1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 7.1空间几何体及其表面积、体积 考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些 特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图. 3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.多面体的结构特征多面体的结构特征 知识梳理 名称棱柱棱锥棱台 图形 含义 有两个面互相_ _，其余各面都是 _. 每相邻两个四边形的 公共边
2、都互相_ 有一个面是_， 其余各面都是有一个 公共顶点的_ 的多面体 用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥， _和_ 之间的部分 侧棱_ 相交于_但不一 定相等 延长线交于 _ 侧面形状_ 平行且 全等 平行四边形 平行 多边形 三角形 截面底面 平行且相等 一点 一点 平行四边形三角形梯形 2.旋转体的结构特征旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 互相平行且相等， _于底面 相交于_ 延长线交于 _ 轴截面全等的_ 全等的_ _ 全等的_ _ _ 侧面展开图_ 垂直 一点 一点 矩形 等腰 三角形 等腰 梯形 圆面 矩形扇形扇环 3.直观图直观图 斜二测画法：(1)原图形中x轴
3、、y轴、z轴两两垂直，直观图中x 轴、y 轴 的夹角为 ，z轴与x轴和y轴所在平面 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 ，平行于x轴 和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段在直观图中 长度为 45或135垂直 平行于坐标轴 不变 原来的一半 4.多面体的表面积、侧面积多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面 积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧_S圆锥侧_S圆台侧_2rl rl (r1r2)l
4、 6.柱、锥、台、球的表面积和体积柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底V_ 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V_ 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下 球S_V_ Sh 4R2 1.如何求旋转体的表面积？ 微思考 提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积 是侧面积与底面积之和. 2.柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？ 提示 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.() (2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆
5、锥和一个圆台.() (3)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形.() (4)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线. () 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.如图，长方体ABCDABCD被截去一 部分，其中EHAD，剩下的几何体是 A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 3.母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为 _. 16 设圆锥底面圆的半径为r， 则82r， 4.一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球 的表面积为_.14 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观
6、图 为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 6.下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是 TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一空间几何体 多维探究 命题点1直观图 例1已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB ，下底AB3， 以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的 面积为_. 解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图. 命题点2展开图 例2(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开 图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_. 1 解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
7、则圆锥的侧面积S侧rl2， rl2. 又圆锥侧面展开图为半圆， l2，r1. 画几何体的直观图，掌握线段方向、长度两要素即可；几何体的展开图 和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题重点. 思维升华 跟踪训练1(1)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 (2)(2020安庆模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱 长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬 到A1，路线为AMNA1，则蚂蚁爬行的最短路程是 解析正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形， 矩形的长为3b，宽为a， 则其对角线AA1的长为最短路程. 题型
8、二表面积与体积 多维探究 命题点1表面积 例3(2020全国)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为 ABC的外接圆，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表 面积为 A.64 B.48 C.36 D.32 解析如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形 ABC的边长为a. 由r24，得r2， 所以S球4R241664. 命题点2体积 例4(2020新高考全国)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1D1MN的体积为_.1 解析如图，由正方体棱长为2， 1 A MN S 又易知D1A1为三棱锥D1A1MN的高，且D1A12
9、， 11 AD MN V 11 DA MN V 1 A MN S (1)空间几何体表面积的求法 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分 的处理. (2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 直接利用公式进行求解. 用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. 思维升华 跟踪训练2(1)(2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1， O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该 圆柱的表面积为 解析设圆柱的轴截面的边长为x， (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是 边长为1的正方形，
10、且ADE，BCF均为正三角形， EFAB，EF2，则该多面体的体积为_. 解析如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面 ADM平面BCG，取BC的中点O，连接GO，FO， 题型三与球有关的切、接问题 多维探究 命题点1简单几何体的外接球 例5(八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其 上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为_.61 解析截面图如图所示，下底面半径为5，圆周直径为10. 则圆台的下底面位于圆周的直径上，OCOB5， OC4，OOC (1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示， 设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆 上任意一点，球
11、心O到截面圆O的距离为d，则在 RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2. 思维升华 (2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何 体的体对角线. 命题点2简单几何体的内切球 例6(2020全国)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内 半径最大的球的体积为_. 解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r. 作出圆锥的轴截面PAB，如图所示， 则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆. 在PAB中，PAPB3，D为AB的中点，AB2，E为切点， “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
12、思维升华 跟踪训练3(1)已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA1，SB SC2，若点P为三棱锥SABC的外接球的球心，则这个外接球的半 径是_. 解析如图所示，将三棱锥补形为长方体， 则该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线， 设外接球半径为R， 则(2R)21222229， (2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为 解析平面ACD1，截球O的截面为ACD1的内切圆， 正方体棱长为1， 寻找球心解决与球有关的问题拓展视野 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心及半径，常见的求解方法 有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱
13、锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点 (一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方 体，根据4R2a2b2c2求解. (3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的 几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已 知量的关系，列方程(组)求解. 一、解方程确定球心的位置 例1已知正三棱锥SABC的侧棱长为 ，底面边长为6，则该正三棱 锥外接球的表面积是_.64 解析如图，过点S作SE平面ABC
14、于点E，记球心为O. 球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R， OBR，OE6R. 在RtBOE中，OB2BE2OE2， 即R212(6R)2， 解得R4， 外接球的表面积为S4R264. 二、借助三角形的外心确定球心的位置 例2(2021南昌市八一中学模拟)如图所示，在三棱锥SABC中， ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小为 ， 若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为 解析如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD， 由题意得ADBC，SDBC， ADS是二面角ABCS的平面角， 由题意得BC平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，
15、F， 在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD， 两条直线的交点即球心O，连接OA， 则球O半径ROA， 连接OD，在RtODE中， 三、有公共直角边四面体的外接球问题 例3(2021新疆维吾尔自治区模拟)在四面体ABCD中，AB ，DA DBCACB1，则四面体ABCD的外接球的表面积为 A. B.2 C.3 D.4 解析取AB的中点O， 所以CA2CB2AB2，AD2BD2AB2， 可得ACBADB90， 四、对棱相等的四面体外接球问题 例4在四面体ABCD中，若ABCD ，ACBD2，ADBC ， 则四面体ABCD的外接球的表面积为 A.2B.4C.6D.8 解析由题意可采用
16、割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三 角形， 且分别以x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、 高分别为x，y，z的长方体， 并且x2y23，x2z25，y2z24， 则有(2R)2x2y2z26(R为球的半径)， 得2R23， 所以球的表面积为S4R26. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.(2020天津)若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为 A.12 B.24 C.36 D.144 解析由题意知，正方体的体对角线就是球的直径， R3，S球4R236. 基础保分练 78910 11 12 13 14 15 16123456 2.已
17、知一个圆锥的母线长为4，且其侧面积是其轴截面面积的4倍，则该 圆锥的高为 解析不妨设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 解得h. 78910 11 12 13 14 15 16123456 3.(2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可 视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一 个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长 的比值为 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h， 如图，设O为正四棱锥SABCD底面的中心，E为BC
18、的中点， 78910 11 12 13 14 15 16123456 4.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1 ，点E为AB上的动点，则D1ECE的最小值为 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得ADAF，BCBG， 连接EG，FG， 四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱， AB平面ADD1A1，AB平面BCC1B1， ABAF，ABBG， 又ABADAF，四边形ABGF为正方形， D1ECE的最小值为D1G， 78910 11 12 13 14 15 16123456 5.(多选)下列说法正确的
19、是 A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C.棱台的侧面是等腰梯形 D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析A正确； B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行； C不正确，棱台的侧棱长可能不相等； D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.故选AD. 78910 11 12 13 14 15 16123456 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析如图，取ABC的中心为O，连接PO， 由题意得PO平面ABC， 又ABC为等边三角形， 78910 11 12 13
20、 14 15 16123456 作PDAB交AB于D， 故选AB. 78910 11 12 13 14 15 16123456 7.一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相 等，则该六棱锥的侧面积为_.12 设六棱锥的斜高为h， 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.(2020全国改编)已知ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都 在球O的球面上.若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为_. 78910 11 12 13 14 15 16 1 123456 解析如图所示，过球心O作OO1平面ABC， 78910 11 12 13 14 15
21、16 则O1为等边三角形ABC的外心. 设ABC的边长为a， 设球O的半径为r，则由4r216，得r2，即OA2. 即O到平面ABC的距离为1. 123456 9.(2020江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去 一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形的边长为2 cm， 高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积 是_cm3. 78910 11 12 13 14 15 16123456 10.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着 一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆 柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的 发现.我们来重温这个伟大
22、发现，圆柱的体积与球的体积 之比为_，圆柱的表面积与球的表面积之比为_. 78910 11 12 13 14 15 16123456 解析由题意，圆柱底面半径r球的半径R， 78910 11 12 13 14 15 16 V柱r2hR22R2R3. S球4R2， S柱2r22rh2R22R2R6R2. 123456 11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长AB1， 过点A1的平面与正方体的面相交，交线围成一个正 三角形. (1)在图中画出这个正三角形(不必说明画法和理由)； 78910 11 12 13 14 15 16 解连接A1D，A1B，BD，则A1BD为所求三角形(作 法不
23、唯一)，如图所示. 123456 (2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表 面积. 78910 11 12 13 14 15 16123456 解平面将正方体截成三棱锥A1ABD和多面体BCDA1B1C1D1两 部分， 1 AABD V 1 1 11 BCD A B C D V 多面体 1 A BD S 1 1 BBC C S正方形 78910 11 12 13 14 15 16123456 12.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部 的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四 棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的 高O1O是正四
24、棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ 78910 11 12 13 14 15 16 解PO12 m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍， O1O8 m， 123456 (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，当PO1为多少时， 下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是多少？ 78910 11 12 13 14 15 16 解若正四棱锥的侧棱长为6 m，设PO1x m， 123456 13.(多选)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1， ABC90，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点， 下列判断，正确的是
25、A.直三棱柱的侧面积是4 B.直三棱柱的体积是 C.三棱锥EAA1O的体积为定值 D.AEEC1的最小值为 78910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 123456 解析在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90， 由BB1平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点， 1 AAO S 78910 11 12 13 14 15 16123456 78910 11 12 13 14 15 16123456 设BEx0,2，则B1E2x， 在RtABE和RtEB1C1中， 故选ACD. 1 EAAO V 14.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数
26、总满足一定的数 量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：V(顶点数)F(表面 数)E(棱长数)2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形 面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的 稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五 边形，20个面为正六边形除C60外具有封闭笼状结构的 富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等， 则C84结构含有正六边形的个数为 A.12 B.24 C.30 D.32 78910 11 12 13 14 15 16123456 78910 11 12 13 14 15 16 解析设分
27、子中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个， V84，Fxy，E3842. 由欧拉公式VFE2， 可得84xy38422即xy44. 又由多边形的边数可表示C84的棱数， 即(5x6y)23842，即5x6y252， 123456 15.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是 以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA， AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D， E，F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时， 所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_. 7891
28、0 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 123456 解析如图，连接OD，交BC于点G， 则f(x)100 x350 x4. 78910 11 12 13 14 15 16123456 令f(x)0，得x2. 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)单调递增， 78910 11 12 13 14 15 16123456 16.在半径为15的球O内有一个底面边长为 的内接正三棱锥ABCD， 求此正三棱锥的体积. 78910 11 12 13 14 15 16123456 解如图所示，显然OAOBOCOD15. 78910 11 12 13 14 15 16 设H为BCD的中心， 则A，O，H三点在同一条直线上. 正三棱锥ABCD的高h91524. 123456 如图所示，同理，可得正三棱锥ABCD的高h1596， 78910 11 12 13 14 15 16123456 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
