1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 江苏省南通市通州区江苏省南通市通州区 2019201920202020 学年下学期高二期中学业质量监测学年下学期高二期中学业质量监测 数学试卷数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.在复平面内，复数12zi （i为虚数单位）对应的点所在象限是（） A. 一B.
2、 二C. 三D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数几何意义，即可求得答案. 【详解】12zi 复数z对应的点1,2 故：复数12zi 对应的点在二象限 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求复数点所在象限，解题关键是掌握复数的几何意义，考查了分析 能力，属于基础题. 2.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心4,5，则回归直线方程为（） A.1.230 8 .0yx B.0.081 3 .2yx C.1.234 y xD.1.235 y x 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得在线性回归方程 y bxa 中 1.23b ， 然后根据回归方程过样本点的中心得到 a的
3、 值，进而可得所求方程 【详解】设线性回归方程 y bxa 中，由题意得 1.23b ， 1.23 y xa 又回归直线过样本点的中心4,5， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 51.23 4a ， 0.08a ， 回归直线方程为1.230 8 .0yx 故选 A 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利 用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题 3.已知随机变量X的分布列为1,2,3,4 10 k P Xkk，则13PX（） A. 3 10 B. 3 5 C. 1 2 D. 1 5 【答案】C
4、 【解析】 【分析】 根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出等 3 和 2 时的概率，本题所求的概率包括两 个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可. 【详解】随机变量X的分布列为1,2,3,4 10 k P Xkk 2 (2) 10 P X， 3 (3) 10 P X 231 (13) 10102 PX 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握互斥事件的概率公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础 题. 4.由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 不相邻的六位数的个数是（） A. 36B. 72C. 600D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用插空
5、法计算得到答案. 【详解】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到 42 45 480AA个. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 故选：D. 【点睛】本题考查了排列组合中的插空法，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投篮 2 次，则两人各投中一次的 概率为（） A. 0.42B. 0.2016C. 0.1008D. 0.0504 【答案】B 【解析】 【分析】 本题是一个相互独立事件同时发生的概率，两人各投两次，两人都投中 1 次的概率为 11 22 0.6 0.40.7 0.3CC，从而
6、得到答案 【详解】甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7 两人都投中 1 次的概率为 11 22 0.6 0.40.7 0.30.2016CC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题关键是掌握相互独立 事件概率的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6.设aZ，且016a，若 2020 4a 能被 17 整除，则a的值为（） A.1B. 4C. 13D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 由 1010 20201010 41617 1aaa，按照二项式定理展开，根据它能被17整除，结合 所给的选项可得a的值 【详解】 aZ，且016a，
7、 由 1010 20201010 41617 1aaa 0110091010 01010110091009110100 1010101010101010 171171171171CCCCaL 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 010091009 010101110091 101010101010 1711711711CCCa L 又 2020 4a 能被 17 整除 1 a能被 17 整除，结合016a 16a 故选：D 【点睛】 本题考查了根据表达式整除来求参数问题，解题关键是掌握二项式定理，考查了分析能力和 计算能力，属于基础题. 7.在某区 2020 年 5
8、 月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布 98,100XN.已知参加本次考试的学生约有 9450 人，如果某学生在这次考试中数学成绩 为 108 分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（） 附：若 2 ,XN ，则0.6826PX， 220.9544PX. A. 1500B. 1700C. 4500D. 8000 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论. 【详解】考试的成绩X服从正态分布(98,100)N 98,10Q，10898 10Q， 1 0.6826 (108) 2 P 0.1587 即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数
9、的15.87%. 9450 15.87%1500 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出108的概率. 8.函数 2 3 x e f x xx ，3,00,3x 的图象大致为（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性和对称性，3x 时，函数值结 fx值不趋近正无穷，利用排除法，即 可求得答案. 【详解】3,00,3x 由 2 3 x e f x xx ，可得 2 3 x e fx xx fxfx ， 故函数 2 3 x e f x xx ，不是奇函数，排除 B，D； 2
10、 3 x e f x xx ，3x 时，函数值结 fx值不趋近正无穷 排除 B 综上所述，只有 A 符合题意 故选：A 【点睛】本题考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题是掌握奇函数图象特征和灵活 使用排除法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 2020 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9.若 38 2828 xx CC ，则x的值为（
11、） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - A. 4B. 6C. 9D. 18 【答案】AC 【解析】 【分析】 由 38 2828 xx CC ，可得38xx 或3828xx ，即可求得答案. 【详解】 38 2828 xx CC 38xx 或3828xx 解得：4x 或9x 故选：AC 【点睛】本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能 力和计算能力，属于基础题. 10.直线 1 2 yxb能作为下列（）函数的图像的切线. A. 1 ( )f x x B. 4 ( )f xxC.( )sinf xxD. ( ) x f xe 【答案】B
12、CD 【解析】 【分析】 依次计算每个选项中的导数，计算 1 2 fx 是否有解得到答案. 【详解】 1 ( )f x x ，故 2 11 ( ) 2 fx x ，无解，故A排除； 4 ( )f xx，故 3 1 ( )4 2 f xx，故 1 2 x ，即曲线在点 11 , 2 16 的切线为 13 216 yx，B正 确； ( )sinf xx，故 1 ( )cos 2 fxx，取 3 x ，故曲线在点 3 , 32 的切线为 13 262 yx ，C正确； ( ) x f xe，故( ) 1 2 x fxe，故ln2x ，曲线在点 1 ln2, 2 的切线为 高考资源网（）您身边的高考专
13、家 版权所有高考资源网 - 7 - 111 ln2 222 yx，D正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了曲线的切线问题，意在考查学生的计算能力. 11.下列说法正确的有（） A. 任意两个复数都不能比大小 B. 若,zabi aR bR，则当且仅当0ab=时，0z C. 若 12 ,z zC，且 22 12 0zz，则 12 0zz D. 若复数z满足1z ，则2zi的最大值为 3 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据复数定义，复数的几何意义，逐项判断，即可求得答案. 【详解】A，复数,zabi aR bR,当0b 时,z为实数,可以比较大小, A 为假命题. B，复数,zabi aR
14、 bR,当0z 时,0a 且0b , B 为真命题. C，当 12 1,zzi时, 22 12 0zz,但 12 zz C 为假命题. D，设,zxyi x yR 复数z满足1z ，可得： 22 1xy 即： 22 1xy ，11y 由2zi，可得 2 2 2222zixyiixyixy 将 22 1xy 代入可得： 2 2 212453ziyyy D 为真命题. 故选：BD 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】本题解题关键是掌握复数的基础知识，掌握复数几何意义，考查了分析能力和推理 能力，属于基础题. 12.已知 6 1 12 a x xx 的展开式中各项
15、系数的和为 2，则下列结论正确的有（） A.1a B. 展开式中常数项为 160 C. 展开式系数的绝对值的和 1458 D. 若r为偶数，则展开式中 r x和 1r x 的系数相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】 6 1 (1)(2) a x xx 中，给x赋值 1 求出各项系数和,列出方程求出a，利用二项展开式的通项公 式求出通项，进而可得结果. 【详解】对于 A， 6 1 12 a x xx 令二项式中的x为 1 得到展开式的各项系数和为1 a， 12a 1a=，故 A 正确； 对于 B， 66 111 1212 a xx xxxx Q 66 111 22xx xxx ， 6 1 2
16、x x 展开式的通项为 66 6 2 1 ( 1) 2 rrrr r TC x ， 当 6 1 2x x 展开式是中常数项为：令620r,得3r 可得展开式中常数项为： 333 46 ( 1) 2160TC ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 当 6 11 2x xx 展开式是中常数项为： 66 26 6 5 2 6 1 ( 1) 2( 1) 2 rrrrrrrr C xC x x 令520r ,得 5 2 r (舍去) 故 6 1 12 a x xx 的展开式中常数项为160.故 B 错误； 66 111 1212 a xx xxxx 对于 C，求其展开式系数
17、的绝对值的和与 6 11 12x xx 展开式系数的绝对值的和相等 6 11 12x xx ，令1x ，可得： 6 6 11 11 122 31458 6 11 12x xx 展开式系数的绝对值的和为：1458.故 C 正确； 对于 D， 666 1111 1222 a xxx xxxxx 6 1 2x x 展开式的通项为 66 6 2 1 ( 1) 2 rrrr r TC x ， 当r为偶数，保证展开式中 r x和 1r x 的系数相等 2 x和 1 x的系数相等， 6 11 12x xx 展开式系数中 2 x系数为： 62222 6 ( 1) 2C x 展开式系数中 1 x系数为： 622
18、22 6 ( 1) 2C x 此时 2 x和 1 x的系数相等， 4 x和 3 x的系数相等， 6 11 12x xx 展开式系数中 4 x系数为： 1514 6 ( 1) 2 C x 展开式系数中 3 x系数为： 1514 6 ( 1) 2 C x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 此时 4 x和 3 x的系数相等， 6 x和 5 x 的系数相等， 6 11 12x xx 展开式系数中 6 x系数为： 6 6 600 ( 1) 2 C x 展开式系数中 5 x系数为： 6 6 600 ( 1) 2 C x 此时 6 x和 5 x的系数相等， 故 D 正确； 综
19、上所在，正确的是：ACD 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属 于中档题. 三三、填空题填空题（本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计共计 2020 分分. .其中第其中第 1414 题共有题共有 2 2 空空，第一个第一个空空 2 2 分，第二个空分，第二个空 3 3 分；其余题均为一空，分；其余题均为一空，每空每空 5 5 分分. .请把答案填写在答题卡相应位置上）请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.计算 22222 23456 CCCCC_. 【答案】35 【解析】 【分析】 根据组合数的性质
20、1 1 mmm nnn CCC 计算可得； 【详解】解： 22222 23456 CCCCC 32222 33456 CCCCC 3222 4456 CCCC 322 556 CCC 32 66 CC 3 7 7 6 5 35 3 2 1 C 故答案为：35 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题. 14.规定(1)(1) m x Ax xxm，其中xR， * mN ，且 0 1 x A ，这是排列数 m n A （ * , n mN，且mn）的一种推广.则 3 3 1 A _，则函数 3 x f xA的单调减区间 为_. 【
21、答案】(1).2 3(2). 33 1,1 33 【解析】 【分析】 利用定义即可得出 3 3 1 A ，函数 332 ( )(1)(2)3 x f xAx xxxx，利用导数研究其单调 性，即可求得答案. 【详解】(1)(1) m x Ax xxm 3 3 1 31313131332 3121A 332 ( )(1)(2)23 x f xAxxxxxx 则 2 ( )362fxxx 令( )0fx ，即： 2 3620 xx 解得： 3333 33 x 函数 fx的单调减区间为： 33 1,1 33 故答案为：2 3， 33 1,1 33 【点睛】本题解题关键是掌握新定义和排列数的计算方法，
22、及其根据导数求函数单调性的步 骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 15.设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 6 7 ， 则口袋中白球的个数为_. 【答案】3 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【解析】 【分析】 设口袋中有白球x个，由已知可得取得白球的可能取值为0，1，2，则服从超几何分布， 利用公式 2 7 2 7 () kk xx C C Pk C (0,1,2k )，即可求得答案. 【详解】口袋中有白球x个，由已知可得取得白球个数的可能取值为0，1，2 则服从超几何分布， 2 7 2 7 ()(0,1
23、,2) kk xx C C Pkk C ， 2 7 2 7 (0) x C P C ， 11 7 2 7 (1) xx C C P C ， 2 2 7 (2) x C P C 112 7 22 77 26 ( ) 7 xx C CC E CC 6 (7)(1)2118 7 xxx x， 618x 3x 故答案为：3 【点睛】本题解题关键是掌握超几何分布期望的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基 础题. 16.已知 7238 01238 ()(21)xmxaa xa xaRxa xm，若 1 27a ，则 8 1 i i i a 的值为_. 【答案】43 【解析】 【分析】 因为 7 (21)
24、x 的展开通项为： 777 177 (2 )( 1)( 1)2 rrrrrrr r TCxCx ， 根据 1 27a ， 求的m，将所给等式两边求导，即可求得 8 1 i i i a 的值. 【详解】 7 (21)x 的展开通项为： 777 177 (2 )( 1)( 1)2 rrrrrrr r TCxCx 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 又 777 ()(21)(21)(21)xmxxxmx 766 177 701 1( 1)2( 1)21 1427aCm Cm 2m 8 018 7 (2)(21)xxaa xa x 等式两边求导可得： 7627 1238
25、1 (21)(2) 7 (21)2238xxxaa xa xa x 6 (21) (21 1428)xxx 67 128 (1627)(21)28xxaa xa x 令1x ，得： 128 2843aaa 8 1 43 i i i a 故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能 力，属于中档题. 四四、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共计共计 7070 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答. .解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 17.已知 1 2z
26、ai， 2 34zi（其中i为虚数单位）. （1）若 1 2 z z 为纯虚数，求实数a的值； （2）若 121 zzz（其中 2 z是复数 2 z的共轭复数） ，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） 8 3 a （2） 3 2 a 【解析】 【分析】 （1）由 1 2zai， 2 34zi，可得 1 2 2 34 zai zi ，由 1 2 z z 为纯虚数，即可求得a； （2）因为 12 (2 )(34 )(3)2zzaiiai， 121 zzz，故 2 2 121 zzz，即可 求得a的取值范围. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【详解】 （1）由 1
27、 2zai， 2 34zi， 得 1 2 2(2 )(34 )3846 34252525 zaiaiiaa i zi ， 1 2 z z 为纯虚数， 38 0 25 a ，且 46 0 25 a ， 8 3 a . （2） 12 (2 )(34 )(3)2zzaiiai， 121 zzz， 2 2 121 zzz， 即 2 2 344aa， 解得 3 2 a . 【点睛】本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了 分析能力和计算能力，属于基础题. 18.在 * 4 1 3, 2 n xnnN x 的展开式中， 第 2， 3， 4 项的二项式系数依次成等差数列. （
28、1）求n的值； （2）求展开式中含 2 x的项. 【答案】 （1）7（2） 2 21 4 x 【解析】 【分析】 （1）因为展开式中第 2，3，4 项的二项式系数依次成等差数列，可得： 132 2 nnn CCC，整 理得， 2 9140nn ，即可求得n的值； （2）当7n 时， 7 4 1 2 x x 展开式的第1r 项为 14 4 1 3 7 1 ( 1) 2 r rr r r TCx ，令 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 143 2 4 r ，即可求得含 2 x的项. 【详解】 （1）因为展开式中第 2，3，4 项的二项式系数依次成等差数列， 132
29、2 nnn CCC， 整理得， 2 9140nn ，即270nn， 又3n ， * nN ， n的值为 7. （2）当7n 时， 7 4 1 2 x x 展开式的第1r 项为 1 7 17 4 3 7 4 4 11 ()( 1) 22 rr r r rr r r TCxCx x ， 其中07r且rN. 令 143 2 4 r ，得2r = =， 2222 37 2 121 ( 1) 24 TCxx ， 展开式中含 2 x的项为 2 21 4 x. 【点睛】本题解题关键是掌握二项式通项公式，掌握二项式的基础知识，考查了分析能力和 计算能力，属于中档题. 19.近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，
30、并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于 80 分的学 生为甲组，成绩低于 80 分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了 60 名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的22列联表. 甲组乙组合计 男生3 女生13 合计4060 （1）将22列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？ （2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求至少 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 有 1 人在甲组的概率. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，nabcd . 参考数据及公式： 2
31、P Kk0.1000.0500.0100.0050.001 k2.7063.8416.6357.87910.828 【答案】 （1）见解析，有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关.（2） 20 21 【解析】 【分析】 （1）根据所给数据填写22列联表，计算出 2 K ，即可求得答案； （2）甲组有 40 人，乙组有 20 人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人，从这 6 人 中随机抽取 2 人，至少有 1 人在甲组的概率为 2 2 2 6 1 C P C ，即可求得答案. 【详解】 （1）22列联表补充如下： 甲组乙组合计 男生27330 女生131730 合计402060 根
32、据列联表中的数据，可以求得 2 2 60(27 173 13) 14.7 30 30 20 40 K ， 14.7 2.706， 有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （2）甲组有 40 人，乙组有 20 人， 若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 6 人， 则抽取的 6 人中甲组有 4 人，乙组有 2 人. 从这 6 人中随机抽取 2 人，至少有 1 人在甲组的概率为 2 2 2 6 20 1 21 C P C . 故：至少有 1 人在甲组的概率为 20 21 . 【点睛】本题解题关键是掌握卡方的求法和概率计算公式，考
33、查了分析能力和计算能力，属 于中档题. 20.已知函数 322 1f xxaxa x，aR. （1）当1a 时，求函数 fx在区间2,1上的最大值； （2）当0a 时，求函数 fx的极值. 【答案】 （1）2（2）当0a 时，没有极值；当0a 时，极大值为 3 1a ，极小值为 3 5 1 27 a. 【解析】 【分析】 （1）当1a 时， 32 1f xxxx，可得： 2 3211)31(xxxxfx .， 0fx ，得1x 或 1 3 x ，列出函数单调性表格，即可最大值； （2） 22 ( )323xaxaxaxfxa ，令( )0fx，得x a 或 3 a x ，分别讨 论0a 和0a
34、 ，即可求得 fx的极值. 【详解】 （1）当1a 时， 32 1f xxxx， 所以 2 3211 31fxxxxx . 令 0fx ，得1x 或 1 3 x ， 列表如下： x -22, 1-1 1 1, 3 1 3 1 ,1 3 1 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - fx +0-0+ fx2f 极大 值 极小 值 1f 由于12f ， 12f， 所以函数 fx在区间2,1上的最大值为 2. （2） 22 323fxxaxaxaxa， 令 0fx ，得x a 或 3 a x . 当0a 时， 2 30fxx，所以函数 fx在R上单调递增，无极值. 当0a 时
35、，列表如下： x , a a, 3 a a 3 a , 3 a fx+0-0+ fx极大值极小值 函数 fx的极大值为 3 1faa，极小值为 3 5 1 327 a fa . 【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法 和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题. 21.为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者 被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有 7 名医学专家被 随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院. （1）求 7 名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率； （2）
36、若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院 的人数，记XY，求随机变量的分布列和数学期望 E. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 【答案】 （1） 7 42 （2）分布列见解析， 19 9 【解析】 【分析】 （1）设“7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院”为事件A，7 名医学专家被随 机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，求出基本事件总数和事件A情况数，根据概率计 算公式，即可求得答案； （2）若要求每家医院至少 1 人共有 7 22126 种等可能的基本事件，随机变量的所有取 值为 1，3，5，求得(1)P，(3)P，
37、(5)P即可求得分别列，根据期望计算公式， 即可求得答案. 【详解】 （1）设“7 名医学专家中恰有两人被分配到雷神山医院”为事件A， 7 名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院， 共有 7 2128 种等可能的基本事件， 其中事件A包含 2 7 21C 种情况， 所以 21 128 P A . 故：7 名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为 7 42 . （2）若要求每家医院至少 1 人共有 7 22126 种等可能的基本事件， 随机变量的所有取值为 1，3，5， 34 77 705 (1) 1261269 CC P ； 25 77 421 (3) 1261263 C
38、C P ； 16 77 141 (5) 1261269 CC P . 随机变量的分布列为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - X135 P 5 9 1 3 1 9 数学期望 51119 ( )135 9399 E . 故：数学期望 E的值为 19 9 . 【点睛】本题主要考查了求事件的概率和数据的期望，解题关键是掌握概率计算公式和期望 的求法，考查了计算能力和分析能力，属于基础题. 22.已知函数 1 x f xxe，其中e是自然对数的底数. （1）求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）设 2 g xxf x，求函数 g x的单调区间； （3）设 lnh
39、xmf xx，求证：当 1 0m e 时，函数 h x恰有 2 个不同零点. 【答案】 （1）1ye x（2）单调增区间为0,ln2和1,；单调减区间为,0和 ln2,1.（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由 1 x f xxe，得 1 xxx fxexexe，所以 1fe，即可求得答案； （2） 2 2 2 1,1 1,1 x x xxex g xxf x xxex ，根据导数，分别讨论1x 和1x 函数的 单调性，即可求得函数 g x的单调区间； （3）因为 lnh xmf xx，设 1ln x F xm xex，得 2 11 0 x x mx e Fxmxex xx ，令 2
40、10 x h xmx ex，当 1 0m e ， 2 20 x h xmxmxe，结合已知和零点定义，即可求得答案. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 【详解】 （1）由 1 x f xxe，得 1 xxx fxexexe， 1fe， 曲线 yf x在1x 处的切线方程为1ye x. （2） 2 2 2 1,1 1,1 x x xxex g xxf x xxex ， 当1x 时， 220 xx gxxxexe， 函数 g x的单调增区间为1,. 当1x 时， 2 1 x g xxxe， 22 xx gxxxexe， 令 0gx ，得0ln2x； 令 0gx ，得
41、0 x 或ln21x， 函数 g x的单调增区间为0,ln2；单调减区间为,0和ln2,1. 综上所述，函数 g x的单调增区间为0,ln2和1,； 函数 g x的单调减区间为,0和ln2,1. （3）由题意知， 1ln x F xm xex， 得 2 11 0 x x mx e Fxmxex xx ， 令 2 10 x h xmx ex， 当 1 0m e 时， 2 20 x h xmxmxe， h x在0,上单调递增， 又 110hme ， 2 11 lnln10h mm ， 存在唯一的 0 1 1,lnx m ，使得 0 2 00 10 x h xmx e ， 高考资源网（）您身边的高考
42、专家 版权所有高考资源网 - 22 - 当 0 0,xx时， 0h x， 在 0 0,x上单调递减， 当 0, xx时， 0h x， 在 0, x 上单调递增， 故 0 x是 2 10 x h xmx ex的唯一极值点， 令 ln1t xxx， 当1,x时， 1 10tx x ， 在1,上单调递减， 即当1,x时， 10t xt，即ln1xx， 1 ln 111 lnln1ln ln m Fme mmm 11 ln1 1 ln0 mm ， 又 0 (1)0F xF， 函数 F x在 0, x 上有唯一的零点， 又 F x在 0 0,x上有唯一的零点， 函数 F x恰有 2 个不同零点. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和根据单调性求证零点个数，解题关键是 掌握导数求单调性的方法和根据单调求判断零点个数步骤，考查了分析能力和计算能力，属 于难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 23 -
