1、3.2.2 函数的奇偶性【知识拓展】1. 若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称；2. 若一个奇函数在原点处有定义，则f(0)=0；3. 函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，（其中xD，D是关于原点对称的区间）；4. 在对称区间上，奇函数在两侧的单调性相同，偶函数在两侧的单调性相反；5. 奇偶函数的四则运算：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。复合函数的奇偶性6.若 为偶函数,则有7.若，且 为奇函数，为常数，则 ，题型一函数奇偶性的判断解题策略：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1） 先求函数的定义域，看函数的定义域区间是否关于坐标原点对称；（2）验
2、证f(-x)=f(x) ，或者f(-x)=-f(x).1.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+ (2)f(x)=x4+x2. 2.函数f(x)=是_函数.(填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”中的一个)3.设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数4.判断下列函数的奇偶性.(1) (2)(3) f(x)= (4) （5） （6） (7)5.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=
3、2,f(1)+g(-1)=4.则g(1)等于()A.4B.3C.2D.16. 函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=_.题型二奇、偶函数的图象问题1.奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧图象如图,画出左侧图象,并写出f(x)0的x的取值集合.变式一：若上题条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小.变式二：若把上题中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,写出f(x)0的x的取值集合.变式三：1.解不等式 2.解不等式题型三利用函数奇偶性求参数1. 若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-1,2a,则a=_
4、，b=_.2.若已知函数fx=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25， (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数；(3) 解不等式f(t-1)+f(t)0.变式：若把上题中的奇函数改为偶函数，改为，其他条件不变，则此时函数的解析式又是什么？3.已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=. (1)求实数a,b的值.(2)判断函数f(x)在(-,-1上的单调性,并用定义证明.4.已知函数fx=ax2+1bx+c(a,b,cZ)是奇函数，又f(1)=2，f(2)0时,f(x)=x2-2x+3,求f(-1)及f(x)的解析式.变式：若把
5、上题中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求f(-1)及当x0时f(x)的解析式.2. 已知是定义在(-1,1)上的奇函数，当0x1时，求在(-1,1)上的解析式。3. 函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=,则f(x)=_.4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则g(x)=_.题型五函数单调性与奇偶性的综合应用解题要点：函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在
6、定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.1.若奇函数f(x)在区间2,5上的最小值是6,那么f(x)在区间-5,-2上有()A.最小值6B.最小值-6 C.最大值-6D.最大值62.f(x)是偶函数，且在(0，+)上为减函数，则a=f(-2)，b=f(2)，c=f(32)的大小关系是( )A. bac B.acb C.bca D.cab3.若f(x)是偶函数，其定义域为(-,+)，且在0,+)上是减函数，则与的大小关系是_.4. 已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+)上为减函数,且函数y=f(x-5)为偶函数,设a=f(-6),b=
7、f(-3),则a,b的大小关系为.5. 已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增，则满足f(2x-1)f(13)的x取值范围是.6.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-，0上递增，且f(a-1)f(2a+1)，求a的取值范围.7.已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且单调递减,若a满足f(1+a)+f(2+3a)0,则x的取值范围是.10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-,0上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是.11.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,在(-,0）上是减函数,且f(2)=0,则f(x)0的x的取值范围是.12. 若f(x)是R上奇函数,且在(0,+)内是增函数,又有f(-3)=0,则0成立。(1) 判断f(x)在-1，1上的单调性，并证明它；(2) 解不等式：f(2x-1)+f(3x-1)0(3) 若fxm2-2am+1对所有的a-1,1恒成立，求实数m的取值范围
