第五章三角函数5.1.2弧度制 ppt课件（含导学案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制5.1.2 弧度制一、教学目标1、了解弧度制，掌握弧度与角度的互化；2、体会引入弧度制的必要性；3、掌握弧度中扇形的弧长和面积公式，及公式的简单应用；4、培养数学运算的核心素养.二、教学重点、难点重点：掌握弧度与角度的互化难点：掌握弧度中扇形的弧长和面积公式，及公式的简单应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【问题 1】（1）周角=_度，平角=_度.【答案】360,180（2）计算：00392520_【答案】0912（3）若0036 23 18,8112 58，则_，_,23_ 【答案】不需要计算，太烦（太繁）啦！【问题 2】在航海方位确定，炮兵测算，工程测量等遇见关于角的运算以及角的三角函数值的运算，有没有简单的处理方法？上述的练习（3）为什么不易计算？【答案】角度制的进位是两种规则：度与度之间是十进制，而分与分、秒与秒是六十进制！角度制的进位是两种规则：度与度之间是十进制，而分与分、秒与秒是六十进制！【问题 3】有效的解决方法是什么？你掌握人民币与其它货币的换算方法吗？有效的解决方法是什么？你掌握人民币与其它货币的换算方法吗？（二）阅读精要，研讨新知，典型示例（二）阅读精要，研讨新知，典型示例【曾经的角度制】角可以用度度为单位进行度量，1 度1 度的角等于周角的1360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制角度制.【全新的弧度制】如图 5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB OB形成角，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角.设0,n OPr，点P所形成的圆弧1PP的长为l，则180n rl，于是180lnr【问题】如图 5.1-10，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQr，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧1QQ的长为1l，1l与1r的比值是多少？你能得出什么结论？【结论】圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关，且这个比值随的确定而唯一确定.【思维联想】可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.我们规定:规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做 1弧度(radian)的角，弧度单位用符号 rad表示，读作弧度.我们把半径为 1 的圆叫做单位圆单位圆，如图 5.1-11,在单位圆O中，1AB，AOB就是 1 弧度的角.根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么|lr.【概念认知】其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，与前面的规定相同.超出一周的旋转产生终边相同的角.角依然可以放在直角坐标系中进行研究.诸如象限角、轴线角等的说法一致.【概念新说】一般地，一般地，正角正角的弧度数是一个的弧度数是一个正数正数，负角负角的弧度数是一个的弧度数是一个负数负数，零角零角的弧度数是的弧度数是0 0.【问题】既然角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢?【角度制与弧度制的换算】利用圆周获得关系：03602rad,0180rad方向一：01180 rad 方向二：1rad000180()57.3057 18【例题研讨】阅读领悟课本173P例 4、例 5（用时约为 1-3 分钟，教师作出准确的评析.）例 4 按照下列要求，把067 30化成弧度：（1）精确值 （2）精确到 0.001 的近似值解：（1）00135135367 30()221808 rad（2）利用计算器有局限性：没有计算器可用！以后免谈！局限性：没有计算器可用！以后免谈！例 5 将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到 0.001）解：利用计算器有局限性：没有计算器可用！以后免谈！局限性：没有计算器可用！以后免谈！【发现】在手边没有计算工具的时候，往往只考虑特殊角手边没有计算工具的时候，往往只考虑特殊角的情况，以便研究和学习.【约定】今后用弧度制表示角时，“弧度”或者“rad”通常可以略去不写.【约定】今后用弧度制表示角时，“弧度”或者“rad”通常可以略去不写.【需要熟悉熟记常用的特殊角的度数与幅度数】度00030045060090012001350150018002700360弧度06432233456322象轴III轴IIIIII轴轴轴【疑问】上表缺第三象限、第四象限的特殊角，下表补全：度030045060012001350150021002250240030003150330弧度6432334567654435374116象限IIIIIIIIIIIIIIIIIIIVIVIV【图形认知】在下图中找出每一个角，标识出对应角的度数和弧度，看看能不能发现角的规律.标识出对应角的度数和弧度，看看能不能发现角的规律.【弧度制的目的】在角的概念推广后，弧度制下能够实现角的集合与实数集R的一一对应关系，并且弧度的运算是在十进制下进行的.【例题研讨】阅读领悟课本174P例 6（用时约为 3 分钟，教师作出准确的评析.）例 6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：xyo限（1）lR （2）212SR （3）12SlR其中R是圆的半径，(02)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.证明：（1）由公式|lr及题设条件得lR（2）因为半径为R，圆心角0n为的扇形的弧长公式和面积公式分别是2,180360n Rn RlS将0n转换成弧度，得 180n，于是 212SR（3）将lR代入212SR可得 12SlR【视界】对比角度制与弧度制下的扇形的弧长公式和面积公式，明显感到弧度制下的公式简单许多.【小组互动】完成课本175P练习 1、2、3、4、5、6，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟1.弧度制下（1）终边在x轴上的角的集合为_，（2）终边在y轴上的角的集合为_，（3）终边在坐标轴上的角的集合为_.解：（1）因为角度制下终边在x轴上的角的集合为0|180,nnZ 所以弧度制下终边在x轴上的角的集合为|,nnZ（2）因为角度制下终边在y轴上的角的集合为00|90180,nnZ 所以弧度制下终边在y轴上的角的集合为|,2nnZ（3）由（1）（2）终边在坐标轴上的角的集合为|,|,2nnZnnZ 2(21)|,|,22nnnZnZ|,2kkZ【答案】|,nnZ，|,2nnZ，|,2nnZ 2.弧度制下第二象限的角的集合为_.解：因为角度制下终边在第二象限角的集合为0000|90360180360,kkkZ所以弧度制下终边在第二象限角的集合为|22,2kkkZ【答案】|22,2kkkZ或者(2,2)()2kkkZ 3.已知扇形OAB的圆心角为0120，周长为3，求扇形的面积S.解：由已知得23，则扇形弧长23lRR所以扇形周长为2322332RlRRR，所以21324SR4.已知扇形OAB的面积1S 2cm，周长为4cm，求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB.解：由题意可知 11224lRRl 解得12Rl所以，2lR，2sin1AB cm5.已知扇形的周长C为 16 cm，求当它的半径R和圆心角取何值时，才能使扇形的面积S最大？最大面积是多少？解：由题意可知216162RllR ，则方法一：2211(162)8(4)1622SlRR RRRR 当4R 时，扇形的面积最大，最大面积为162cm，此时162 424lr 方法二：21111 1622(162)(162)2()422442RRSlRR RRR当且仅当1622RR，即4R 时，扇形的面积最大，最大面积为162cm，此时162 424lr（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点弧度的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做 1弧度(radian)的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度.|lr0180角度与弧度计算01180 rad1rad000180()57.3057 18扇形中公式弧长公式：lR面积公式：21122SlRR（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本175P习题 5.1 6-122.预习课本 5.2 三角函数的概念五、教学反思：（课后补充，教学相长）5.1.2 弧度制第五章 三角函数 目录 CONTENT（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题 目录 CONTENT 目录 CONTENT（二）（二）阅读精要，阅读精要，研讨新知研讨新知，典型示例，典型示例 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半