数项和 偶数项分别成等比数列，公比均为 2， S2 020a1a2a3a4a5a6a2 017a2 018a2 019a2 020 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
22、群 483122854 期待你的加入与分享 (a1a3a5a2 019)(a2a4a6a2 020) 12 1 010 12 2（12 1 010） 12 321 0103. 6(2021金丽衢十二校二联)设正数数列an满足 a1a2anSn，S1S2Sn Tn，SnTn1，则数列 1 an的前 10 项和属于() A(0，500)B(500，1 000) C(1 000，2 000)D(2 000，3 000) 答案A 解析因为 S1S2SnTn，SnTn1，所以 S1S2Sn1Sn，当 n1 时，S11 S1，所以 S11 2；当 n2 时，S 1S21S2，即 1 2S 21S2，所以
23、S22 3；当 n 3 时，S1S2S31S3，即 1 3S 31S3，所以 S33 4，故猜想 S n n n1，则 T n 1 n1， 代入已知检验等式 S1S2SnTn，SnTn1 成立，所以当 n2 时，anSnSn1 n n1 n1 n n2n21 n（n1） 1 n（n1），又 a 1S11 2，满足 a n 1 n（n1），所 以 an 1 n（n1），所以 1 ann(n1)n 2n，所以1 a1 1 a2 1 a101 22232 102(12310)1 6101121 （110）10 2 440(0， 500)，故选 A. 二、填空题 7 (2020浙江卷)我国古代数学家杨
24、辉、 朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题， 如数列 n（n1） 2就是二阶等差数列数列 n（n1） 2(nN*)的前 3 项和是 _ 答案10 解析设 ann（n1） 2 ，则 a112 2 1，a223 2 3，a334 2 6，因此前 3 项和 S3a1a2a313610. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 8有穷数列 1，12，124，1242n 1 所有项的和为_ 答案2n 12n 解析由题意知所求数列的通项为12 n 12 2n1，故由分组求
25、和法及等比数列的 求和公式可得和为2（12 n） 12 n2n 12n. 9数列an满足 anan11 2(nN *)，且 a11，Sn是数列an的前 n 项和，则 S21 _ 答案6 解析由 anan11 2， S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21) 1101 26. 10 (2021杭州质检)已知函数f(x)x的图象过点(4， 2)， 令an 1 f（n1）f（n）， nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 021_ 答案2 0221 解析由 f(4)2，可得 42，解得1 2，则 f(x)x 1 2.an 1 f（n1）f（n） 1 n1 n n1 n，S 2 0
26、21a1a2a3a2 021( 2 1)( 3 2) ( 4 3)( 2 022 2 021) 2 0221. 三、解答题 11(2021浙江名校仿真训练)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足： 对任意的 nN*，都有 an1Sn11，又 a11 2. (1)求数列an的通项公式； (2)令 bnlog2an，求 1 b1b2 1 b2b3 1 bnbn1(nN *) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解(1)由 an1Sn11， 得 a
27、nSn1(n2，nN*) ，得 2an1an0， 即 an11 2a n(n2，nN*) 由 a2S2a2(a1a2)2a11，a11 2， 得 a21 4 1 2a 1， 所以 an11 2a n(nN*)， 所以数列an是首项和公比都为1 2的等比数列， 因此 an 1 2n，nN *. (2)由 an 1 2n，得 b nlog2ann， 所以 1 bnbn1 1 n（n1） 1 n 1 n1， 所以 1 b1b2 1 b2b3 1 bnbn1 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. 12(2020全国卷)设an是公比不为 1 的等比数列，a1为 a2，a3
28、的等差中项 (1)求an的公比； (2)若 a11，求数列nan的前 n 项和 解(1)设an的公比为 q，由题设得 2a1a2a3， 即 2a1a1qa1q2. 所以 q2q20，解得 q1(舍去)或 q2. 故an的公比为2. (2)记 Sn为nan的前 n 项和由(1)及题设可得 an(2)n 1，所以 Sn12(2)n(2)n1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2Sn22(2)2(n1)(2)n 1n(2)n. 所以 3Sn1(2)(2)2(
29、2)n 1n(2)n 1（2） n 3 n(2)n. 所以 Sn1 9 （3n1） （2）n 9 . 能力提升题组 13 (2021嘉兴二测)已知数列an满足 a1a 且an1 1 2a n，n2k1，kN*， 2an，n2k，kN*. 设 Sn是数列an的前 n 项和，若 S2 0211，则 a 的值为() A. 1 3 030 B. 1 2 020 C. 1 1 516 D1 答案C 解析由题意得 a2k1 2a 2k1，a2k12a2k，a2k32a2k2，则 a2k1a2k12a2k.又 a2k32a2k2a2k12a2k， 则 a2ka2k2， 所以数列an是以 2 为周期的周期数列
30、， 所以 S2 0211 010 a1 2aa1 516a，即 a 1 1 516，故选 C. 14 已知数列an的通项公式为 an 1 （n1） nn n1(nN *)， 其前 n 项和为 Sn，则在数列 S1，S2，S2 016中，有理数项的项数为() A42B43C44D45 答案B 解析an 1 （n1） nn n1 （n1） nn n1 （n1） nn n1（n1） nn n1 n n n1 n1 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 S
31、n1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 n n n1 n1 1 n1 n1 ， 因此 S3，S8，S15为有理项，又下标 3，8，15，的通项公式为 n21(n2)， 所以 n212 016，且 n2， 所以 2n44，所以有理项的项数为 43. 15(2021浙江名校联考信息卷七)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，a2 2，且对任意 nN*，有 a2n1anan25，则 S1S2S2 021_ 答案3 031 解析因为 a11， a22， a22a1a35， 所以 a31， 由 a23a2a45 得 a42， 由 a24a3a55 得 a51，由 a25a4a65 得 a
32、62，所以an是周期为 4 的数 列所以 S11，S2a1a23，S3a1a2a3a22，S4a1a2a3a40， S5a1a2a3a4a51S1，所以Sn是周期为 4 的数列又 S1S2S3 S46，所以 S1S2S2 021505(S1S2S3S4)S13 031. 16设函数 f(x) 2 2x1，利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法，求得 f(5) f(4)f(0)f(4)f(5)的值为_ 答案11 解析函数 f(x) 2 2x1， 可得 f(x) 2 2 x1 22x 12x， 则 f(x)f(x) 2（12x） 12x 2， 设 sf(5)f(4)f(0)f(4)f(5)， 则
33、 sf(5)f(4)f(0)f(4)f(5)， 相加可得 2sf(5)f(5)f(4)f(4)2f(0)f(4)f(4)f(5) f(5) 22222211， 可得 s11. 17(2021湖州中学质检一)设an是等差数列，bn是等比数列，已知 a11，b1 2，b22a2，b32a32. (1)求 an和 bn； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)设数列cn满足 c11，cn an，2kn0，f(7)bn，当 n7 时，bnan. 记数列bn的前
34、 n 项和为 Tn， 则 Tn2 n1 3 . 当 n6 时，|a1b1|a2b2|anbn| (a1a2an)(b1b2bn) n(n1)2 n1 3 ； 当 n7 时，|a1b1|a2b2|anbn| (a1a2a6)(b1b2b6)(b7bn)(a7an) TnSn2S62T6 2 n1 3 n(n1)42. 综上，|a1b1|a2b2|anbn| 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 n（n1）2 n1 3 ，n6， n（n1）2 n1 3 42，n7.
