1、专题层级快练专题层级快练(六十五六十五) 1(2021江西宜春市模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，离心 率为1 2，点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且PF 1F2面积的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)椭圆 C 与 x 轴交于 A，B 两点，直线 AP 和 BP 与直线 l：x4 分别交于点 M，N，试探 究以 MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由 思路(1)根据PF1F2的一边 F1F2为定值，可知当 P 为 C 的短轴顶点时，面积最大，再结合 题目条件，ec a 1 2，a 2b2
2、c2即可解出 a，b，c，得到椭圆 C 的方程；(2)由(1)中方程，不 妨设 A(2，0)，B(2，0)，根据 kAPkBP3 4，设直线 AP 的方程为 yk(x2)，即可得直线 BP 的方程为 y 3 4k(x2)，与直线 x4 联立，可得到点 M，N 的坐标，由此得到以 MN 为直径的圆的方程，即可求出所有定点的坐标 答案(1)x 2 4 y 2 3 1(2)过定点，(1，0)和(7，0) 解析(1)椭圆 C 的离心率为1 2，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF 1F2的面积有最大值 3， c a 1 2， a2b2c2， 1 22cb 3， 解得 a2， b 3， c1， 故椭圆 C
3、 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)不妨设 A(2，0)，B(2，0)，P(x，y)，则 kAPkBP y2 x24 3 1x 2 4 x24 3 4， 设 AP：yk(x2)，BP：y 3 4k(x2)， M(4，2k)，N 4， 9 2k ， 以 MN 为直径的圆是(x4)2(y2k) y 9 2k 0，即(x4)2y2 2k 9 2k y90. 令 y0，得 x28x70，解得 x11，x27， 故以 MN 为直径的圆恒过(1，0)和(7，0) 2(2021福建龙岩市质检)已知椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1( 2，0)， F2( 2，0)，
4、椭圆的左、右顶点分别为 A，B，已知椭圆上一异于 A，B 的点 P，PA，PB 的 斜率分别为 k1，k2，满足 k1k21 2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过椭圆的左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN，分别交椭圆于 M，N 两点，问 x 轴上是否存在一定点 Q，使得MQANQA 成立，若存在，则求出该定点 Q，否则说明 理由 思路(1)设 P(x0， y0)， 根据题意可得 kPA kPB y0 x0a y0 x0a， 结合椭圆的方程化简可得 b2 a2 1 2，再由 a 2b2c2即可求解；(2)根据(1)设直线 AM 和 AN 的方程分别为 yk(x2)和 y 1 k
5、(x2)，将直线方程与椭圆方程联立求出 M，N，设 x 轴上存在一定点 Q(t，0)，使得 MQANQA 成立，则 kQMkQN0，利用两点求斜率化简即可求得 答案(1)x 2 4 y 2 2 1(2)存在，定点 Q(6，0) 解析(1)设 P(x0，y0)，则 kPAkPB y0 x0a y0 x0a y02 x02a2 b2 1x0 2 a2 x02a2 b 2 a2 1 2，又 c 2，则 b 2，a2. 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由(1)可知左顶点 A(2，0)，过点 A 的直线 AM 和 AN 的斜率存在，且不为 0， 设直线 AM 和 AN 的方程分别为
6、yk(x2)和 y1 k(x2)，M(x M，yM)，N(xN，yN)， 联立 yk（x2） ， x2 4 y 2 2 1， (12k2)x28k2x8k240，(8k2)24(12k2)(8k24)160， 直线 AM 和椭圆交于 A， M 两点， (2)xM 8k2 12k2， 2x M8k 24 12k2， x M24k 2 12k2， yMk(xM2) 4k 12k2，M 24k2 12k2， 4k 12k2. 同理 N 2k24 k22 ， 4k k22 . 假设 x 轴上存在一定点 Q(t，0)，使得MQANQA 成立，则 kQMkQN0， 即 yM xMt yN xNt0，则 y
7、 MxNyNxM(yMyN)t 又 yMxNyNxM 4k 12k2 2k24 k22 4k k22 24k2 12k2 24k（k21） （2k21） （2k2）， yMyN 4k 12k2 4k k22 4k（k21） （2k21） （2k2）， 则 24k（k21） （2k21） （2k2） 4k（k21） （2k21） （2k2）t，当 k 21 时，解得 t6.当 k21 时，Q( 6，0)满足题意 因此 x 轴上存在一定点 Q(6，0)，使得MQANQA 成立 讲评本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，考查转化化 归能力， 此题要求有较高的计算能力， 须知
8、： x 轴上存在一定点 Q(t， 0)， 使得MQANQA 成立，则 kQMkQN0. 3(2021安徽定远模拟)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(1，0)，且点 1， 2 2 在 椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知动直线 l 过点 F， 且与椭圆 C 交于 A， B 两点 试问 x 轴上是否存在定点 Q， 使得QA QB 7 16恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 答案(1)x 2 2 y21(2)存在，Q 5 4，0 解析(1)由题意知，c1， 根据椭圆的定义得：2a（11）2 2 2 2 2 2 2 2. 即 a
9、 2，b2211，椭圆 C 的标准方程为x 2 2 y21. (2)假设在 x 轴上存在点 Q(m，0)，使得QA QB 7 16恒成立 当直线 l 的斜率为 0 时，不妨设 A( 2，0)，B( 2，0) 则( 2m，0)( 2m，0) 7 16，解得 m 5 4. 当直线 l 的斜率不存在时，不妨设 A 1， 2 2 ，B 1， 2 2 . 则 1m， 2 2 1m， 2 2 7 16，解得 m 5 4或 m 3 4. 由可知当直线 l 的斜率为 0 或不存在时，m5 4使得QA QB 7 16成立 下面证明当 m5 4，即 Q 5 4，0时， QA QB 7 16恒成立 当直线 l 的斜
10、率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 yk（x1） ， x2 2 y21， 可得(2k21)x24k2x2k220，则(4k2)24(2k21)(2k22) 8(k21)0， x1x2 4k2 2k21，x 1x22k 22 2k21. y1k(x11)，y2k(x21)， y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1 k2 2k22 2k21 4k2 2k211 k2 2k21， QA QB x15 4，y 1 x 25 4，y 2 x1x25 4(x 1x2)25 16y 1y22k 22 2k21 5 4 4k2
11、 2k21 25 16 k2 2k21 7 16. 综上所述：在 x 轴上存在点 Q 5 4，0，使得QA QB 7 16恒成立 4(2021哈尔滨高三模拟)记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似 椭圆”如图，已知椭圆 E：x 2 16 y2 121，以椭圆 E 的焦点为顶点作相似椭圆 M. (1)求椭圆 M 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且与椭圆 M 仅有一个公共点，试判断ABO 的面积 是否为定值(O 为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 思路(1)由相似椭圆的定义可得，椭圆 M 的离心率 e1 2，由长轴的端点为(2，0)，(2，0)，
12、可得 a2，b 3，从而可得椭圆 M 的方程；(2)设直线 l：ykxb(b0)由 ykxb， x2 4 y 2 3 1， 得(34k2)x28kbx4b2120， 利用判别式为零可得 b234k2， 联立 ykxb 与x 2 16 y2 12 1，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得 答案(1)x 2 4 y 2 3 1(2)是，定值为 6 解析(1)由条件知，椭圆 M 的离心率 e1 2，且长轴的端点为(2，0)，(2，0)， 椭圆 M 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykxb(b0) 由 ykxb， x2 4 y
13、 2 3 1，得(34k 2)x28kbx4b2120. 令64k2b24(34k2)(4b212)0 得，b234k2. 联立 ykxb 与x 2 16 y2 121，化简得(34k 2)x28kbx4b2480.则(8kb)24(3 4k2)(4b248)48(16k2b212)0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 8kb 34k2 8k b ， x1x24b 248 34k2 4b 248 b2 . |AB| 1k2|x1x2|12 1k 2 |b| ，而原点 O 到直线 l 的距离 d |b| 1k2， SABO1 2|AB|d6. 当直线 l 的斜率不存在时，
14、l：x2 或 x2，则|AB|6，原点 O 到直线 l 的距离 d2， SABO6. 综上所述，ABO 的面积为定值 6. 讲评本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线 5(2021衡水市联考)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，O 为坐标原点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点 (1)若直线 l 与圆 O：x2y21 4相切，求直线 l 的方程； (2)若直线 l 与 x 轴的交点为 D，且DA AF ，DB BF ，试探究：是否为定值若为 定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由 答案(1)y 3x1(2)为定值1 解析(1)由已知得 F(0，1)，当直
15、线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时，直线 l 与圆 O 相交，不合乎题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx1，即 kxy10，由直线 l 与圆 O：x2 y21 4相切，得 1 1k2 1 2，解得 k 3. 综上所述，直线 l 的方程为 y 3x1. (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点，不 合乎题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2) 若 k0，则直线 l 与 x 轴平行，不合乎题意，所以 k0. 联立 x24y， ykx1，消去 y 并整理得 x 24kx40，(4k)24(4)16(k21)0，由 韦达定理得 x1x24k， x1x24， 易知 D 1 k，0，由DA AF ，得x11 k，y 1 (x1，1y1)， 则 x11 kx 1，所以1 1 kx1，同理可得1 1 kx2， 所以2 1 kx1 1 kx22 x1x2 kx1x2 2 4k 4k1，所以为定值1.
