1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 不等式的证明 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种 考点 2 综合法 一般地，从 已知条件 出发，利用 定义 、公理、 定理 、性质等，经过一系列的 推理 、 论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫由因导果法 考点 3 分析法 证明命题时，从 要证的结论 出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直至所需条件为 已知条件 或 一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分 析法，这是一种执果索因的思考
2、和证明方法 考点 4 反证法 证明命题时先假设要证的命题 不成立 ，以此为出发点，结合 已知条件 ，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 )矛盾 的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点 5 放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法 考点 6 柯西不等式 1二维形式的柯西不等式 定理 1 若 a， b， c， d 都是实 数，则 (a2 b2)(c2 d2)( ac b
3、d)2，当且仅当 ad bc 时，等号成立 2柯西不等式的向量形式 定理 2 设 ， 是两个向量，则 | | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)用反证法证明命题 “ a， b， c 全为 0” 时，假设为 “ a， b， c 全不为 0” ( ) (2)若 x 2yx y1，则 x 2yx y.( ) (3)|a b| |a b|2 a|.( ) (4)若实数 x、 y 适合不等式 xy1， x y 2，则 x0， y0.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 2018 温州模
4、拟 若 a， b， c R， ab，则下列不等式成立的是 ( ) A.1ab2 C. ac2 1 bc2 1 D a|c|b|c| 答案 C 解析 应用排除法取 a 1， b 1，排除 A；取 a 0， b 1，排除 B；取 c 0，排除 D.显然 1c2 10，对不等式 ab 的两边同时乘以 1c2 1，立得 ac2 1 bc2 1成立故选 C. 3 课本改编 不等式： x2 33x； a2 b22( a b 1)； ba ab2 ，其中恒成立的是 ( ) A B C D 答案 D 解析 由 得 x2 3 3x ? ?x 32 2 340，所以 x2 33x；对于 ，因为 a2 b2 2(a
5、 b 1) (a 1)2 (b 1)20 ，所以不等式成立；对于 ，因为当 abc b =【 ;精品教育资源文库 】 = C |a|b| |c| D |a|0， b0， a3 b3 2.证明： (1)(a b)(a5 b5)4 ； (2)a b2. 证明 (1)(a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6 (a3 b3)2 2a3b3 ab(a4 b4) 4 ab(a2 b2)24. (2)因为 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab(a b) 2 3?a b?24 (a b) 23?a b?34 ， 所以 (a b)38 ，因此 a b2. 板块二 典例探究 考向突
6、破 考向 比较法证明不等式 例 1 2016 全国卷 已知函数 f(x) ? ?x 12 ? ?x 12 ， M为不等式 f(x) 1，即 1f(a) f( b) 解 (1)当 x 1 时，原不等式可化为 x 11， 综上， M x|x1 (2)证明：证法一：因为 f(ab) |ab 1| |(ab b) (1 b)| ab b| |1 b|b|a 1| |1 b|. 因为 a， b M，所以 |b|1， |a 1|0， 所以 f(ab)|a 1| |1 b|， 即 f(ab)f(a) f( b) 证法二 ： 因为 f(a) f( b) |a 1| | b 1| | a 1 ( b 1)| |
7、a b|， 所以要证 f(ab)f(a) f( b)， 只需证 |ab 1|a b|， 即证 |ab 1|2|a b|2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即证 a2b2 2ab 1a2 2ab b2， 即证 a2b2 a2 b2 10， 即证 (a2 1)(b2 1)0. 因为 a， b M， 所以 a21， b21， 所以 (a2 1)(b2 1)0 成立 ， 所以原不等式成立 考向 用综合法与分析法证明不等式 例 2 (1)2018 浙江金华模拟 已知 x， y R. 若 x， y 满足 |x 3y|be(其中 e 是自然对数的底数 )，求证： baab.(提示：可考虑用分析法找思路
8、) 证明 ba0， ab0， 要证 baab 只要证 aln bbln a 只要证 ln bb ln aa .( abe) 取函数 f(x) ln xx ， f( x) 1 ln xx2 令 f( x) 0， x e 当 xe 时， f( x)be 时，有 f(b)f(a)， 即 ln bb ln aa ，得证 触类旁通 综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是 “ 由因导果 ” ，分析法证明不等式是 “ 执果索因 ” ，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，
9、互相渗透，互 为前提 【变式训练 2】 (1)设 a， b， c 均为正数，且 a b c 1，证明： =【 ;精品教育资源文库 】 = ab bc ca 13； a2bb2cc2a1. 证明 由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1， 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca)1 ， 即 ab bc ca 13. 证法一：因为 a2b b2 a，b2c c2 b，c2a a2 c， 故 a2bb2cc2a (a b c)2( a b c)， 即 a2bb2
10、cc2a a b c. 所以 a2bb2cc2a1. 证法二：由柯西不等式得： (a b c)? ?c2aa2bb2c ( c a b)2， a b c 1， c2aa2bb2c1. (2)2015 全国卷 设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d，证明： 若 abcd，则 a b c d； a b c d是 |a b|cd， 得 ( a b)2( c d)2.所以 a b c d. ( )若 |a b|cd. 由 得 a b c d. ( )若 a b c d，则 ( a b)2( c d)2， 即 a b 2 abc d 2 cd. 因为 a b c d，所以 abcd. 于
11、是 (a b)2 (a b)2 4ab c d是 |a b|0， b0，且 a b 1a 1b.证明： (1)a b2 ； (2)a2 a0， b0，得 ab 1. (1)由基本不等式及 ab 1，有 a b2 ab 2，即 a b2 ，当且仅当 a b 1 时等号成立 (2)假设 a2 a0，得 014， (1 b)c14， (1 c)a14. 三式同向相乘，得 (1 a)a(1 b)b(1 c)c164(*) 又 (1 a)a ? ?1 a a2 2 14， 同理 (1 b)b 14， (1 c)c 14. 所以 (1 a)a(1 b)b(1 c)c 164， 与 *式矛盾，即假设不成立，
12、故结论正确 考向 柯西不等式的应用 例 4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的 “ 流数 ” 问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数 ai， bi(i 1,2， ? ， n)，有 (a1b1 a2b2 ? anbn)2( a21 a22 ? a2n)(b21 b22 ? b2n)，当且仅当 ai kbi(i 1,2， ? ， n)时，等号成立 (1)证明：当 n 2 时的柯西不等式； (2)设 a， b， m， n R，且 a2 b2 5， ma nb 5，求 m2 n2的最小值 解 (1)证明：当 n 2 时，柯西不等式的二维形式为： (a21 a22)(b21 b22)( a1b
13、1 a2b2)2，(a21 a22)(b21 b22) (a1b1 a2b2)2 a21b22 a22b21 2a1a2b1b2 (a1b2 a2b1)20 ，当且仅当 a1b2 a2b1时取得等号 (2)由柯西不等式得 (a2 b2)(m2 n2)( ma nb)2，所以 5(m2 n2)5 2即 m2 n25 ，所以m2 n2的最小值为 5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 触类旁通 利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用 【变式训练 4】 2018 皇姑区校级期末 设 xy0，则 ? ?x2 4y2 ? ?y2 1x2 的最小值为 ( ) A 9
14、B 9 C 10 D 0 答案 B 解析 ? ?x2 4y2 ? ?y2 1x2 ? ?x 1x 2y y 2 9.当且仅当 xy 2xy即 xy 2时取等号故选B. 核心规律 1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点 2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程 3.不等式证明中的裂项形式： (1) 1n?n 1? 1n 1n 1， 1n?n k? 1k? ?1n 1n k . (2)1k2 aa b c d ba b c d ca b c d da b c d 1， S1， x2x31， x3x11， x1x2 x2x3 x3x11 与 x1x2 x2x3 x3x1 1 矛盾， 至少有一个不大于 1. 3设 x0， y0， M x y2 x y， N x2 x y2 y，则 M、 N 的大小关系为 _ 答案 M x2 x y y2 x y x y2 x y M. 4已知 a， b R， a2 b2 4，则 3a 2b 的取值范围是 _
