1、2.1等式性质与不等式性质第二章 一元二次函数、方程和不等式1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系.2.了解不等式（组）的实际背景.3.了解不等式一些基本的性质.1.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.用不等式（组）正确表示出不等关系.l事实上，在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.l在上述所有的不等号中，要特别注意“”“”两个符号的含义.如果a,b是两个
2、实数，那么ab即为ab或ab；ab即为ab或ab.你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某路段限速某路段限速40km/h；解：解：对于对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速限速40km/h”就是就是v的大小不能超过的大小不能超过40，于是于是0v40.(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应该不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；对于(2)，由题意，得 （半个大括号表示同时.）2.5%,2.3%.fp(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；对于(3)，设ABC的三条边为a，b，c，则abc，
3、abc.(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.对于(4)，如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CDCE.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？分析：首先要统一单位，第一句是从“元”到“万”，所以第二句中的2000应该改为0.2万.解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为 万元.于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 求出不等式的解集，就能知道满足条件
4、的杂志的定价范围.2.580.20.1xx2.580.220.0.1xx初中学过的不等式性质:性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab；当点A在点B的右边时，ab.（说明：当点A与点B重合时，ab）关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么ab；如果a
5、-b等于0，那么ab；如果a-b是负数，那么ab，反过来也对.这个基本事实可以表示为 ；.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.0abab0abab0abab总结：1.要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，这是我们研究不等关系的一个出发点.2.差大于0时，被减数不大于减数；差等于0时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小于减数.例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.解：因为(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)=(x+5x+6)(x+5x+4)=20，所以
6、(x+2)(x+3)(x+1)(x+4).这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法（也叫作差法）.图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？答：相等关系为直角三角形为等腰直角三角形时，4个三角形的面积和等于正方形的面积.不等关系为直角边不相等时，4个三角形的面积和小于正方形的面积.将图中2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的
7、长为a，b（ab），那么正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a+b.由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a+b2ab.22ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a+b=2ab.于是就有a+b2ab.一般地，有a+b2ab当且仅当ab时，等号成立.事实上，利用完全平方差公式，得a+b-2ab=(a-b).因为 ，(a-b)0，当且仅当ab时，等号成立，所以a+b-2ab0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a+b2ab，当且仅当a=b时，等号成立.,a bR,a bR性质1 如果a
8、b，那么ba；（对称性）性质2 如果ab，bc，那么ac；（传递性）性质3 如果ab，那么acbc；（同加性，同减性）性质4 如果ab，那么acbc；（同乘性）性质5 如果ab，c0，那么 .（同除性）abcc可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变形.由性质3可进一步得到，如果ab，cd，那么acbd；由性质4可进一步得到，如果ab，cd，那么acbd；以及ab可得到anbn（n2，nN）类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：性质1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即性质2 如果ab，bc，那么ac.即
9、.abba,ab bcac性质2 如果ab，bc，那么ac.即 .,ab bcac证明：由两个实数大小关系的基本事实知说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.例如：如果ab且bc，那么ac；如果ab，且bc，那么ac.如果两个不等式都带有等号，即若ab且bc，则ac，其中ac时必须有ab且bc，否则ac不成立.0()()00.0aba ba bb ca cacbcb c 性质3 如果ab，那么a+cb+c.性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0,那么acbc.性质5 如果ab，cd，那么a+cb+d.类比等式的性质35，可以猜想不等式还有如下性质：性
10、质3 如果ab，那么a+cb+c.文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.如图2.1-5，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3.由性质3可得，这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.()().abcabbcbacb性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么 acbc.文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式 同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常
11、用的不等式性质.例如，利用性质2,3可以推出：性质5 如果ab，cd，那么a+cb+d.事实上，由ab和性质3，得a+cb+c；由cd和性质3，得b+cb+d.在根据性质2，即得a+cb+d.说明：(1)性质5称为不等式的同向可加性(2)性质5说明，两个同向不等式相加，所得不等式与原不 等式同向.(3)性质5可简记为：“大+大小+小”(4)这一性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即若a1b1，a2b2，anbn，nN*，则 a1+a2+anb1+b2+bn.这就是说，两个或者更多个同向 不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.利用性质4和性质2可以推出：性质6 如果ab0，c
12、d0，那么acbd.说明：(1)它可以推广到任意有限个同向不等式两边分别 相乘，即若a1b10，a2b20，anbn0，nN*，则a1a2anb1b2bn.(2)性质6说明，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向.性质7 如果ab0，那么anbn（nN，n2）.说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.证明：因为 个，根据性质6，得anbn.0,0,0,ababnabL例2 已知ab0，c0，求证分析：要证明 ，因为c0，所以可以先证明 利用已知ab0和性质3，即可证明证明：因为ab0，所以ab0，于是 ，即 由c0，得.ccabc
13、cab11.ab11.ab10.ab11abababgg11.ba.ccab1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超过4m；注意：限高、限速、限重实质上是“不超过”，但需要注意实际意义.解：（1）0h4；1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(2)a与b的和是非负实数；注意：“非负数”是“大于或等于0的数”，“非正数”是“小于或等于0的数”解：（2）a+b0；1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系：(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.解：（3）4,
14、(10)(10)350.LWLW2.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解：因为(x+3)(x+7)(x+4)(x+6)(x2+10 x+21)(x2+10 x+24)30，所以(x+3)(x+7)(x+4)(x+6).3.已知ab，证明证明：因为ab，所以a-b0，b-a0，所以 所以 因为 所以综上知，ab时，.2abab2()0,222abaababa.2aba()20,222ababbabb.2abb.2abab4.证明不等式性质1，3，4，6.证明:(1)ab，a-b0，(ab)0，ba0，ba.(2)ba，ba0，(ba)0，ab0，ab.由(1)(2)知不等式性
15、质1成立.性质1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即a bb a 4.证明不等式性质1，3，4，6.证明：因为ab，所以ab0.因此(a+c)(b+c)=a+c-b-c=a-b0,即(a+c)-(b+c)0.因此a+cb+c.性质3 如果ab，那么a+cb+c.4.证明不等式性质1，3，4，6.证明:(1)(2)ab，a-b0.又c0，根据异号相乘得负，性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么 acbc.,00,0()0.a bca bca bc ac bcac bc ()0.ab cacbc4.证明不等式性质1，3，4，6.证明：因为ab，c0，所以acbc.又因为cd，b0，所以bcbd.根据不等式的传递性，得acbd.性质6 如果ab0，cd0，那么acbd.5.用不等号“”“”“”“”“,即0,.cccabQ1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.不等关系的表示；3.一个重要的不等式；4.等式、不等式的性质.
