1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (五十七 ) 1已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为 F(3， 0)， 过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点 ， 若AB 的中点为 M(1， 1)， 则 E 的方程为 ( ) A.x245y236 1 B.x236y227 1 C.x227y218 1 D.x218y29 1 答案 D 解析 kAB 0 13 1 12， kOM 1， 由 kAB kOM b2a2， 得b2a212， a2 2b2. c 3， a2 18，b2 9， 椭圆 E 的方程为 x218y29 1. 2 (2018 南昌二模 )已知椭圆： y29 x
2、2 1， 过点 P(12，12)的直线与椭圆相交于 A， B 两点 ，且弦 AB 被点 P 平分 ， 则 直线 AB 的方程为 ( ) A 9x y 4 0 B 9x y 5 0 C 2x y 2 0 D x y 5 0 答案 B 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因为 A， B 在椭圆 y29 x2 1 上 ， 所以?y129 x12 1，y229 x22 1，两式相减得 y12 y229 x12 x22 0， 得 （ y1 y2）（ y1 y2）9 (x1 x2)(x1 x2) 0， 又弦 AB 被点 P(12，12)平分 ， 所以 x1 x2 1， y1 y2 1，
3、将其代入上式得y1 y29 x1 x2 0， 得y1 y2x1 x2 9， 即直线 AB 的斜率为 9， 所以直线 AB 的方程为 y 12 9(x 12)， 即 9x y 5 0. 3 椭圆 x216y24 1 上的点到直线 x 2y 2 0 的最大距离是 ( ) A 3 B. 11 C 2 2 D. 10 答案 D 解析 设椭圆 x216y24 1 上的点 P(4cos， 2sin )， 则点 P 到直线 x 2y 2 0 的距离=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 d |4cos 4sin 2|5 |4 2sin（ 4 ） 2|5 ， dmax| 4 2 2|5 10. 4 (2018
4、广东梅州阶段测评 )已知椭圆 E： x25y24 1 的一个顶点 C(0， 2)， 直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点 ， 若 E 的左焦点 F1为 ABC 的重心 ， 则直线 l 的方程为 ( ) A 6x 5y 14 0 B 6x 5y 14 0 C 6x 5y 14 0 D 6x 5y 14 0 答案 B 解析 由题意知 F1( 1， 0)， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则?x1 x2 0 3，y1 y2 2 0， ?x1 x2 3，y1 y2 2. 设 M 为 AB 的中点 ， 则 M( 32， 1) 由?x125 y124 1，x225 y224 1，作差
5、得 （ x1 x2）（ x1 x2）5 （ y1 y2）（ y1 y2）4 0， 将 代入上式得 y1 y2x1 x2 65. 即 k 65， 由点斜式得 ， 直线方程为 y 1 65(x 32)， 即 6x 5y 14 0. 5 (2018 广 西南宁、梧州摸底联考 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A， B 两点 ， 直线 AF2与椭圆的另一个交点为 C， 若 S ABC 3S BCF2， 则椭圆的离心率为 ( ) A. 55 B. 33 C. 105 D.3 310 答案 A 解析 设椭圆的左、右焦点分别为
6、 F1( c， 0)， F2(c， 0)， 将 x c 代入椭圆方程得 y b2a.设 A( c， b2a)， C(x， y)， 由 S ABC 3S BCF2， 可得 AF2 2F2C ， 即有 (2c， b2a) 2(x c，y)， 即 2c 2x 2c， b2a 2y， 可得 x 2c， yb22a， 代入椭圆方程可得4c2a2 b24a2 1.由 e=【 ;精品教育资源文库 】 = ca， b2 a2 c2， 得 4e2 14 14e2 1， 解得 e 55 ， 故选 A. 6 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为32 ， 过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与
7、 C相交于 A， B 两点若向量 AF 3FB ， 则 k ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 答案 B 解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)因为 AF 3FB ， 故 y1 3y2.因为 e 32 ， 设 a 2t， c 3t， b t， 故 x2 4y2 4t2 0， 直线 AB 的方程为 x sy 3t.代入消去 x， 所以 (s24)y2 2 3sty t2 0， 所以 y1 y2 2 3sts2 4 ， y1y2 t2s2 4， 2y22 3sts2 4 ， 3y22 t2s2 4， 解得 s2 12， 又 k1s， 则 k 2.故选 B. 7 已知直线 l：
8、 y k(x 2 2)与椭圆 x2 9y2 9 交于 A， B 两点 ， 若 |AB| 2， 则 k _ 答案 33 解析 椭圆 x2 9y2 9 即椭圆 x29 y2 1， 所以椭圆的焦点坐标为 (2 2， 0)因为直线 y k(x 2 2)， 所以直线过椭圆的左焦点 F( 2 2， 0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 将直线 y k(x 2 2)代入椭圆 x2 9y2 9， 可得 (1 9k2)x2 36 2k2x 72k2 9 0， 所以 x1 x2 36 2k21 9k2， x1x272k2 91 9k2 ， 所以 |AB| 1 k2 （ x1 x2）2 4x1x26
9、（ 1 k2）1 9k2 ， 因为 |AB| 2， 所以 6（ 1 k2）1 9k2 2， 所以 k 33 . 8 直线 m 与椭圆 x22 y2 1 交于 P1， P2两点 ， 线段 P1P2的中点为 P， 设直线 m 的斜率为 k1(k1 0)， 直线 OP 的斜率为 k2， 则 k1k2的 值为 _ 答案 12 解析 由点差法可求出 k1 12 x中y中， k1 y中x中 12， 即 k1k2 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 9 (2018 河北唐山期末 )设 F1， F2为椭 圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点 ， 经过 F1的直线交椭圆 C 于 A， B
10、两点 ， 若 F 2AB 是面积为 4 3的等边三角形 ， 则椭圆 C 的方程为 _ 答案 x29y26 1 解析 由 F 2AB 是面积为 4 3的等边三角形知 AB 垂直 x 轴 ， 得 b2a33 2c，12 2c2b2a 4 3， a2 b2 c2， 解得 a2 9， b2 6， c2 3.所以的椭圆方程为 x29y26 1. 10 椭圆 ： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2， 焦距为 2c.若直线 y 3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF 1F2 2MF 2F1， 则该椭圆的离心率等于 _ 答案 3 1 解析 由直线 y 3(x c)知其倾斜角为
11、 60， 由题意知 MF 1F2 60， 则 MF 2F1 30， F1MF2 90 . 故 |MF1| c， |MF2| 3c. 又 |MF1| |MF2| 2a， ( 3 1)c 2a. 即 e 23 1 3 1. 11 已知椭圆 x29y2m 1(00.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 N(x0， y0)， 则 x1 x2 4k22k2 1， y1 y22k2k2 1， AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y=【 ;精品教育资源文库 】 = y0 1k(x x0) 令 y 0， 得 xG x0 ky0 2k22k2 1k22k2 1k22k2 11214k2
12、 2. k 0， 12b0)相交于 A， B两点 ， 且 OAOB(O 为坐标原点 )， 若椭圆的离心率 e 12， 32 ， 则 a 的最大值为 _ 答案 102 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由?y x 1，x2a2y2b2 1，得 (a2 b2)x2 2a2x a2 a2b2 0， 4a4 4(a2 b2)(a2 a2b2)0， 可得 a2 b21 且?x1 x2 2a2a2 b2，x1x2 a2 a2b2a2 b2 ， OA OB， OA OB x1x2 y1y2 0， 即 2x1x2 (x1 x2) 1 0， 2（ a2 a2b2）a2 b2 2a2a2 b2
13、 1 0， 整理得 a2 b2 2a2b2， a2 a2 c2 2a2(a2 c2)， 2a2 a2e2 2a2(a2 a2e2)， 2a2 2 e21 e2 111 e2， e 12， 32 ， 2a2 73， 5， 即 amax 52 102 . 14 已知椭圆 C： x22y24 1， 过椭圆 C 上一点 P(1， 2)作倾斜角互补的两条直线 PA， PB，分别交椭圆 C 于 A， B 两点 ， 求直线 AB 的斜率 答案 2 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 同时设 PA 的方程为 y 2 k(x 1)， 代入椭圆方程化简得 (k2 2)x2 2k(k 2)x k2
14、 2 2k 2 0， 显然 1 和 x1 是这个方程的两解因此 x1k2 2 2k 2k2 2 ， y1 2k2 4k 2 2k2 2 ， 由 k 代替 x1， y1中的 k， 得 x2k2 2 2k 2k2 2 ， y2 2k2 4k 2 2k2 2 ， 所以y2 y1x2 x1 2. 15 设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 y2b2 1(0 b 1)的左、右焦点 ， 过 F1的直线 l 与 E 相交于A， B 两点 ， 且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 |AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1， 求实数 b 的值 答案
15、(1)43 (2) 22 解析 (1)由椭圆定义知 |AF2| |AB| |BF2| 4， 又 2|AB| |AF2| |BF2|， 得 |AB| 43. (2)l 的方程为 y x c， 其中 c 1 b2. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 A， B 两点坐标满足方程组?y x c，x2 y2b2 1.化简 ， 得 (1 b2)x2 2cx 1 2b2 0. 则 x1 x2 2c1 b2， x1x2 1 2b21 b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1， 所以 |AB| 2|x2 x1|. 即 43 2|x2 x1|. 则 89 (x1 x2)2 4x1x2 4（ 1 b
16、2）（ 1 b2） 24（ 1 2b2）1 b2 8b4（ 1 b2） 2， 解得 b22 . 16 (2018 广东六校联盟二联 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1( 3， 0)，F2(3， 0)， 直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两 点 (1)若 AF 1F2的周长为 4 3 6， 求椭圆的标准方程； (2)若 |k| 24 ， 且以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 ， 求椭圆离心率 e 的取值范围 答案 (1)x212y23 1 (2)22 24 ， 所以 120， 即 3b0)的顶点 B(0， b)引一条弦 BP， 当 a 2b 时 ， |BP|的最大值为 ( ) A. b2a2 b2 B.a2a2 b2 C. a2a2 b2 D.b2a2 b2 答案 B 解析 设 P(x， y)， 因为 x2 a2 a2b2y2( bb0)， 则椭圆在其上一点 A(x0， y0)处的切线方程为 x0xa2 y0yb2 1.试运用该性质解决以下问题 ， 椭圆
