1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1 (2017 届南昌模拟 )设 a， b 是夹角为 30 的异面直线，则满足条件 “ a? ， b? ，且 ” 的平面 ， ( ) A不存在 B有且只有一对 C有且只有两对 D有无数对 解析：过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b确定的平面 ，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面 .故选 D. 答案： D 2 (2018 届青岛质检 )设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则能得出 a b 的是 (
2、 ) A a ， b ， B a ， b ， C a? ， b ， D a? ， b ， 解析：对于 C 项，由 ， a? 可得 a ，又 b ，得 a b，故选 C. 答案： C 3如图，在 Rt ABC 中， ABC 90 ， P 为 ABC 所在平面外一点， PA 平面 ABC，则四面体 P ABC 中直角三角形的个数为 ( ) A 4 B 3 C 3 D 1 解析：由 PA 平面 ABC 可得 PAC， PAB 是直角三角形，且 PA BC.又 ABC 90 ，所以 ABC 是直角三角形，且 BC 平面 PAB，所以 BC PB，即 PBC 为直角三角形，故四面体 P ABC 中共有
3、4 个直角三角形 答案： A 4 (2017 届贵阳市监测考试 )如图，在三棱锥 P ABC 中，不能证明 AP BC 的条件是( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A AP PB， AP PC B AP PB， BC PB C平面 BPC 平面 APC， BC PC D AP 平面 PBC 解析： A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP 平面 PBC，又 BC?平面 PBC，所以 AP BC，故 A 能证明 AP BC； C 中，因为平 面 BPC 平面 APC， BC PC，所以 BC 平面APC， AP?平面 APC，所以 AP BC，故 C 能证明 A
4、P BC；由 A 知 D 能证明 AP BC； B 中条件不能判断出 AP BC，故选 B. 答案： B 5 (2018 届吉林实验中学测试 )设 “ a， b， c 是空间的三条直线， ， 是空间的两个平面 ” ，则下列命题中，逆命题不成立的是 ( ) A当 c 时，若 c ，则 B当 b 时，若 b ，则 C当 b? ，且 c 是 a 在 内的射影时，若 b c，则 a b D当 b? ，且 c? 时，若 c ，则 b c 解析： A 的逆命题 为：当 c 时，若 ，则 c .由线面垂直的性质知 c ，故 A 正确； B 的逆命题为：当 b? 时，若 ，则 b ，显然错误； C 的逆命题为
5、：当 b? ，且 c 是 a 在 内的射影时，若 a b，则 b c.由三垂线逆定理知 b c，故 C 正确； D 的逆命题为：当 b? ，且 c? 时，若 b c，则 c .由线面平行判定定理可得 c ，故 D 正确 答案： B 6如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点，则下列说法错误的是 ( ) A MN 与 CC1垂直 B MN 与 AC 垂直 C MN 与 BD 平 行 D MN 与 A1B1平行 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：如图，连接 C1D， BD， AC，在三角形 C1DB 中， MN BD，故 C 正确； CC1 平
6、面 ABCD， CC1 BD， MN 与 CC1垂直，故 A 正确； AC BD， MN BD， MN 与 AC 垂直，故 B 正确； A1B1与 BD 不平行， MN BD， MN 与 A1B1不平行，故 D 错误故选 D. 答案： D 7如图所示，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90. 将 ADB沿 BD 折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成三棱锥 A BCD，则在三棱锥 A BCD 中，下列结论正确的是 ( ) A平面 ABD 平面 ABC B平面 ADC 平面 BDC C平面 ABC 平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC 解析：因
7、为在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD 45 ， BAD 90 ， 所以 BD CD. 又平面 ABD 平面 BCD， 且平面 ABD 平面 BCD BD， 故 CD 平面 ABD，则 CD AB. 又 AD AB， AD CD D， AD?平面 ADC， CD?平面 ADC， 故 AB 平面 ADC. 又 AB?平面 ABC，所以平面 ADC 平面 ABC. 答案： D 8如图 ， PA O 所在平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， AE PC， AF PB，给出下列结论： AE BC； EF PB； AF BC； AE 平面 PBC，其中真命题的序号
8、是_ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： AE?平面 PAC， BC AC， BC PA?AE BC，故 正确； AE PC， AE BC， PB?平面 PBC?AE PB， AF PB， EF?平面 AEF?EF PB，故 正确；若 AF BC?AF 平面 PBC，则 AF AE 与已知矛盾，故 错误；由 可知 正确 答案： 9设 a， b 为不重合的两条直线， ， 为 不重合的两个平面，给出下列命题： 若 a 且 b ，则 a b； 若 a 且 a ，则 ； 若 ，则一定存在平面 ，使得 ， ； 若 ，则一定存在直线 l，使得 l ， l . 上面命题中，所有真命题的序号是 _ 解析
9、： 中 a 与 b 也可能相交或异面，故不正确 垂直于同一直线的两平面平行，正确 中存在 ，使得 与 ， 都垂直 中只需直线 l 且 l? 就可以 答案： 10如图，直三棱柱 ABC A1B1C1，侧棱长为 2， AC BC 1， ACB 90 ， D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点， AB1， DF 交于点 E.要使 AB1 平面 C1DF，则线段 B1F 的长为 _ 解析：设 B1F x，因为 AB1 平面 C1DF， DF? 平面 C1DF， 所以 AB1 DF. 由已知可以得 A1B1 2， 设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h.则 DE 12h. 又 2 2 h
10、 22 2 2， 所以 h 2 33 ， DE 33 . 在 Rt DB1E 中， B1E ? ?22 2 ? ?33 2 66 . 由面积相等得 66 x2 ? ?22 2 22 x，得 x 12. 即线段 B1F 的长为 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 12 11 (2018 届河南省八市重点高中质量检测 )如图，过底面是矩形的四棱锥 F ABCD 的顶点 F 作 EF AB，使 AB 2EF，且平面 ABFE 平面 ABCD，若点 G 在 CD 上且满足 DG GC.求证： (1)FG 平面 AED； (2)平面 DAF 平面 BAF. 证明： (1)因为 DG GC，
11、 AB CD 2EF， AB EF CD， 所以 EF DG， EF DG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形， 所以 FG ED. 又因为 FG?平面 AED， ED?平面 AED。 所以 FG 平面 AED. (2)因为平面 ABFE 平面 ABCD，平面 ABFE 平面 ABCD AB， AD AB， AD?平面 ABCD， 所以 AD 平面 BAF， 又 AD?平面 DAF， 所以平面 DAF 平面 BAF. 12 (2018 届延边质检 )已知矩形 ABCD 与正三角形 AED 所在的平面互相垂直， M， N 分别为棱 BE， AD 的中点， AB 1， AD 2. (1)证明：直
12、线 AM 平面 NEC； (2)求异面直线 AM 与 CN 的成角余弦值 解： (1)证明：如图所示， 取 EC 的中点 F，连接 FM， FN， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 FM BC， FM 12BC， AN BC， AN 12BC， 所以 FM AN 且 FM AN， 所以四边形 AMFN 为平行四边形， 所以 AM NF. 因为 AM?平面 NEC， NF?平面 NEC， 所以直线 AM 平面 NEC. (2)由 (1)知， AM NF， CNF 是异面直线 AM 与 CN 所成的角， 平面 AED 平面 ABCD， NE AD， NE 平面 ABCD， NE NC， 又 N
13、E 32 AD 3， 又 CD 平面 AED， CD DE， CE 12 22 5， CN CE2 NE2 5 3 2. 又 NF FC 12CE 52 ， cos CNF NF2 CN2 CF22NF CN 22 52 2 105 ， 即异面直线 AM 与 CN 的成角余弦值为 105 . 能 力 提 升 1.如图，梯形 ABCD 中， AD BC， ABC 90 ， AD BC AB 2 3 4， E， F 分别是 AB，CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出下列四个结论： DF BC； BD FC； 平面 BDF 平面 BCF； 平面 DCF 平面 BCF.则上述
14、结论可能正确的是 ( ) A B C D 解析：对于 ，因为 BC AD， AD 与 DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；对于 ，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BP CF 时就有 BD FC，而 AD BC AB 2=【 ;精品教育资源文库 】 = 3 4 可使条件满足，所以正确；对于 ，当点 D 在平面 BCF 上的射影 P 落 在 BF 上时， DP?平面 BDF，从而平面 BDF 平面 BCF，所以正确；对于 ，因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以不成立 答案： B 2如图，在四棱锥 S ABCD 中，平面 SAD 平面
15、ABCD.四边形 ABCD 为正方形，且点 P为 AD 的中点，点 Q 为 SB 的中点 (1)求证： CD 平面 SAD； (2)求证： PQ 平面 SCD； (3)若 SA SD，点 M 为 BC 的中点，在棱 SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN 平面 ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 解： (1)证明：因为四 边形 ABCD 为正方形，所以 CD AD. 又因为平面 SAD 平面 ABCD，且平面 SAD 平面 ABCD AD，所以 CD 平面 SAD. (2)证明：如图，取 SC 的中点 R，连接 QR， DR. 由题意知： PD BC 且 PD 12BC. 在 SBC 中，点 Q 为 SB 的中点，点 R 为 SC 的中点， 所以 QR BC 且 QR 12BC， 所以 PD QR，且 PD QR， 所以四边形 PDRQ 为平行四边形，所以 PQ DR. 又因为 PQ?平面 SCD，
