第12讲 从任意角到三角函数 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第十二讲 从任意角到三角函数第十二讲 从任意角到三角函数一、知识点详解一、知识点详解知识点1 任意角1从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角，推广称为任意角。2从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.3若 与 是终边相同的角，则 用 表示为+k360(kZ).知识点2 弧度制 1.角的度量：角度制与弧度制2、弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.3角 的弧度数如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是|lr.正角的弧度数是一个正数，负数的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 04.角度与弧度的换算 5.弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为(rad)，半径为 r，则 lr，扇形的面积为 S12lr12r2.知识点3 任意角的三角函数1.定义：设 是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点 P(x，y)把P点的纵坐标y叫做 的正弦函数，sin y把P点的横坐标x叫做 的余弦函数，sin y 把P点的纵坐标与横坐标x的比值xy叫做 的正切，tan yx.当)(2Zkk，的终边在y轴上，当点P的横坐标x等于 0，tan yx.无意义，除此之外，对于确定的角xy,的值也是唯一确定的。所以 tan yx.（0 x）也是以角为自变量，以单位圆上的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数为正切函数我们将正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数。ZkkxxyRxxyRxxy,2,tan,cos,sin2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).3.三角函数在各个象限的符号情况记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.4、三角函数特殊值)20(k二、例题解析二、例题解析例例 1：任意角与终边相同的角：任意角与终边相同的角（1）下列各命题正确的是()A终边相同的角一定相等B第一象限角都是锐角C锐角都是第一象限角D小于 90 度的角都是锐角【答案】C【解析】解：30和390是终边相同的角，但30390，故可排除A第一象限角390不是锐角，故可排除B30是小于90的角，但它不是锐角，故可排除D锐角是第一象限角是正确的，（2）456角的终边相同的角的集合是()A|360456k，kZB|360264k，kZC|36096k，kZD|360264k，kZ【答案】B【解析】解：终边相同的角相差了360的整数倍，设与456角的终边相同的角是，则456360k，kZ，又264与456终边相同，264360k，kZ，（3）给出下列命题：（1）小于2的角是锐角 （2）第二象限角是钝角 （3）终边相同的角相等 （4）若与有相同的终边，则必有2()kkZ，正确的个数是()A0B1C2D3【答案】B【解析】解：（1）小于2的角是锐角，错误，如62，但6不是锐角；（2）第二象限角是钝角，错误，如43是第二象限角，单不是钝角；（3）终边相同的角相等，错误，如与；（4）若与有相同的终边，则必有2()kkZ，正确例例 2：弧度制，弧长，面积公式：弧度制，弧长，面积公式（1）已知扇形的周长为8cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为()A4 2cmB6 2cmC8 2cmD16 2cm【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则 扇形的周长为28lr，弧长为：2rr，2rcm，根据扇形的面积公式，得22142Srcm，（2）已知扇形的圆心角为165，半径长为10cm，则扇形的弧长为()A5524cmB553cmC556cmD5512cm【答案】C【解析】解：16510551801806n RLcm（3）扇形的圆心角与半径相等，面积为 4，这个扇形的圆心角等于()A34B2C4D2【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角大小为()rad，半径为r，则r，可得扇形的面积为2211422Sr解得：扇形的圆心角大小为2例例 3：任意角的三角函数以及符号判定：任意角的三角函数以及符号判定（1）已知角的终边经过点(1,2)P，则cos的值为()A55B5C2 55D52【答案】A【解析】解：|5OP，所以15cos55，故选A（2）已知角的终边与单位圆交于点13(,)22P，则tan的值为()A12B32C3D3【答案】C【解析】解：角的终边与单位圆交于点13(,)22P，则32tan312，（3）已知角终边经过点(4Pa，3)(0)a a，则2sincos的值为()A25B25C0D25或25【答案】A【解析】解：角的终边经过点(4,3)aa，0a；4xa，3ya，22(4)(3)5raaa 33sin55aa，44cos55aa，3422sincos2()555 ；（4）已知sin0，且cos0，则的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】解：sin0 为一、二象限角或在y轴正半轴上，cos0，为二、三象限角在x轴负半轴上为第二象限角三、课堂练习三、课堂练习A 级级1.在0 360范围内，与950终边相同的角是2与角1560终边相同的角的集合中，最小正角是，最大负角是3.与2()12kkZ终边相同的角是()A345B375C1112D23124已知是锐角，那么2是()A第一象限角B第二象限角C小于180的正角D不大于直角的正角5已知为第一象限角，则2所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限B 级级1在半径为12mm的圆上，弧长为144mm的弧所对的圆心角的弧度数为2将1440化为弧度，结果是3半径为R的圆的一段弧长等于2 3R，则这段弧所对圆心角的弧度数为4已知点(,3)P x是角终边上一点，且4cos5，则x的值为45已知角的终边经过点(5,12)P，则sin2cos的值为C 级级1若角满足条件sin20，cossin0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知点(4,3)是角终边上的一点，则sin()()A35B35C45D453若角的终边在直线2yx上，则sin等于()A15B55C255D124.已知0,022，则23的取值范围是四、课后作业四、课后作业A 级级1.若一个扇形的圆心角为 2，半径为 1，则该扇形的面积为2在平面直角坐标系中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点3 1(,)22，则sin的值为()A32B12C32D123已知角的终边经过点4,3,5P mcos 且，则m等于()A114B114C4D44若sin0，且cos0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角B 级级1已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是()A2B2sin 1C2sin1Dsin22已知角的终边经过点(4Pm，3)(0)m m，则2sincos的值是()A1 或1B25或25C1 或25D1或253已知角满足sin0tan，且costan0，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4一条弦的长度等于半径r，求这条弦所对的劣弧长为C 级级1若9090，则的范围是2已知(3,4)是角A的终边上一点，则5sin5cos3tanAAA第十二讲 从任意角到三角函数第十二讲 从任意角到三角函数一、知识点详解一、知识点详解知识点1 任意角1从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角，推广称为任意角。2从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.3若 与 是终边相同的角，则 用 表示为+k360(kZ).知识点2 弧度制 1.角的度量：角度制与弧度制2、弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.3角 的弧度数如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是|lr.正角的弧度数是一个正数，负数的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 04.角度与弧度的换算 5.弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为(rad)，半径为 r，则 lr，扇形的面积为 S12lr12r2.知识点3 任意角的三角函数1.定义：设 是一个任意角，它的终边OP与单位圆交于点 P(x，y)把P点的纵坐标y叫做 的正弦函数，sin y把P点的横坐标x叫做 的余弦函数，sin y 把P点的纵坐标与横坐标x的比值xy叫做 的正切，tan yx.当)(2Zkk，的终边在y轴上，当点P的横坐标x等于 0，tan yx.无意义，除此之外，对于确定的角xy,的值也是唯一确定的。所以 tan yx.（0 x）也是以角为自变量，以单位圆上的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数为正切函数我们将正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数。ZkkxxyRxxyRxxy,2,tan,cos,sin2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).3.三角函数在各个象限的符号情况记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.4、三角函数特殊值)20(k二、例题解析二、例题解析例例 1：任意角与终边相同的角：任意角与终边相同的角（1）下列各命题正确的是()A终边相同的角一定相等B第一象限角都是锐角C锐角都是第一象限角D小于 90 度的角都是锐角【答案】C【解析】解：30和390是终边相同的角，但30390，故可排除A第一象限角390不是锐角，故可排除B30是小于90的角，但它不是锐角，故可排除D锐角是第一象限角是正确的，（2）456角的终边相同的角的集合是()A|360456k，kZB|360264k，kZC|36096k，kZD|360264k，kZ【答案】B【解析】解：终边相同的角相差了360的整数倍，设与456角的终边相同的角是，则456360k，kZ，又264与456终边相同，264360k，kZ，（3）给出下列命题：（1）小于2的角是锐角 （2）第二象限角是钝角 （3）终边相同的角相等 （4）若与有相同的终边，则必有2()kkZ，正确的个数是()A0B1C2D3【答案】B【解析】解：（1）小于2的角是锐角，错误，如62，但6不是锐角；（2）第二象限角是钝角，错误，如43是第二象限角，单不是钝角；（3）终边相同的角相等，错误，如与；（4）若与有相同的终边，则必有2()kkZ，正确例例 2：弧度制，弧长，面积公式：弧度制，弧长，面积公式（1）已知扇形的周长为8cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为()A4 2cmB6 2cmC8 2cmD16 2cm【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则 扇形的周长为28lr，弧长为：2rr，2rcm，根据扇形的面积公式，得22142Srcm，（2）已知扇形的圆心角为165，半径长为10cm，则扇形的弧长为()A5524cmB553cmC556cmD5512cm【答案】C【解析】解：16510551801806n RLcm（3）扇形的圆心角与半径相等，面积为 4，这个扇形的圆心角等于()A34B2C4D2【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角大小为()rad，半径为r，则r，可得扇形的面积为2211422Sr解得：扇形的圆心角大小为2例例 3：任意角的三角函数以及符号判定：任意角的三角函数以及符号判定（1）已知角的终边经过点(1,2)P，则cos的值为()A55B5C2 55D52【答案】A【解析】解：|5OP，所以15cos55，故选A（2）已知角的终边与单位圆交于点13(,)22P，则tan的值为()A12B32C3D3【答案】C【解析】解：角的终边与单位圆交于点13(,)22P，则32tan312，（3）已知角终边经过点(4Pa，3)(0)a a，则2sincos的值为()A25B25C0D25或25【答案】A【解析】解：角的终边经过点(4,3)aa，0a；4xa，3ya，22(4)(3)5raaa 33sin55aa，44cos55aa，3422sincos2()555 ；（4）已知sin0，且cos0，则的终边所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】解：sin0 为一、二象限角或在y轴正半轴上，cos0，为二、三象限角在x轴负半轴上为第二象限角三、课堂练习三、课堂练习A 级级1.在0 360范围内，与950终边相同的角是【答案】故答案为：130【解析】解：9503 360130 ，在0 360范围内，与950终边相同的角是1302与角1560终边相同的角的集合中，最小正角是，最大负角是【答案】故答案为：240，120【解析】解：根据终边相同的角相差360的整数倍，故与1560终边相同的角可表示为：|3601560k，kZ则当4k 时，43601560120 ，此时为最大的负角当5k 时，5 3601560240，此时为最小的正角3.与2()12kkZ终边相同的角是()A345B375C1112D2312【答案】B【解 析】解：由2()12kkZ，得 与 角终 边 相 同 的 角 是：1512，36015375 4已知是锐角，那么2是()A第一象限角B第二象限角C小于180的正角D不大于直角的正角【答案】C【解析】解：是锐角，即0202.2 是小于180的正角5已知为第一象限角，则2所在的象限是()A第一或第二象限B第二或第三象限C第一或第三象限D第二或第四象限【答案】C【解析】解：为第一象限角，222kk，即24kk，kZ，当2kn时，2224nn，此时位于第一象限当21kn时，52224nn，此时位于第三象限即2所在的象限为第一或第三象限，故选：CB 级级1在半径为12mm的圆上，弧长为144mm的弧所对的圆心角的弧度数为【答案】12【解析】解：由题意可得：144Lmm，12Rmm，LR，1441212LradR2将1440化为弧度，结果是【答案】8【解析】解：144014408180 弧度3半径为R的圆的一段弧长等于2 3R，则这段弧所对圆心角的弧度数为【答案】故答案为：2 3【解析】解：设这段弧所对圆心角的弧度数为，则2 3RR，解得：2 34已知点(,3)P x是角终边上一点，且4cos5，则x的值为【答案】故答案为：4【解析】解：点(,3)P x是角终边上一点，且24cos59xx，4x，5已知角的终边经过点(5,12)P，则sin2cos的值为【答案】故答案为213【解析】解：已知角的终边经过点(5,12)P，则12sin13，5cos13，12102sin2cos131313，C 级级1若角满足条件sin20，cossin0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】解：sin20，2在第三、四象限或y的负半轴2222kk，kZ，2kk，kZ在第二、四象限又cossin0在第二象限2已知点(4,3)是角终边上的一点，则sin()()A35B35C45D45【答案】A【解析】解：点(4,3)是角终边上的一点，4x，3y，|5rOP，3sin5yr，则3sin()sin5，3若角的终边在直线2yx上，则sin等于()A15B55C255D12【答案】C【解析】解：角的终边落在直线2yx上当角的终边在第一象限时，在终边上任意取一点(1,2)，则该点到原点的距离为522 5sin55当角的终边在第三象限时，在终边上任意取一点(1,2)，则该点到原点的距离为52 5sin5 4.已知0,022，则23的取值范围是【答案】故答案为(6，)【解析】解：0,022，02，1063 263，四、课后作业四、课后作业A 级级1.若一个扇形的圆心角为 2，半径为 1，则该扇形的面积为【答案】1【解析】解：扇形的圆心角2，半径1r 该扇形的面积221112122Sr2在平面直角坐标系中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点3 1(,)22，则sin的值为()A32B12C32D12【答案】D【解析】31,22xy，2231()()122r 1sin2yr3已知角的终边经过点4,3,5P mcos 且，则m等于()A114B114C4D4【答案】C【解析】故为第III象限的角，即0m，则224cos5(3)mm 解得4m ，或4m（舍去）4若sin0，且cos0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】B【解析】sin0，得为第一、第二及y轴正半轴上的角；cos0，可得为第二、第三及x轴负半轴上的角取交集可得，是第二象限角B 级级1已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是()A2B2sin 1C2sin1Dsin2【答案】C【解析】解：如图所示，设扇形OAB中，圆心角2AOB，过 0 点作OCAB于点C，延长OC，交弧AB于D点，则1AODBOD，112ACAB，Rt AOC中，1sinsin1ACAOAOC，得半径1sin1r，弧AB长122sin1sin1lr2已知角的终边经过点(4Pm，3)(0)m m，则2sincos的值是()A1 或1B25或25C1 或25D1或25【答案】B【解析】解：22(4)(3)5|rmmm，当0m 时，33445,sin,cos5555mmrmmm，6422sincos555；当0m 时，33445,sin,cos5555mmrmmm ，6422sincos555 3已知角满足sin0tan，且costan0，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】解：sin0tan，即sin与tan同号，为第一或四象限角，又costan0，即cos与tan异号，为第三或四象限角，综上可得为第四象限角，4一条弦的长度等于半径r，求这条弦所对的劣弧长为【答案】3r【解析】解：一条弦的长度等于半径r 两半径与弦构成的三角形为等边三角形弦对的圆心角为3这条弦所对的劣弧长为3rC 级级1若9090，则的范围是【答案】故答案为：(180,0)【解析】解：，0；9090，9090，9090，180180；由可得，1800，2已知(3,4)是角A的终边上一点，则5sin5cos3tanAAA【答案】故答案为：5【解 析】解：由 题 意 可 得3x、4y 、5r，4sin5yAr，3cos5xAr，4tan3yAx，4345sin5cos3tan5()53()5553AAA ，