1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 4.5.2用二分法求方程的近似解 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.结合具体的函数及其图象的特点结合具体的函数及其图象的特点,探索用二分探索用二分 法求方程近似解的思路法求方程近似解的思路. 2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解能借助计算工具用二分法求方程的近似解. 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性了解用二分法求方程近似解具有一般性. 4.体会具体问题中数学运算的过程体会具体问题中数学运算的过程,提高数学运提高数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑
2、解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、二分法一、二分法 【问题思考】【问题思考】 1.某电视台有一档某电视台有一档节目节目:主持人让选手在限定时间内猜某一主持人让选手在限定时间内猜某一 物品的售价物品的售价,如果猜中如果猜中,就把物品奖给选手就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的某次猜一种品牌的 手机手机,手机价格在手机价格在5001 000元之间元之间,选手开始选手开始报价报价1 000 元元,主主 持人持人说高了说高了.紧接着报价紧接着报价900元元,高了高了;700元元,低了低了;880元元,高了高了; 850元元,低了低了;
3、851元元,恭喜你恭喜你,猜中了猜中了.表面上看猜价格具有很大表面上看猜价格具有很大 的碰运气的成分的碰运气的成分,实际上实际上,游戏报价过程体现了游戏报价过程体现了“逐步逼近逐步逼近”的的 思想思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗? ？ 提示提示:取价格区间取价格区间500,1 000的中间值的中间值750,如果主持人说低了如果主持人说低了, 就再取就再取750,1 000的中间值的中间值875;否则取另一个区间否则取另一个区间500,750 的中间值的中间值;若遇到中间值为小数若遇到中间值为小数,则取整数则取整数,按照这种方案按照这种方案,
4、游游 戏过程猜价如下戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,大约经过大约经过6次可以次可以 猜中价格猜中价格. ？ 2.对于对于在区间在区间a,b上图象连续不断上图象连续不断且且 f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x), 通过不断地把它的零点所在区间通过不断地把它的零点所在区间一分为二一分为二,使所得区间的两使所得区间的两 个端点逐步逼近个端点逐步逼近零点零点,进而得到零点进而得到零点近似值近似值的方法叫做二分的方法叫做二分 法法. ？ 3.做一做做一做:下列函数图象与下列函数图象与x轴均有公共点轴均有公共点,其中能用二分法求其中能用二分法求 零点的是零点的是()
5、？ 解析解析:只有选项只有选项C中零点左右的函数值符号相反中零点左右的函数值符号相反,且函数的图且函数的图 象连续象连续,可以利用二分法求解可以利用二分法求解. 答案答案:C ？ 二、用二分法求方程的近似解二、用二分法求方程的近似解 【问题思考】【问题思考】 1.我们已经知道我们已经知道f(x)=ex-3x的零点在区间的零点在区间(1,2)内内,如何缩小零如何缩小零 点所在区间的范围点所在区间的范围? 提示提示:(1)取区间取区间(1,2)的中点的中点1.5;(2)计算计算f(1.5)的值的值,用计算器算用计算器算 得得f(1.5)-0.018.因为因为f(1.5)f(2)0,所以零点在区间所
6、以零点在区间(1.5,2)内内. ？ 2.给定给定精确度精确度,用二分法求函数用二分法求函数y=f(x)零点零点x0的近似值的一般的近似值的一般 步骤如下步骤如下 (1)确定零点确定零点x0的的初始区间初始区间a,b,验证验证 f(a)f(b)0 . (2)求区间求区间a,b的的中点中点c . (3)计算计算 f(c) ,并进一步确定零点所在的区间并进一步确定零点所在的区间: 若若f(c)=0(此时此时x0=c),则则 c 就是就是函数的零点函数的零点; 若若f(a)f(c)0(此时此时x0(a,c),则则令令 b=c ; 若若f(c)f(b)0(此时此时x0(c,b),则则令令 a=c .
7、(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度:若若 |a-b| ,则得到零点近似值则得到零点近似值a(或或 b);否则重复步骤否则重复步骤(2)(4). ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)用二分法求出方程的解一定是近似解用二分法求出方程的解一定是近似解.( ) (2)函数函数f(x)=|x|的零点可以用二分法求解的零点可以用二分法求解.( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后每次等分区间后,零点必零点必 定在右侧区间内定在右侧区间
8、内.( ) (4)若给定的精确度为若给定的精确度为0.001,则当则当|a-b|0.001时即可得到零点时即可得到零点 近似值近似值.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 对对二分法概念的理解二分法概念的理解 【例【例1】 已知函数已知函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示,则函数则函数f(x)的零点的个的零点的个 数与可以用二分法求解的零点的个数分别为数与可以用二分法求解的零点的个数分别为() A.4,4B.3,4 C.5,4D.4,3 解析解析:函数的图象与函数的图象与x轴一共有轴一共有4个个公共公共点点,因此函数有因此函数有4个零个零 点点.其中左右函数值异号
9、的零点只有其中左右函数值异号的零点只有3个个,即可以用二分法求解即可以用二分法求解 的零点有的零点有3个个,故选故选D. 答案答案:D ？ 反思感悟反思感悟 判断一个函数的零点能否用二分法求解的依据判断一个函数的零点能否用二分法求解的依据:该函数在零该函数在零 点附近的图象是连续不断的点附近的图象是连续不断的,且该零点两侧的函数值异号且该零点两侧的函数值异号.若若 不满足依据不满足依据,则不能用二分法求解则不能用二分法求解. ？ 【变式训练【变式训练1】 (多选题多选题)下列函数中下列函数中,有零点有零点,且能用二分法且能用二分法 求其零点的是求其零点的是() 解析解析:A中中,=(-2)2-
10、4350,f(-2)0,所以可取区间所以可取区间(-2,-1)作为计算的初始作为计算的初始 区间区间. 用二分法逐步计算用二分法逐步计算,列表如下列表如下: ？ 因为因为|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 50.01,所以函数在区间所以函数在区间 (-2,-1)内的零点的近似值可取为内的零点的近似值可取为-1.929 687 5. ？ 若将本例中的函数改为若将本例中的函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,请求出该函数在请求出该函数在 区间区间(0,2)内的零点的近似值内的零点的近似值.(精确度为精确度为0.1) 解解:因为因为f(0)=-60,f(1)=-
11、60, 所以所以可取区间可取区间(1,2)作为计算的初始区间作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算用二分法逐步计算,列表如下列表如下: ？ 因为因为|1.75-1.687 5|=0.062 50.1,所以函数在区间所以函数在区间(0,2)内的零点内的零点 的近似值可取为的近似值可取为1.687 5. ？ 反思感悟反思感悟 用用二分法求函数零点近似值的步骤可以概括如下二分法求函数零点近似值的步骤可以概括如下 ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 对精确度理解不清致错对精确度理解不清致错 【典例】【典例】 用二分法求方程用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解的一个近似正解.(精确度精确度0.1) 错解
12、错解:令令f(x)=x2-5. 因为因为f(2.2)=-0.160, 所以所以f(2.2)f(2.4)0, 因为因为f(2.2)f(2.3)0, ？ 因为因为f(2.2)f(2.25)0, 所以所以x0(2.2,2.25). 取区间取区间(2.2,2.25)的中点的中点x3=2.225, 因为因为f(2.225)-0.049 40, 且且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 80.1, 所以原方程的近似正解可取为所以原方程的近似正解可取为2.237 5. ？ 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防
13、范你如何防范? 提示提示:由于由于对精确度的理解不清而导致错解对精确度的理解不清而导致错解,误认为精确度误认为精确度应应 满足满足|f(a)-f(b)|,事实上事实上,精确度精确度是指是指|a-b|. ？ 正解正解:令令f(x)=x2-5. 因为因为f(2.2)=-0.160, 所以所以f(2.2)f(2.4)0, 因为因为f(2.2)f(2.3)0, 因为因为f(2.2)f(2.25)0, 所以所以x0(2.2,2.25). 因为因为|2.25-2.2|=0.050.1, 所以原方程的近似正解可取为所以原方程的近似正解可取为2.25. ？ 防范措施防范措施 用用二分法求函数零点的近似值或方程
14、的近似解时二分法求函数零点的近似值或方程的近似解时,务必弄清务必弄清 楚精确度的要求楚精确度的要求,以便确定计算以便确定计算(取中点取中点)的次数的次数,从而求得近从而求得近 似值似值. ？ 【变式训练】【变式训练】 某方程在区间某方程在区间(2,4)内有一无理根内有一无理根,若用二分法若用二分法 求此根的近似值求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将则应将 区间区间(2,4)等分的次数至少是等分的次数至少是. 答案答案:5 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.(多选题多选题)下列函数图象与下列函数图象与x轴均有公共点轴均有公共点,其中能用二分法其
15、中能用二分法 求函数的零点的是求函数的零点的是() 答案答案:ACD ？ 2.用二分法求函数用二分法求函数f(x)在区间在区间(a,b)内的唯一零点时内的唯一零点时,精确度为精确度为 0.001,则结束计算的条件是则结束计算的条件是() A.|a-b|0.1B.|a-b|0.001 D.|a-b|=0.001 解析解析:根据二分法的步骤知当区间长度根据二分法的步骤知当区间长度|a-b|小于精确度小于精确度时时,便便 可结束计算可结束计算. 答案答案:B ？ 解析解析:因为因为f(2)f(3)0,所以零点在区间所以零点在区间(2,3)内内. 答案答案:(2,3) ？ 4.某同学在借助计算器求某同
16、学在借助计算器求“方程方程lg x=2-x的近似解的近似解(精确度为精确度为 0.1)”时时,设设f(x)=lg x+x-2,算得算得f(1)0;在以下过程中在以下过程中,他用他用 “二分法二分法”又取了又取了4个个x的值的值,计算了其函数值的正负计算了其函数值的正负,并得出方并得出方 程的近似解是程的近似解是x1.8,则他取的则他取的x的的4个值依次是个值依次是. 解析解析:第一次用二分法计算得区间第一次用二分法计算得区间(1.5,2), 第二第二次得区间次得区间(1.75,2),第三次得区间第三次得区间(1.75,1.875), 第四第四次得区间次得区间(1.75,1.812 5). 答案答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5
