1、4.3.14.3.1对数的概念对数的概念 讲课人：邢启强 2 对数对数 对数的创始人是苏格兰数学家对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔纳皮尔 （Napier，1550年年1617年）。他发明了供天年）。他发明了供天 文计算作参考的对数，并于文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡年在爱丁堡 出版了出版了奇妙的对数定律说明书奇妙的对数定律说明书，公布了，公布了 他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何 的创始，微积分的建立并称为的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的世纪数学的 三大成就。三大成就。 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 1.庄子：一尺之棰，日取
2、其半，万世不竭。庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取）取4次，还有多长？次，还有多长？ （2）取多少次，还有）取多少次，还有0.125尺？尺？ 2.假设假设2002年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a亿元，亿元， 如果每年平均增长如果每年平均增长8%，那么经过多少年国，那么经过多少年国 民生产总值是民生产总值是2002年的年的2倍？倍？ 抽象出：抽象出：? 2 1 ).1 ( 4 ?125. 0 2 1 ).2( x x 1 8%21 8%2? xx aax 这是已知底数和幂的值，求指数这是已知底数和幂的值，求指数! 你能看得出来吗？怎样求呢？你能看得出来吗？怎样求呢？ 抽象出
3、：抽象出： 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 4 中，在式子162. 3 4 有三个数有三个数2(底底),4(指数）和指数）和16（幂）（幂） （1）由）由2，4得到数得到数16的运算是的运算是 （2）由）由16，4得到数得到数2的运算是的运算是 （3）由）由2，16得到数得到数4的运算是的运算是 乘方乘方运算。运算。 开方开方运算。运算。 对数对数运算！运算！ 162 4 记为： 216 4 记为： 416log2记为： 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =
4、N 一般地，如果一般地，如果 1, 0aaa 的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 Na b ，那么数，那么数 b叫做叫做 以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bN a log a叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。 定义：定义： 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 例如： 164 2 216log4 10010 2 2100log10 24 2 1 2 1 2log4 01. 010 2 201. 0log10 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N 学习新知学习新知 讲
5、课人：邢启强 7 探究：探究： 负数与零没有对数（负数与零没有对数（在指数式中在指数式中 N 0 ） , 01log a 1loga a 对任意对任意 0a 且且 1a都有都有 1 0 a01log a aa11loga a 对数恒等式对数恒等式 如果把如果把 Na b 中的中的 b写成写成 N a log 则有则有 Na N a log 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 常用对数：常用对数： 我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数。 为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数 N 10 log简记作简记作lgN。 例如：例如： 5log10 简记作简记作l
6、g5； 5 . 3log10简记作简记作lg3.5. 自然对数：自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为底的对数叫自然对数。 为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 N e log 简记作简记作lnN。 例如：例如： 3loge 简记作简记作ln3 ; 10loge简记作简记作ln10 （6）底数）底数a的取值范围：的取值范围： ), 1 () 1 , 0( 真数真数N的取值范围的取值范围 :), 0( 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 例1 将下列指数式写成对数式： （1） （4）
7、（3） （2） 625544625log5 64 1 2 6 6 64 1 log2 273aa27log3 13. 5 3 1 m m13. 5log 3 1 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 10 （1） （4） （3） （2） 例2 将下列对数式写成指数式： 01. 010 2 201. 0lg 125 1 5 3 3 125 1 log5 10 303. 2 e 303. 210ln 27 3 1 3 327log 3 1 ? 底数 ? 对数 ? 真
8、数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 11 例3计算： （1） （2） 27log 9 81log4 3 解法一： 解法二： 设 ,27log9x 则 ,279 x ,33 32 x 2 3 x 2 3 9log3log27log 2 3 9 3 99 解法一： 解法二： 设 则 81log4 3 x ,813 4 x ,33 4 4 x 16 x 16)3(log81log 16 4 33 44 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? lo
9、g ? a ? Nb ? a ? b ? =N 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 12 （4） （3） 32log 32 625log 3 4 5 例3计算： 解法一： 解法二： 解法二： 解法一： 32log 32 132log 1 32 设 则 设 则 32log 32 x ,323232 1 x 1 x 625log3 4 5 x ,6255 34 x ,55 4 3 4 x 3 x 3)5(log625log 334 55 3 4 3 4 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 13 1.把下列指数式写成对数式 （1） （4） （3） （2） 823 38log 2 3225532log 2
10、 2 1 2 1 1 2 1 log 2 3 1 27 3 1 3 1 3 1 log 27 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 （1） （4） （3） （2） 2 将下列对数式写成指数式 81 1 3 4 4 81 1 log3 12553 3125log5 4 1 2 2 2 4 1 log 2 932 29log3 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 15 3.求下列各式的值 （1） （4） （3） （2） 25log5 2 25log25 1 10lg1 01. 0lg2 1000lg 3 001. 0lg3 （5） （6） 4.求下列各式的值 （1） （4） （3） （2） 1lo
11、g 5 . 0 0 81log92 625log252 243log35 4 log 643 2log 2 2 （5） （6） 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 例4.求下列各式中的x的值 2 31 (1)log 27 (2)log 22 x x 典型例题典型例题 2 5 (3)log 252 (4)log2 x x 讲课人：邢启强 17 例例5.计算计算： ： _2_;3 5log252log 29 典型例题典型例题 ( 999 2log 5log 5log 52 33 )= 9= 5解： 4 5 2 2 2 2 log 5 log 5 2 2 2 讲课人：邢启强 18 例例6.已知已
12、知 aa log 2m,log 3n, 则则 _a 2n3m 典型例题典型例题 aa log 2m,log 3n,解：因为 讲课人：邢启强 19 定义定义：一般地，如果：一般地，如果 1, 0aaa 的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 Na b ，那么数，那么数 b叫做叫做 以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 bN a log a叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? Nb ? a ? b ? =N 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 20 课本126页第1题第2题 思考题：思考题： (1) 对数式对数式 2 )12( 1logx x 中中x的取值范围是的取值范围是_ (2) 若若log5log3(log2x)=0，x=_ 课后作业课后作业 8 1 ( ,1) 2
