1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 一 册5.2.1 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念广信数学组引入新课引入新课前面，我们已经把角的范围扩展到了任意角，并用弧度制来度量角，将角和实数建立一一对应关系.接下来，我们将建立一个数学模型，刻画单位圆上点P位置变化情况.(以点A为起点做逆时针方向旋转)APO以单位圆的圆心为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P(x,y)射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.1.1.新课引入新课引入A(1,0)P(x,y)Ox课堂探究课堂探究 当=时，点P的坐标是什么？当=或=时，点P的坐标又
2、是什么？6232A(1,0)POxA(1,0)POxA(1,0)POxM方法：过点方法：过点P向向x轴做垂线，轴做垂线，得到得到RTOPM，可以用锐角，可以用锐角三角函数求点三角函数求点P的坐标的坐标；23OM30cosOPOM21PM30sinOPPM2123P，的坐标为：点2321-，10，课堂探究课堂探究xy21-23-，67M一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定点P的横坐标x、纵坐标y都是关于的函数当角确定时点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的探索新知探索新知三角函数第一定义（单位圆定义）三角函数第一定义（单位圆定义
3、）三角函数定义：设是一个任意角，R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)(1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin,即 y=sin;(2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos,即 x=cos(3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切函数,记作tan,即 =tan(x0).探索新知探索新知我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数：正弦函数：y=sinx,xR余弦函数：y=cosx,xR正切函数：y=tanx,x2k A(1,0)P(x,y)Ox把角放在平面直角坐标系中；把角放在平面直角坐标系中；构造直角三角形；构造直角三角形；求出角的终边与单位圆的交点坐标；求出角的终边与
4、单位圆的交点坐标；利用定义来确定三角函数的值；利用定义来确定三角函数的值；课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解例例1 1 求求 的正弦值、余弦值和正切值的正弦值、余弦值和正切值.35xy23-21，M【解】在坐标系中作出AOB=，易知AOB的终边与单位圆的交点P的坐标为 ，所以随堂练习：随堂练习：P179 1P179 1P180 2P180 2课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解例例2 如图如图,设设是一个任意角是一个任意角,它的终边上任意一点它的终边上任意一点P(不与原点不与原点O重合重合)的坐标为的坐标为(x，y),点点P与原点的距离为与原点的距离为r.求证：求证：xyrxrytancos
5、sin，yxP,0MOyxM000,yxP设设的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点分别过点P,P0作作x轴的垂线轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为垂足分别为M,M0,则则:ryy10可得ryyyy00同号，与又rysinxyrxtan,cos同理可得：则则|P0M0|y0|，|PM|y|，|OM0|x0|，|OM|x|，sin=y0,OMPOM0P0新知探索新知探索 三角函数第二定义三角函数第二定义ry sinrx cos0tanxxy0P,P22与原点的距离为：点是终边上的任意一点，是一个任意角，设yxryx随堂练习：随堂练习：P180 3P180 3 任意角
6、任意角的三角函数值仅与的三角函数值仅与有关，有关，而与点而与点P在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.比较三角函数第一定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)sin=y cos=x tan=(x0)ry sinrx cos例例2、已知角、已知角的终边过点的终边过点P(2,-3),求求的三个的三个三角函数值三角函数值.05 05 课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解随堂练习：随堂练习：P180 3P180 305 05 课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解32sin,cos,tan.yx、已知角 的终边在直线上，求角 的的值 1解：当角 的终边在第一象限时，221,21
7、25在角 的终边上取点，则r=22 5152sin,cos,tan255155 2当角 的终边在第三象限时，221,2125r 在角 的终边上取点，则22 5152sin,cos,tan255155 课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解探究：三角函数的值在各个象限的符号探究：三角函数的值在各个象限的符号.tansincos+-+-1OxyOxyOxy00101-100不存在不存在0不存在不存在终边在坐标轴上的三角函数值呢？终边在坐标轴上的三角函数值呢？课堂探究课堂探究 -随堂练习随堂练习例例3 求证：角求证：角为第三象限角的充要条件为为第三象限角的充要条件为【证明证明】首先证明充分性，即如果都
8、成立，那么首先证明充分性，即如果都成立，那么为第三象限角为第三象限角.因为因为sin0成立，所以成立，所以角的终边位于第三或者第四象限，也可能和角的终边位于第三或者第四象限，也可能和y轴的负半轴重合；轴的负半轴重合；又因为又因为tan0成立，所以成立，所以角的终边位于第一或者第三象角的终边位于第一或者第三象限，综合可知限，综合可知为第三象限角为第三象限角.再证明必要性，因为再证明必要性，因为是第三象限角，根据定义有是第三象限角，根据定义有sin0，所以必要性成立，即充要性成立，所以必要性成立，即充要性成立.随堂练习：随堂练习：P182 3 4P182 3 405 05 课堂探究课堂探究 -例题
9、讲解例题讲解例例4 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因为）因为 =，而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （3）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin公式一的作用公式一的作用:把求任意把求任意角的三角函数值，转化角的三角函数值，转化为为02角的三角函数值角的三角函数值.课堂探究课堂探究 -终边相同的角的三角函数值终边相同的角的
10、三角函数值+2k与与终边相同终边相同终边相同的角的同一终边相同的角的同一三角函数值有什么关三角函数值有什么关系？系？终边相同的角的三角函数终边相同的角的三角函数值同一三角函数值相等值同一三角函数值相等.sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan公式一公式一课堂探究课堂探究 -例题讲解例题讲解随堂练习：随堂练习：P182 5P182 5例例5 求下列三角函数值：求下列三角函数值：（1）（2）49cos)611tan(解：（解：（1）224cos)24cos(49cos练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值319tan)431tan(31336tan6tan)26tan()611tan(（2）课堂小结课堂小结随堂练习：随堂练习：P180 3P180 31.三角函数的第一定义：三角函数的第一定义：第二定义：第二定义：2.三角函数值在各个象限三角函数值在各个象限和轴线上的符号；和轴线上的符号；3.终边相同的角的统一三终边相同的角的统一三角函数值相等角函数值相等sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan公式一公式一特殊角的三角函数特殊角的三角函数谢谢大家，欢迎批评指正谢谢大家，欢迎批评指正T H A N K YO U A L L
