1、单元卷十计数原理、概率、随机变量及其分布(能力提升卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2021广东深圳模拟我国实行的教育改革，最初设计为“3X”，即除了语文、数学、外语三门必修科目，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治中选择三门课程作为高考科目.后来发现很多学生弃选物理，这对我国的科学事业发展会有很大影响，所以辽宁省将制度改为“31X”，即除了语文、数学、外语三门必修科目，想学理科的学生必选物理，想学文科的学生必选历史，然后再从剩下的化学、生物、政治、地理四个科目中选择两门
2、课程作为高考科目.此改革之后，学生的选课方法()A.减少8种 B.增加10种C.种数不变 D.减少5种2.2022陕西西安一模若(2x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则ABC()A.4 095 B.4 097 C.4 095 D.4 0973.2022宁波北仑中学模拟随机变量X的分布列如表所示，则当p在(0，1)内增大时，D(X2)满足()X101PA.先增大后减小 B.先减小后增大C.增大 D.减小4.2022广东东莞期末“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了
3、近现代逐渐风靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是()A. B. C. D.5.2022安徽十校联考已知a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5()A. B.3 C. D.56.2022辽宁大连期末2020年12月4日，中国科学技术大学宣布：该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界上最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“
4、量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第个格子的概率为()A. B. C. D.7.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2
5、分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则P等于()A. B. C. D.8.2022重庆一中期末随机变量X的概率分布列如下：X012k12PCC其中k0，1，2，12，则E(X)A.212 B.26 C.6 D.12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2022湖南名校联考(ax)(1x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是()A.a3B.展开式中常数项为3C.
6、展开式中x4的系数为30D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为6410.2022辽宁名校联考某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三一共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共有20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是()A.若1班不再分配名额，则共有C种分配方法B.若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C种分配方法C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法11.2022广东广州三校联考甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球
7、.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别记A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，记B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()A.P(B)B.P(B|A1)C.事件B与事件A1相互独立D.A1，A2，A3是两两互斥的事件12.2021福建宁德期末某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的是()A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是C
8、.丙同学随机选择选项，能得分的概率是D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022浙江宁波镇海中学期中若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a7的值是_；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_种不同的取法.14.2022重庆北培区一模设随机变量N(，2)，21，函数f(x)x22x没有零点的概率是0.5，则P(01)_.附：若N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.15.2022湖北武汉一模在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三
9、某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量XB(n，p)，记pkCpk(1p)nk，k0，1，2，n.在研究pk的最大值时，小组同学发现：若(n1)p为正整数，则k(n1)p时，pkpk1，此时这两项概率均为最大值；若(n1)p为非整数，当k取(n1)p的整数部分，则pk是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为_的概率最大.16.2021山西大同模拟甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人
10、先赢三局时获胜，比赛结束).棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走.假设甲执红棋时获胜的概率为，执黑棋时获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立，且没有和局.若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以32的成绩获胜的概率为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2022广东深圳一模某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处
11、和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.(1)求甲同学通过测试的概率；(2)在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.18.(12分)2022福建厦门一模国际学生评估项目(PISA)，是经济合作与发展组织(OECD)举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究.在2018年的79个参测国家(地区)的抽样测试中，中国四省市(北京、上海、江苏、浙江)作为一个整体在所有参测国家(地区)取得全部3项科目中第一的好成绩.某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参
12、加测试的中国学生中随机抽取了200名参测选手进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90xy家长重视学生教育度一般30zw总计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为.(1)判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关.(2)现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查.记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和
13、数学期望.附：2，nabcd.0.100.050.0250.0100.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)2021重庆七校联考随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来.这类软件能自动记载用户每日健步的步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2 000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成3，5)，5，7)，7，9)，9，11)，11，13)，13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，绘制成如图所示的
14、频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布.(1)求图中a的值；(2)设该企业正常上班的员工健步步数(单位：千步)近似服从正态分布N(，2)，其中近似为样本的平均数(各区间数据用中点值近似计算)，取3.64，若该企业恰有10万名正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间4.88，15.8内的人数；(3)现从该企业员工中随机抽取20人，其中日健步步数在13千步至15千步内的员工有X人，记“事件Xk”的概率为P(Xk)，其中k0，1，2，20，当P(Xk)最大时，求k的值.参考数据：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33)0
15、.997 3.20.(12分)2021沈阳市教学质检习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”.为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，运动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对参与活动的1 200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据(单位：人)如下表所示：器械类徒手类合计男性590女性240合计900(1)请将题中表格补充完整，并判断能否有99%的把握认为“是否选择器械类与性别有关”.(2)为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动.竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必须三个项目都参加.据以往经验，参赛者通过器
16、械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立.用表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量的分布列和数学期望.(参考数据：1 23021 512 900，6555932 175，1 512 90032 17547)附：2.0.0500.0250.0100.005x3.8415.0246.6357.87921.(12分)2022山东临沂一模党中央、国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0p1).现有4例疑似病例，分别对其
17、取样、检测，既可以逐个化验也可能将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：4个样本逐个化验；方案二：4个样本混合在一起化验；方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；(2)若p，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最优，并说明理由.22.(12分)2022河北唐山一模某赛事共
18、有16位选手参加，采用双败淘汰制.双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如图所示：赛前通过抽签确定选手编号为116，在胜者组进行第一轮比赛.每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的，指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者.(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果)(2)选手甲每轮比赛胜败
19、都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其期望E(X).(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？参考知识：正整数n1时，e为自然对数的底数，e2.718 28.单元卷十计数原理、概率、随机变量及其分布(能力提升卷)1.A原来的选课方法有C20(种).现在的选课方法，有CC12种，所以改革后减少了8种，故选A.2.C由(2x)10展开式的通项公式为Tr1C210r(x)r(1)r210rCxr，所以一次项系数C(1)129C5120，二项式系数和A2101 024，令x1，则所有项的系数和B(21)101，所以ABC4 095.故选C.3.A由分布列可得：P(X20
20、)，P(X21)，E(X2)，所以D(X2)，因为对称轴方程为p，所以当p在(0，1)内增大时，D(X2)先增大后减小.故选A.4.D根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，可得每局比赛中小明胜小华、小华胜小明、小明与小华和局的概率均为，所以小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，小华获胜的情况为前两局比赛小华胜或者前两局比赛小华胜一局，第三局比赛小华胜，记A1为“前两局比赛小华胜”，A2为“前两局比赛小华胜一局，第三局比赛小华胜”，B为“小明和小华两位同学进行三局两胜制的石头、剪刀、布游戏比赛，小华获胜”，则P(A1)，P(A2)C，所以P(B)P(
21、A1)P(A2)，故选D.5.C对题中等式两边求导可得5a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令x1，得a12a23a34a45a5.故选C.6.C由题意可知，小球碰到钉子后向左、向右滚落的概率均为，小球从入口到落入底板的格子时，共碰到7次钉子，小球要落入第个格子，在7次碰撞中，必须有5次向左，2次向右，因此落入第个格子的概率为C，故选C.7.C设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)，P()1，P(B)P，P()1P，依题意得(1P)P，解得P，故选C.8.C由(CCCC)1，
22、得a212，又E(X)(0C1C2CkC12C)，E(X)12C11C10C(12k)C0C12C11C10C(12k)C0C，则由得2E(X)(CCCCC)21212，所以E(X)6，故选C.9.ABD设(ax)(1x)6a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a764(a1)，令x1，得a0a1a2a70，由得，2(a1a3a5a7)64(a1)，所以26464(a1)，解得a3，故A正确；故二项式为(3x)(1x)6a0a1xa2x2a7x7，令x0，可得a03，即展开式中常数项为3，故B正确；由得，2(a0a2a4a6)642，所以a0a2a4a664，即展开式中x的偶数次幂
23、项的系数之和为64，故D正确；由(3x)(1x)63(1x)6x(1x)6，得其展开式中x4的系数为3C1C25，故C错误.故选ABD.10.BD对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据插空法，将其分成5组，则共有C种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据插空法，将其分成6组，则共有C种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：4个名额分到一个班，有6种；一个班3个名额，一个班1个名额，有A30(种)；两个班都
24、是2个名额，有C15(种)；两个班1个名额，一个班2个名额，有CC60(种)；四个班都是1个名额，有C15(种)，则共有126种分配方法，故C错误，D正确.故选BD.11.BD因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；因为P(A1)，P(A2)，P(A3)，所以P(B|A1)，故B正确；同理P(B|A2)，P(B|A3)，因为事件B与事件A1，A2，A3均不是相互独立的，所以P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3)，故A，C错误.故选BD.12.ABC甲同学仅随机选一个选项，共有4个样本点，分别为A，B，C，D，随机事件“能得3分”中有样本点C，D，故“能得3分”的概
25、率为，故A正确.乙同学仅随机选两个选项，共有6个样本点，分别为A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D，随机事件“能得5分”中有样本点C，D，故“能得5分”的概率为，故B正确.丙同学随机选择选项(至少选择一项)，共有样本点15种，选择一项：A，B，C，D；选择两项：A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D；选择三项或全选：A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D，A，B，C，D，随机事件“能得分”中有样本点C，D，C，D，故“能得分”的概率为，故C正确.丁同学随机至少选择两个选项，由C可知，共有样本点11种，随机事件“能得分”中有样本点C，D，故“能得分”的概率为，故D错误.
26、故选ABC.13.12535由(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，令x0，则a01；令x1，则a0a1a2a82.又a8C(2)7128，所以a1a2a721128125.在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，可以利用插空法，从六项所形成的七个空中选取三个空，则有C35(种)不同的取法.14.0.135 9由函数f(x)没有零点，得二次方程x22x0无实根，所以44()0，解得1.又函数f(x)没有零点的概率是0.5，所以P(1)0.5.由正态曲线的对称性知：1，又21，所以N(1，1)，所以2，0，23，21，所以P(20)0.682 7，P(31)0.954 5，所以P
27、(01)P(31)P(20)(0.954 50.682 7)0.135 9.15.18由题意知，投掷一次点数1出现的概率P，所以(801)13.5，即后80次投掷结果点数1出现的次数为13的概率最大，又前20次投掷结果点数1出现的次数为5，所以当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为51318的概率最大.16.甲以32的成绩获胜，则第五局甲获胜，甲前四局为两胜两负.根据规则，甲执红棋开局，则前四局甲执棋的顺序是红、黑、红、黑，第五局甲执红棋.所以前四局甲获胜的情况可能是：甲2次执红棋获胜；甲2次执黑棋获胜；甲1次执红棋和1次执黑棋获胜.故所求概率p.17.解(1)甲同学两分球投篮命中的概率
28、为0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X4)P(X4)P(X5)0.90.50.50.10.50.10.50.50.3，甲同学通过测试的概率为0.3.(2)同(1)可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2.设乙同学累计得分为Y，则P(Y4)0.80.40.40.128，P(Y5)0.20.40.20.60.40.128.设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过测试”为事件B，则P(AB)P(X5)P(Y4)0.0750.1280.009 6，P(B)P(X4)P(X5)P(Y4)P(Y5)0.076 8，由条件概率
29、公式可得，P(A|B).18.解(1)由条件知，解得x40，所以y130，z40，w70.213.18710.828x0.001，所以有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关.(2)从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人.由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123.19.解(1)由0.0220.0320.05220.152a20.0520.0420.0121，解得a0
30、.1.(2)40.0460.0680.1100.1120.3140.2160.1180.08200.0212.16，P(4.88Z15.8)P(2Z)0.818 6，因为100 0000.818 681 860，所以估计这些员工中日健步步数Z位于区间4.88，15.8内的人数为81 860.(3)由题意知XB(20，0.2)，P(Xk)C0.2k0.820k，其中k0，1，2，20.记f(k)，当f(k)1时，k4.2，则P(Xk1)P(Xk)；当f(k)1时，k4.2，则P(Xk1)P(Xk).1，所以当k4时，P(Xk)最大.20.解(1)由题意可知，器械类人数为900，其中男性590人，
31、可得女性310人，又总人数为1 200，所以徒手类人数为300，其中女性240人，可得男性60人.完成表格为器械类徒手类合计男性59060650女性310240550合计9003001 200是21886.635，所以有99%的把握认为“是否选择器械类与性别有关”.(2)随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则P(0)，P(1)C，P(2)C，P(3)，所以的分布列为0123P数学期望E()0123.21.解(1)用X表示4例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量XB，由题意可知：P(X2)C.(2)方案一：若逐个检验，则检验次数为4.方案二：混合在一起检验，记检验次数为X，则X1，5.P(
32、X1)，P(X5)1P(X1)，E(X)15.方案三：每组的两个样本混合在一起化验，若结果呈阴性，则检测次数为1，其概率为；若结果呈阳性，则检测次数为3，其概率为1.设方案三检测次数为随机变量Y，则Y2，4，6，P(Y2)，P(Y4)2，P(Y6)，则E(Y)246，由E(X)E(Y)4，知方案二最优.22.解(1)30，7.(2)X的可能取值为2，3，4，5，6，7.P(X2)，P(X3)C，P(X4)C，P(X5)C，P(X6)P(X7)C，分布列如下：X234567P则E(X)234567.(3)乙经败者组进入决赛的概率为f(t)C(1t)t5，0t1.f(t)4t4(56t)，当0t时，f(t)0，f(t)单调递增，当t1时，f(t)0，f(t)单调递减，得f(t)的最大值为f4，由参考知识得，故f，所以乙经败者组进入决赛没有三成把握.
