1、10.3二项式定理二项式定理 最新考纲考情考向分析 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简 单问题. 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项 展开式，通项公式以及二项式系数的性质， 赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内 容在高考中以选择题、填空题的形式进行考 查，难度中档. 1二项式定理 二项式定理(ab)nC0nanC1nan 1b1Ck nan kbkCn nbn(nN*) 二项展开式 的通项公式 Tk1Cknan kbk，它表示第 k1 项 二项式系数二项展开式中各项的系数 Ckn(k0,1,2，n) 2.二项式系数的性质 (1)C0n1，Cnn1. Cmn1Cm 1 nCmn. (2
2、)CmnCn m n. (3)当 n 是偶数时， 1 2 n T 项的二项式系数最大；当 n 是奇数时， 1 2 n T 与 1 1 2 n T 1 项的二项式 系数相等且最大 (4)(ab)n展开式的二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n. 知识拓展 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n，Cnn. 题组一
3、思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)Cknan kbk是二项展开式的第 k 项( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项() (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关() (4)(ab)n的展开式第 k1 项的系数为 Cknan kbk.( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.() 题组二教材改编 2P31 例 2(1)(12x)5的展开式中，x2的系数等于() A80B40 C20D10 答案B 解析Tk1Ck5(2x)kCk52kxk，当 k2 时，x2的系数为 C252240. 3P31 例 2(2)若 x1
4、 x n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( ) A10B20 C30D120 答案B 解析二项式系数之和 2n64，所以 n6，Tk1Ck6x6 k 1 x kCk 6x6 2k，当 62k0，即当 k3 时为常数项，T4C3620. 4P41B 组 T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为() A9B8 C7D6 答案B 解析令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，两式相 加得 a0a2a48. 题组三易错自纠 5(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是() ACmnBCm 1 n CCm 1 nD
5、(1)m 1Cm1 n 答案D 解析(xy)n二项展开式第 m 项的通项公式为 TmCm 1 n(y)m 1xnm1， 所以系数为 Cm 1 n(1)m 1. 6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一 个单调递增数列，则 k 的最大值是() A5B6 C7D8 答案B 解析由二项式定理知，anCn 1 10(n1,2,3，11) 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项， 所以 a6C510，则 k 的最大值为 6. 7(x yy x)4的展开式中，x3y3项的系数为_ 答案6 解析二项展开式的通项是 Tk1Ck4(x
6、y)4 k(y x)k(1)kCk 4 42 22 kk xy ，令 4k 22 k 2 3，解得 k2，故展开式中 x3y3的系数为(1)2C246. 题型一题型一二项展开式二项展开式 命题点 1求二项展开式中的特定项或指定项的系数 典例 (1)(2017全国) 11 x2(1x)6的展开式中 x2项的系数为() A15B20C30D35 答案C 解析因为(1x)6的通项为 Ck6xk， 所以 11 x2(1x)6的展开式中含 x2的项为 1C26x2和1 x2C 4 6x4. 因为 C26C462C26265 2130， 所以 11 x2(1x)6的展开式中 x2项的系数为 30. 故选
7、C. (2)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为() A10B20 C30D60 答案C 解析方法一利用二项展开式的通项公式求解 (x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4xC13x5. 所以 x5y2项的系数为 C25C1330.故选 C. 方法二利用组合知识求解 (x2xy)5为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2的 系数为 C25C23C1130.故选 C. 命题点 2已知二项展开式某项的系数求参数 典例 (1)(2018 届海口调研)若(x2a)
8、 x1 x 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A.1 3 B.1 2 C1D2 答案D 解析由题意得 x1 x 10的展开式的通项公式是 Tk 1Ck10 x10 k 1 x kCk 10 x10 2k，x1 x 10的展 开式中含 x4(当 k3 时)，x6(当 k2 时)项的系数分别为 C310，C210，因此由题意得 C310aC210 12045a30，由此解得 a2，故选 D. (2)(2016山东)若 ax2 1 x 5项的展开式中 x5项的系数为80，则实数 a_. 答案2 解析Tk1Ck5(ax2)5 k 1 x ka5kCk 5 5 10 2k x ，
9、105 2k5，解得 k2，a 3C2 580，解得 a2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常 数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可 跟踪训练 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为() A80B40C40D80 答案C 解析因为 x3y3x(x2y3)，其系数为C352240， x3y3y(x3y2)，其系数为 C252380. 所以 x3y3的系数为 804040. 故选 C. (2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为 15，则 a_.(用数字填写答案) 答案 1
10、 2 解析设通项为 Tk1Ck10 x10 kak，令 10k7， k3，x7项的系数为 C310a315， a31 8，a 1 2. 题型二题型二二项式系数的和与各项的系数和问题二项式系数的和与各项的系数和问题 典例 (1)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 答案3 解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a3a58(a1)，所以 8(a1)
11、32，解得 a3. (2)(2018汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2 a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为_ 答案1 或3 解析令 x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令 x2，则 m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3 或 m1. (3)若 x21 x n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则 a1 a2an的值为_ 答案255 解析 x21 x n展开式的第
12、k1 项为 Tk1Ckn(x2)n k 1 x k Ckn(1)kx2n 3k， 当 k5 时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令 x1，得 a0a1a828256. 又当 x0 时，a01， a1a2a8255. 思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法 (2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn， 则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 (1)(2
13、017岳阳模拟)若二项式 3x21 x n的展开式中各项系数的和是 512，则展开式 中的常数项为() A27C39B27C39 C9C49D9C49 答案B 解析令 x1， 得 2n512， 所以 n9， 故 3x21 x 9的展开式的通项为 Tk 1Ck9(3x2)9 k 1 x k (1)kCk939 kx183k，令 183k0，得 k6. 所以常数项为 T7(1)6C693327C39. (2)(2017绵阳模拟)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 则|a0|a1|a2|a3|a4|a5| 等于() A1 024B243 C32D24 答案A 解析令 x1，得
14、a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)545 1 024. 题型三题型三二项式定理的应用二项式定理的应用 典例 (1)设 aZ 且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a 等于() A0B1C11D12 答案D 解析512 012a(521)2 012aC02 012522 012C12 012522 011C2 011 2 01252(1)2 011 C2 012 2 012(1)2 012a， C02 012522 012C12 012522 011C2 011 2 01252(1)2 011能被 13 整除且 512 012a 能被 13
15、 整除， C2 012 2 012(1)2 012a1a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12. (2)(2017安徽江南名校联考)设复数 x 2i 1i(i 是虚数单位)， 则 C 1 2 017xC22 017x2C32 017x3 C2 017 2 017x2 017等于() AiBi C1iD1i 答案C 解析x 2i 1i 2i1i 1i1i1i， C12 017xC22 017x2C32 017x3C2 017 2 017x2 017 (1x)2 0171i2 0171i1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边
16、的结构，然后逆用二 项式定理求解 (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论 跟踪训练 (1)(2018泉州模拟)190C110902C210903C310(1)k90kCk109010C 10 10除以 88 的余数是() A1B1 C87D87 答案B 解析190C110902C210903C310(1)k90kCk109010C1010(190)108910(88 1)108810C110889C910881， 前 10 项均能被 88 整除，余数是 1. (2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2
17、 018，则a1 2 a2 22 a2 018 22 018_. 答案1 解析当 x0 时，左边1，右边a0，a01. 当 x1 2时，左边0，右边a 0a1 2 a2 22 a2 018 22 018， 01a1 2 a2 22 a2 018 22 018， 即a1 2 a2 22 a2 018 22 0181. 二项展开式的系数与二项式系数 典例 (1)若 x3 x n展开式的各项系数绝对值之和为 1 024，则展开式中含 x 项的系数为 _ (2)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中 x4项的系数是35，则 a1a2a7 _. 错解展示： (1) x3 x n展开式中， 令
18、 x1 可得 4n1 024，n5， x3 x n展开式的通项 Tk 1(3)kCk5 5 3 2 k x ， 令53k 2 1，得 k1. 故展开式中含 x 项的系数为 C155. (2)a1a2a7C17C27C77271. 错误答案(1)5(2)271 现场纠错 解析(1)在 x3 x n的展开式中，令 x1， 可得 x3 x n展开式的各项系数绝对值之和为 4n22n1 024210，n5. 故 x3 x 5展开式的通项为 Tk1(3)kCk5 5 3 2 k x ， 令53k 2 1，得 k1， 故展开式中含 x 项的系数为15. (2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7， 令 x
19、0，a0(m)7. 又展开式中 x4项的系数是35， C37(m)335， m1，a0(m)71. 在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中， 令 x1，得 01a1a2a7， 即 a1a2a3a71. 答案(1)15(2)1 纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数， 是系数和还是二项式系数的和 1已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 () A29B210C211D212 答案A 解析由题意，C3nC7n，解得 n10，则奇数项的二项式系数和为 2n 129.故选 A. 2在 x2(1x)6的展开式中，含
20、 x4项的系数为() A30B20C15D10 答案C 解析因为(1x)6的展开式的第 k1 项为 Tk1Ck6xk， 所以 x2(1x)6的展开式中含 x4的项为 C26x415x4，所以系数为 15. 3(2017广州测试)使 x2 1 2x 3 n (nN*)展开式中含有常数项的 n 的最小值是() A3B4 C5D6 答案C 解析Tk1Ckn(x2)n k 1 2x 3 k 1 2kC k nx2n 5k， 令 2n5k0，得 n5 2k，又 nN *， 所以 n 的最小值是 5. 4(2017邵阳模拟)(13x)n的展开式中 x5与 x6的系数相等，则 x4的二项式系数为() A21
21、B35 C45D28 答案B 解析Tk1Ckn(3x)k3kCknxk，由已知得 35C5n36C6n，即 C5n3C6n，n7，因此，x4的二 项式系数为 C4735，故选 B. 5(4x2 x)6(xR)展开式中的常数项是( ) A20B15 C15D20 答案C 解析设展开式中的常数项是第 k1 项，则 Tk1Ck6(4x)6 k(2x)kCk 6(1)k212x 2kx2kx Ck6(1)k212x 3kx， 12x3kx0 恒成立，k4， T5C46(1)415. 6若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为 15，则 a 的值为() A4B.5 2 C4D.7 2 答案C
22、解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4项的系数为 4a115，a 4. 7 (2018漯河质检)若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n， 则 a0a1a2a3(1)nan等于() A.3 4(3 n1) B.3 4(3 n2) C.3 2(3 n2) D.3 2(3 n1) 答案D 解析在展开式中，令 x2，得 332333n a0a1a2a3(1)nan， 即 a0a1a2a3(1)nan313 n 13 3 2(3 n1) 8. xy1 x 6展开式中不含 x 的项的系数为_(用数字作答) 答案20 解析 xy1 x 6展开式
23、中不含 x 的项为 C3 6(xy)3 1 x 320y3，故不含 x 的项的系数为20. 9 若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5， 其中 a0， a1， a2， ， a5为实数，则 a3_.(用数字作答) 答案10 解析f(x)x5(1x1)5， 它的通项为 Tk1Ck5(1x)5 k(1)k， T3C25(1x)3(1)210(1x)3，a310. 10 (2017广州五校联考)若 ax2b x 6的展开式中x3项的系数为20， 则log2alog2b_. 答案0 解析 ax2b x 6的展开式的通项为 Tk 1Ck6a6 kbkx123k，
24、 令 123k3， 则 k3， ax2b x 6 的展开式中 x3项的系数为 C36a3b320，ab1， log2alog2blog2(ab)log210. 11(2017抚顺一中月考)在 xa x 6(a0)的展开式中，常数项的系数是 60，则a 0sin xdx 的值 为_ 答案1cos 2 解析由二项展开式的通项公式可知， Tk1Ck6( x)6 k a x kakCk 6x， 令 33 2k0，得 k2，则 T 3a2C2660， 所以 a2，所以a0sin xdxcos x|201cos 2. 12(2018河南南阳模拟)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则 a2a4
25、a12 _.(用数字作答) 答案364 解析令 x1，得 a0a1a2a1236， 令 x1，得 a0a1a2a121， a0a2a4a123 61 2 . 令 x0，得 a01， a2a4a123 61 2 1364. 13若 xa x 2x1 x 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为( ) A40B20 C20D40 答案D 3 3 2 k 解析令 x1，得(1a)(21)52，a1. 2x1 x 5的通项为 Tk 1Ck5(2x)5 k 1 x k(1)k25kCk 5x5 2k. 令 52k1，得 k2.令 52k1，得 k3. 展开式的常数项为(1)223C25(1)
26、322C35804040. 14. 2x3 y4 9的展开式中，不含 x 的各项系数之和为_ 答案1 解析 2x3 y4 9的展开式中不含 x 的项为 C99(2x)0 3 y4 9 3 y4 9， 令 y1，得各项系数之和为(34)91. 15 (2018珠海模拟)在(1x)6(1y)4的展开式中， 记 xmyn项的系数为 f(m， n)， 则 f(3,0)f(2,1) f(1,2)f(0,3)等于() A45B60C120D210 答案C 解析因为 f(m，n)Cm6Cn4， 所以 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3) C36C04C26C14C16C24C06C34120.
27、16若 x 1 2 4 x n展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有 x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项 解易求得展开式前三项的系数为 1，1 2C 1 n，1 4C 2 n. 由题意得 21 2C 1 n11 4C 2 n，可得 n8. (1)设展开式中的有理项为 Tk1， 由 Tk1Ck8( x)8 k 1 2 4 x k 1 2 kCk 8 16 3 4 k x ， k 为 4 的倍数，又 0k8，k0,4,8. 故有理项为 T1 1 2 0C0 8 16 3 0 4 x x4， T5 1 2 4C4 8 16 3 4 4 x 35 8 x， T9 1 2 8C8 8 16 3 8 4 x 1 256x2. (2)设展开式中 Tk1项的系数最大，则 1 2 kCk 8 1 2 k1Ck1 8且 1 2 kCk 8 1 2 k1Ck1 8，可得 k2 或 k3. 故展开式中系数最大的项为 T3 1 2 2C2 8 16 3 2 4 x 5 2 7x， T4 1 2 3C3 8 16 3 3 4 x 7 4 7x.
