1、 8.6.1直线与直线垂直人教A版2019高中数学必修第二册8 8. .6 6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直复习回顾异面直线成角相交直线成角平移（找平行线）1.两条直线垂直，它们一定相交吗？2.异面直线所成角；不一定相交，可以是异面垂直不一定相交，可以是异面垂直如果两个平行直线中的一条与已知直线垂直如果两个平行直线中的一条与已知直线垂直 ，那么另一条也与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直两条平行直线与同一条直线的成角是相等的两条平行直线与同一条直线的成角是相等的mbmaba,/即 观察观察1 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识在日常生活中，我们对直线与平面垂直有
2、很多感性认识. 比如，旗比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直们直观的认识到直线与平面垂直.那什么叫做那什么叫做直线与平面直线与平面垂直呢？垂直呢？ 观察观察2 如如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影与其影子子BC所在直线是否保持垂直？所在直线是否保持垂直？ABCBC直线AB与
3、其影子BC所在直线始终保持垂直思考思考：对于地面上不过点：对于地面上不过点B B的任意一条的任意一条直线直线BCBC，旗杆，旗杆ABAB会与之垂直吗？会与之垂直吗？结论结论: :旗杆旗杆ABAB所在直线与地面上任意一条直线都垂直所在直线与地面上任意一条直线都垂直. .l记作： 如果直线 l 和平面内的都垂直，则称直线 l 和平面垂直.1、直线与平面垂直的定义注意：画图时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 若直线 l 与平面内任意一条直线都垂直，则l. 若 l，则直线 l 与平面内任意一条直线都垂直.判断正误： 的垂线直线 l的的 垂面垂足 直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线
4、 l 的垂面. 直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.若 l，则直线 l 与平面内任意一条直线都垂直.blbl 思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条lP，条垂线外一点可以作平面的两理由，假设过平面ba，确定一个平面，设为，则两相交直线ba ，设lablba，因为，所以lbla，又ba，所以ba/.只有一条一点作平面的垂线有且相矛盾，所以过平面外与Pba结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂
5、直.例如：例如：2、点到平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条过一点作垂直于已知平面的直线, ,则该点与垂足间的线段, ,叫做这个点到该平面的垂线段, ,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. .lOPl 能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？一条？一条？ 怎么来判定直线与平面垂直？ 由定义判定直线与平面垂直， 直线与平面内任意一条直线垂直，此方法不简便.3、直线和平面垂直的判定两条？两条？l 活动：准备准备一块三角形的纸片一块三角形的纸片ABC，过，过ABC的顶点的顶点A翻折纸片，得到折翻折纸片，得到折痕痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，将翻折后
6、的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触与桌面接触). 观察观察： (1) 折痕折痕AD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？与桌面垂直？为什么？ABCDBACDABCDCABD不一定不一定 当当ADBC时，折痕时，折痕AD与桌面垂直与桌面垂直.活动结论：当直线AD垂直于平面内的两条相交直线时，就能保证直线AD与垂直。 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.al bl abAbalbalA线线垂直 判定定理定义垂直面内相交3、直线和平面垂直的判定定理线面垂直线不在多，相交则灵l如图, ,已知 , ,求证
7、: :aba,/.bmnbaab/.,nbmbnmnm,是两条相交直线，是两条相交直线，.b证明：证明：在平面在平面 内作两条相交直线内作两条相交直线m，n ，a.,nama 例题1 求证：若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面. . 方法1：利用线面垂直的判定定理证明方法2：利用线面垂直的定义证明bamab/.mbm是平面是平面内任意一条直线内任意一条直线.b证明：证明：在平面在平面 内任取一条直线内任取一条直线m ，a.ma 若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线垂直于这个平面. . bbaa/ 例题2 如图，点P 是平行四边形ABCD 所
8、在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC，PB =PD.求证：PO平面ABCDCABDOPABCDPOOBDAC平面平面又QBDPOBDOPDPB的中点的中点是是点点又Q,PCPA ACPO点O是AC的中点证明: :Q,ABCDSD底面面是正方形的底四棱锥如图ABCDS ,.:SDBAC平面求证,:,SDABCD ACABCDACSDQ证底面平面明,ABCDACBDQ四边形为正方形，,BDSDD BDSDB SDSDBQ又平面平面.ACSDB 平面 例题3 例题4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1平面A1B1CD .ABCDA1B1C1D1O解：A1B1BC1
9、BC1B1CB1C和A1B1平面A1B1CD内的两条相交直线BC1平面A1B1CD正方体A1B1C1D1-ABCDA1B1平面B1BCC1BC1 平面B1BCC11. 直线与平面垂直的定义：“任意”2. 直线和平面垂直的判定定理关键：关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直线线垂直线面垂直3. baba,/ 如果直线 l 和平面内的都垂直，则称直线 l 和平面垂直.l记作：线面垂直内容小结 如图,若一条直线PA和一个平面相交,但不垂直，那么这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.PA斜足斜足斜线斜线平面的斜线平面的斜线 我们知道，当直线和平面垂直时, ,该直线叫做平面的垂
10、线。如果直线和平面不垂直, ,如何给它命名？此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢? ?4、直线与平面所成的角 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足垂足O和斜足斜足A的直线直线AO叫做斜线斜线在这个平面上的射影射影平面的一条斜线斜线和它在平面上的射影射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角llAPO4、直线与平面所成的角1.1.一条直线垂直于平面, ,我们说它所成的角是直角；2.2.一条直线和平面平行, ,或在平面内, ,我们说它所成的角是0的角. .规定:直线与平面所成的角的取值范围是什么? ?90,000例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（1）0o（2）90o例题 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（3） A1C1与面BB1C1C所成的角（4）A1B与面A1B1CD所成的角（4）30o（3）45oO
