1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (十七） 导数与函数的综合问题 一、全员必做题 1 (2017 宜州调研 )设 f(x) |ln x|，若函数 g(x) f(x) ax 在区间 (0,4)上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：令 y1 f(x) |ln x|， y2 ax，若函数 g(x) f(x) ax 在区间 (0,4)上有三个零点，则 y1 f(x) |ln x|与 y2 ax 的图象 (图略 )在区间 (0,4)上有三个交点由图象易知，当 a0 时，不符合题意；当 a 0 时，易知 y1 |ln x|与 y2 ax 的图象在区间 (0,1)上有一个交点，所以
2、只需要 y1 |ln x|与 y2 ax 的图象在区间 (1,4)上有两个交点即可，此时 |ln x| ln x，由 ln x ax，得 a ln xx .令 h(x) ln xx ， x (1,4)，则 h( x) 1 ln xx2 ，故函数 h(x)在 (1， e)上单调递增，在 (e,4)上单调递减， h(e) ln ee 1e， h(1) 0， h(4) ln 44 ln 22 ， 所以 ln 22 a 1e. 答案： ? ?ln 22 ， 1e 2 (2018 常州中学第一次检测 )设二次函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数 )的导函数为 f( x)对任意 x R
3、，不等式 f(x) f( x)恒成立，则 b2a2 c2的最大值为 _ 解析：由 f(x) ax2 bx c 得 f( x) 2ax b. 因为对任意 x R，不等式 f(x) f( x)恒成立， 即 ax2 bx c2 ax b 恒成立，所以 ax2 (b 2a)x (c b)0 ，所以? a 0， b 2a 2 4a c b ， 即? a 0，b24 ac 4a2 4a c a ， ? a 0，b24 ac 4a2，c a，所以 b2a2 c24ac 4a2a2 c2 4? ?ca 11 ? ?ca 2.设 t ca， y t1 t2 (t1) ， 则 y t2 2t t t2 2 t2
4、2t t2 2 (t1) 由 y 0 得 t 2 1，所以当 1 t 2 1 时， y 0，当 t 2 1 时， y 0. 所以 t 2 1 时， y 取得极大值，也是最大值，即 ymax 2 11 2 2 2 2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 2 2 2 3 (2018 苏北四市期末 )已知函数 f(x)? sin x， x 1，x3 9x2 25x a， x1 ， 若函数 f(x)的图象与直线 y x 有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 _ 解析：当 x 1 时， f(x) sin x 与 y x 的图象有 1 个交点，为 (0,0)， 则当 x1 时， f(x
5、) x3 9x2 25x a 与 y x 的图象有 2 个交点， 即关于 x 的方程 x3 9x2 24x a 0 在 x 1， ) 有两个不同解 令 g(x) x3 9x2 24x a， x 1， ) ， 则 g( x) 3x2 18x 24 3(x 2)(x 4)， 由 g( x) 0 得 x 2 或 4. 且 x 1,2)， g( x) 0， g(x)递增； x (2,4)， g( x) 0， g(x)递减； x (4， ) ，g( x) 0， g(x)递增 所以 g(2) 20 a 0 或 g(4) 16 a 0，解得 a 20 或 a 16. 故实数 a 的取值集合为 20， 16
6、答案： 20， 16 4已知函数 f(x) ax xln x(a R) (1)若函数 f(x)在区间 e， ) 上为增函数，求 a 的取值范围； (2)当 a 1 且 k Z 时，不等式 k(x 1) f(x)在 x (1， ) 上恒成立，求 k 的最大值 解： (1)f( x) a ln x 1， 由题意知 f( x)0 在 e， ) 上恒成立， 即 ln x a 10 在 e， ) 上恒成立， 即 a (ln x 1)在 e， ) 上恒成立， 而 (ln x 1)max (ln e 1) 2， a 2，即 a 的取值范围为 2， ) (2)当 a 1 时， f(x) x xln x， x
7、(1， ) ， 原不等式可化为 k f xx 1 ， 即 k x xln xx 1 对任意 x 1 恒成立 令 g(x) x xln xx 1 ，则 g( x) x ln x 2x 2 . 令 h(x) x ln x 2(x 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 h( x) 1 1x x 1x 0， h(x)在 (1， ) 上单调递增 h(3) 1 ln 3 0， h(4) 2 2ln 2 0， 存在 x0 (3,4)使 h(x0) 0，即 g( x0) 0. 即当 1 x x0时， h(x) 0，即 g( x) 0. 当 x x0时， h(x) 0，即 g( x) 0. g(x)在
8、(1， x0)上单调递减，在 (x0， ) 上单调递增 由 h(x0) x0 ln x0 2 0，得 ln x0 x0 2， g(x)min g(x0) x0 ln x0x0 1 x0 x0x0 1 x0 (3,4)， k g(x)min x0且 k Z，即 kmax 3. 5已知函数 f(x) (a 1)ln x ax2 1. (1)讨论 y f(x)的单调性； (2)若 a 2，证明：对 ? x1， x2 (0， ) ， |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|. 解： (1)f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) a 1x 2ax 2ax2 a 1x a x2 1x . 当
9、a0 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递增 当 a 1 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递减 当 1 a 0 时，令 f( x) 0，解得 x a 12a ， 由于 f( x)在 (0， ) 上单调递减，故 当 x ? ?0， a 12a 时， f( x) 0， f(x)在 ? ?0， a 12a 上单调递增； 当 x ? ? a 12a ， 时， f( x) 0， f(x)在 a 12a ， 上单调递减 (2)证明：不妨假设 x1 x2. 由于 a 2，故 f(x)在 (0， ) 上单调递减 |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|等价于
10、f(x2) f(x1)4 x1 4x2， 即 f(x2) 4x2 f(x1) 4x1. 令 g(x) f(x) 4x， 则 g( x) a 1x 2ax 4 2ax2 4x a 1x ， 于是 g( x) 4x2 4x 1x x 2x 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而 g(x)在 (0， ) 上单调递减，故 g(x1) g(x2)， 即 f(x2) 4x2 f(x1) 4x1， 故对 ? x1， x2 (0， ) ， |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|. 6 (2017 南通二模 )植物园拟建一个 多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m的围墙现有两种方案： 方案
11、多边形为直角三角形 AEB( AEB 90) ，如图 1 所示，其中 AE EB 30 m； 方案 多边形为等腰梯形 AEFB(AB EF)，如图 2 所示，其中 AE EF BF 10 m. 请分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案 解：设方案 、 中苗圃面积分别为 S1， S2. 方案 ：设 AE x，则 S1 12x(30 x) 12? ?x x2 2 2252 (当且仅当 x 15 时取等号 ) 方案 ：设 BAE ，则 S2 100sin (1 cos )， ? ?0， 2 ， 由 S 2 100(2cos2 cos 1) 0 得 cos 12(负值舍去 )
12、 因为 ? ?0， 2 ，所以 3 ，列表 ? ?0， 3 3 ? ? 3 ， 2 S 2 0 S2 极大值 所以 3 时 ， S2取得最大值为 75 3， 又 75 3 2252 ， 故方案 、 中苗圃最大面积分别为 2252 m2,75 3m2.建 苗圃时用方案 ， 且 BAE 3. 二、重点选做题 1 (2017 徐州期初测试 )已知函数 f(x) ex， g(x) ax2 bx 1(a， b R) (1)若 a0 ，则 a， b 满足什么条件时，曲线 y f(x)与 y g(x)在 x 0 处总有相同的切线？ =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 a 1 时，求函数 h(x) g
13、 xf x 的单调减区间； (3)当 a 0 时，若 f(x) g(x)对任意的 x R 恒成立，求 b 的取值的集合 解： (1) f( x) ex， f(0) 1，又 f(0) 1， y f(x)在 x 0 处的切线方程为 y x 1， 又 g( x) 2ax b， g(0) b， 又 g(0) 1， y g(x)在 x 0 处的切线方程为 y bx 1， 所以当 a0 ， a R 且 b 1 时，曲线 y f(x)与 y g(x)在 x 0 处总有相同的切线 (2)a 1，则 h(x) x2 bx 1ex ， h( x) x2 b x b 1ex x x bex ， 由 h( x) 0，
14、得 x1 1， x2 1 b， 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， 1 b)， (1， ) ； 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， ) ； 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， 1)， (1 b， ) (3)由 a 0，得 (x) f(x) g(x) ex bx 1， ( x) ex b， 当 b0 时， ( x) 0，函数 (x)在 R 上单调递增， 又 (0) 0， x ( ， 0)时， (x) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， 当 b 0 时，由 ( x) 0，得 x ln b； 由 ( x) 0，得 x ln b， 函数 (x)在
15、 ( ， ln b)上单调递减，在 (ln b， ) 上单调递增， ( )当 0 b 1 时， ln b 0， 又 (0) 0， (ln b) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， ( )当 b 1 时，同理 (ln b) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， ( )当 b 1 时， ln b 0， 函数 (x)在 ( ， 0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增， (x) (0) 0，故 b 1 满足题意 综上所述， b 的取值的集合为 1 2.已知函数 f(x) xex aln x，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的 切线平行于 x 轴 (1)求 f(x)的单调区间； (2)证明：当 be 时， f(x) b(x2 2x 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)因为 f( x) (x 1)ex ax， x0， 依题意得 f(1) 0，即 2e a 0，解得 a 2e. 所以 f( x) (x 1)ex 2ex ，显然 f( x)在 (0， ) 上单调递增且 f(1) 0，故当x (0,1)时， f( x)0， 所以 f(x)的单调递减区间为 (0,1
