1、5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时）教学目标能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式（重点）01能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式及正切公式（重点）02 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式03并 能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值.（重点、难点）学科素养借助正切线作出正切函数的图像;数学抽象直观想象 两角和差正余弦公式、二倍角公式的推导逻辑推理能用公式求值，求角，化简数学运算数据分析利用两点间的距离公式得到两角差的余弦公式;数学建模01Retrospective Knowledge在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，
2、如图，过P1,P2分别作x轴，y轴的垂线交于点Q，则Q的坐标为(x2,y1)，则由勾股定理，可得：.)()(22122121yyxxPPxyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)21221121yyQPxxQPQPQP，且222121QPQPPP02Exquisite Knowledge 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到简化、求值或证明的目的 这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系 如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和（或差）的
3、三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题终边终边-终边如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角，-，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos，sin)，A1(cos，sin)，P(cos(-)，sin(-)下面我们来探究cos(-)角，的正弦、余弦之间的关系不妨令2k+，kZ，如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出+，的正弦、余弦吗？探究探究终边终边-终边 A(1，0)，P(cos(-)，sin(-)，A1(cos，sin)，P1(cos,sin)连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋
4、转对称性可知:AP 与A1P1重合，从而AP=A1P1 ，所以AP=A1P12222cos()1sin()(coscos)(sinsin)根据两点间的距离公式，得：coscoscossinsin化简得当=2k+,kZ时，容易证明上式仍然成立 此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式差角的余弦公式，简记作.所以，对任意角，有coscos cossinsin()1C【例】利用公式证明：(1)cos()sin(2)cos()cos.2；(2)cos()coscossinsin(1)cos0cos (1)cos()coscossinsin222证明：01sinsi
5、n4sin,(,)52【解析】由，得53sin1cos2sinsincoscos)cos(所以35412()()()513513 5cos13 又由，是第三象限角，得1312cos1sin26533.)cos(135cos),2(54sin2的值是第三象限角，求，】已知【例cos15cos(4530)cos45 cos30sin45 sin3023216222224；cos15cos(6045)cos60 cos45sin60 sin4512322622224；.15cos的值【练习】求【解析】（方法一）（方法二）coscos(coscossinsin.coscos()sinsin()【推导】
6、我们以为基础，推导出其他公式.于是得到了两角和的余弦公式，简记作coscos cossinsin 由公式出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？探究探究 我们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据、和诱导五（六），推导出用任意角，的正弦、余弦表示sin(+)，sin(-)公式吗？探究探究sincoscos()22cos()cossin()sin22sincoscossinsincoscossinsincoscos()22cos()cossin()sin22于是得到了两角和与差的正弦公式，分别简记作S、Ssinsincoscos sinsinsincoscos sin 我
7、们知道，用诱导五（六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据、和诱导五（六），推导出用任意角，的正弦、余弦表示sin(+)，sin(-)公式吗？探究探究coscoscossinsincoscos cossinsinsinsincoscos sinsinsincoscos sin（异名积，符号同）（同名积，符号反）.)4cos()4sin(53sin3的值，是第四象限角，求，】已知【例是第四象限角，得，【解析】已知53sin54)53(1sin1cos22，所以43cossintansin4coscos4sin)4sin(1027)53(225422sin4sincos4cos)4cos(1027)
8、53(225422于是有.4计算下列各式的值】利用和（差）角公式【例42sin72cos42cos72sin1）（70sin20sin70cos20cos2）（)4272(sin【解析】原式.2103sin)7020cos(【解析】原式.009cos.tansin)4cos(2055)4sin(5的值，求，】已知【例03Expansion And Promotion04Sum Upcoscoscossinsincoscos cossinsinsinsincoscos sinsinsincoscos sin（异名积，符号同）（同名积，符号反）05Homework After Class.)cos()(sin,53cos55sin.2的值和为第四象限角，求，已知.)3tan()4(sin135sin.1的值和，求已知
