1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十一 ) 空间图形的基本关系与公理 A 组 基础达标 一、选择题 1下列命题中，真命题的个数为 ( ) 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面； 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； 若 M ， M ， l，则 M l. A 1 B 2 C 3 D 4 B 根据公理 2 可判断 是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故 是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面 (如墙角 )，故 是假命题；根据公理 3可知 是真命题综上，真命题的个数为 2. 2已知 A， B， C， D
2、是空间四点，命题甲： A， B， C， D 四点不共面，命题乙：直线 AC 和 BD不相交，则甲是乙成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 若 A， B， C， D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行时， A， B， C， D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件 3若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 ( ) 【导学号： 79140226】 A l 与 l1，
3、 l2都不相交 B l 与 l1， l2都相交 C l 至多与 l1， l2中的一条相交 D l 至少与 l1， l2中的一条相交 D 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l1， l2中至少有一条与 l 相交 4 (2018 兰州实战模拟 )已知长方体 ABCDA1B1C1D1中， AA1 AB 3， AD 1，则异面直线B1C 和 C1D 所成角的余弦值为 ( ) A 64 B 63 C 26 D 36 =【 ;精品教育资源文库 】 = A 连接 AC， AB1(图略 )，由长方体性质可知 AB1 DC1，所以 AB1C 就是异面直线 B1C 和C1D 所成的角由题知
4、 AC 1 ( 3)2 2， AB1 ( 3)2 ( 3)2 6， CB1 1 ( 3)2 2，所以由余弦定理得 cos AB1C AB21 CB21 AC22AB1 CB1 64 ，故选 A. 5 (2016 全国卷 ) 平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为 ( ) A. 32 B 22 C. 33 D 13 A 设平面 CB1D1 平面 ABCD m1. 平面 平面 CB1D1， m1 m. 又平面 ABCD 平面 A1B1C1D1， 且平面 CB1D1 平面 A1B1C1D1
5、B1D1， B1D1 m1， B1D1 m. 平面 ABB1A1 平面 DCC1D1， 且平面 CB1D1 平面 DCC1D1 CD1， 同理可证 CD1 n. 因此直线 m， n 所成的角与直线 B1D1， CD1所成的角相等，即 CD1B1为 m， n 所成的角 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， CB1D1是正三角形， 故直线 B1D1与 CD1所成角为 60 ，其正弦值为 32 . 二、填空题 6 (2018 湖北调考 )已知正六棱锥 SABCDEF 的底面边长 和高均为 1，则异面直线 SC 与 DE所成角的大小为 _ 4 设正六边形 ABCDEF 的中心为 O，连接 SO， C
6、O， BO，则由正六边形的性质知 OC DE，SO 平面 ABCDEF，所以 SCO 为异面直线 SC 与 DE 所成角又易知 BOC 为等边三角形，=【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 SO BC CO 1，所以 SCO 4. 7若平面 ， 相交，在 ， 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _个平面 1 或 4 如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不 共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个平面 8 (2017 郑州模拟 )在图 727 中， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有 _(填上所有
7、正确答案的序号 ). 【导学号： 79140227】 (1) (2) (3) (4) 图 727 (2)(4) 图 (1)中，直线 GH MN；图 (2)中， G， H， N 三点共面，但 M?平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图 (3)中，连接 MG(图略 )， GM HN，因此 GH 与 MN 共 面；图 (4)中，G， M， N 共面，但 H?平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面，所以在图 (2)(4)中， GH 与 MN 异面 三、解答题 9.如图 728 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问： 图 728 (1)A
8、M 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解 (1)AM， CN 不是异面直线理由：连接 MN， A1C1， AC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，所以 MN A1C1. 又因为 A1A C1C，所以 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1 AC，所以 MN AC， 所以 A， M， N， C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线 理由：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 C
9、C1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B 平面 ， CC1 平面 ， 所以 D1， B， C， C1 ， 这与 B， C， C1， D1不共面矛盾，所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线 10如图 729 所示 ，在三棱锥 PABC 中， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC 2 ，AB 2， AC 2 3， PA 2.求： 图 729 (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解 (1)S ABC 1222 3 2 3， 三棱锥 PABC 的体积为 V 13S ABC PA 132 32 43 3. (2)如图，取 P
10、B 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与AD 所成的角 (或其补角 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 ADE 中， DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. B 组 能力提升 11 (2018 陕西质检 (一 )已知 P 是 ABC 所在平面外的一点， M， N 分别是 AB， PC 的中点若MN BC 4， PA 4 3，则 异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 A 取 AC 中点为 O，连接
11、OM， ON，则易证 OM 綊 12BC， ON 綊 12PA，所以 ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角由 MN BC 4， PA 4 3，得 OM 12BC 2， ON 12AP 2 3，则cos ONM ON2 MN2 OM22 ON MN 32 ，所 以 ONM 30 ，即异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是 30 ，故选 A. 12.如图 7210，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 AC BC 2， ACB 90 ， F， G 分别是线段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为 _. 【导学号： 79140228】
12、 图 7210 36 取 DE 的中点 H，连接 HF， GH. 由题设， HF 12AD， 所以 GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角 (或其补角 ) 在 GHF 中，可求 HF 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = GF GH 6， cos GFH ( 2)2 ( 6)2 ( 6)22 2 6 36 . 13如图 7211，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA 底面 ABCD，OA 2， M 为 OA 的中点 图 7211 (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 解 (1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S 4， 四棱锥 OABCD 的体积 V 1342 83. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME， DE. 又 M 为 OA 中点， ME OC， 则 EMD(或其补角 )为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知可得 DE 2， EM 3， MD 5， ( 2)2 ( 3)2 ( 5)2， DEM 为直角三角形， t an EMD DEEM 23 63 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 63 .
