1、2 0 2 15.2.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系1.平方关系:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2+cos2=1.2.商数关系:同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切,即=tan,其中角满足条件k+,kZ.sincos21|同角三角函数的基本关系1.sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.sin=,cos=.2.sin=costan,cos=.3.12sincos=(sincos)2.21cos 21sin,Z2kksintank,Z2k2|同角三角函数基本关系的变形1.对任意的角,都有tan=成立.()提示:当=+k,kZ时,等式的左右两边没有意义,等式不
2、成立.2.sin2+cos2=1.()提示:在sin2+cos2=1中,令=,可得sin2+cos2=1.3.存在角,使得sin=,且cos=.()提示:因为+=1,因此不存在角,使得sin=,且cos=.4.已知3sin+cos=0,则tan=-.()提示:由题意得3sin=-cos0,tan=-.sincos22222212122122121212121313判断正误，正确的画“”，错误的画“”.5.已知cos=,则sin=.()提示:由cos=,得sin=,故不正确.1213513121321cos 2121135131|利用同角三角函数的基本关系求值同角的正弦与余弦具有平方关系sin2
3、+cos2=1,解题时结合完全平方公式,可以得到一些有用的公式.问题1.sin+cos与2sincos有何关系?提示:(sin+cos)2=1+2sincos.2.sin-cos与2sincos有何关系?提示:(sin-cos)2=1-2sincos.3.如何解决已知sincos,sincos的求值问题?提示:一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.4.已知sin+cos,sin-cos,sincos中的任何一个,如何求另外两个式子的值?提示:利用三角恒等式:(sin+cos)2+(sin-cos)2=2;(sin-cos)2=(sin+cos)2-4sincos可以进行求值.同角三角函数
4、的基本关系经常组合在一起使用.sin,cos,tan这三个“知一求二”.注意:在使用关系式sin=和cos=时,一定要注意正负号的选取,确定正负号的依据是角的终边所在的象限.另外在解题时注意同角三角函数基本关系的变形应用.21cos 21sin(1)已知tan=,且是第三象限角,求sin,cos的值;(2)已知sin+cos=,(0,),求tan的值.43713思路点拨(1)利用“平方关系”和“商数关系”列方程组求解.(2)由sin+cos求出2sincos的值,再求出sin-cos的值,从而求出sin、cos的值,最后求出tan的值.解析(1)是第三象限角,sin0,cos0.由得(2)si
5、n+cos=,(sin+cos)2=,2sincos=-0,cos0,sin-cos=,因此sin=,cos=-,tan=-.22sin4tan,cos3sincos14sin,53cos.5 71349169120169,22(sincos)4sincos171312135131252|关于sin,cos的齐次式的求值问题1.若已知tan=m,求形如的式子的值,其方法是将分子、分母同除以cos(或cos2)转化为关于tan的代数式,再求值,如果先求出sin和cos的值再代入,那么运算量会很大,问题的解决就会变得烦琐.2.形如asin2+bsincos+ccos2的式子,通常把分母看作1,然后
6、用sin2+cos2代换,分子、分母同除以cos2,再求解.sincossincosabcd2222sincossincosabcd或已知=2,计算下列各式的值.(1);(2)sin2-2sincos+1.sincossincos3sincos2sin3cos思路点拨由=2得tan=3.根据齐次式的求解方法,将(1)(2)转化为关于tan的代数式,再求值.sincossincos解析由=2得sin=3cos,所以tan=3.(1)原式=.(2)原式=+1=+1=+1=.sincossincos3tan12tan33 3 12 33 89222sin2sin cossincos22tan2tan
7、tan12232 331 13103|利用同角三角函数的基本关系化简与证明利用同角三角函数的基本关系化简与证明时常用的方法:(1)化切为弦,即把正切函数化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下的式子化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式,往往借助因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.若sintan0,化简+.1sin1sin1sin1sin思路点拨先确定cos的符号,然后利用平方关系去根号,再进行化简.解析sintan0,cos0.原式=+=+=+=-.22(1 sin)1 sin22(1sin)1 sin|1 sin|cos|1sin|cos|1sincos1sincos2cos证明:=.tan sintansintansintan sin思路点拨等式左右两边切化弦整理化简得证.证明左边=,右边=,左边=右边,原等式成立.2sinsin(1cos)21cossin(1cos)1cossin2sinsin cossin2sin(1cos)sin1cossinCBDDAD
