1、（金戈铁骑（金戈铁骑 整理制作）整理制作）反函数古蔺中学古蔺中学一、复习旧知一、复习旧知那么这样的对应叫做集合那么这样的对应叫做集合A到到集合集合B的映的映射射.函数：建立在两个函数：建立在两个非空数集上的映射非空数集上的映射.映射：映射：设设A、B是两个集合，是两个集合，如果按照某种如果按照某种对应法则对应法则f，对于集合，对于集合A中的中的任何一个任何一个元素，元素，在集合在集合B中都有中都有唯一唯一的元素和它对应，的元素和它对应，二、引入新课二、引入新课考察确定下列函数的映射考察确定下列函数的映射,记函数的定义域记函数的定义域为为A,值域为值域为C,哪些映射的逆对应能构成从哪些映射的逆对
2、应能构成从C到到A的映射的映射?x y001-1-2-31491232461-1x yx y f(x)2x2f(x)x2f(x)x(x1)f:xy2x2f:xyx2f:xyx1yf:yx21f:yxy 1f:yxy 若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对若确定一个函数的从定义域到值域的映射，它的逆对应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由应也是一个映射（称这个映射为原映射的逆映射），则由逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数逆映射所确定的函数称为原来函数的反函数.x y001-1-2-31491232461-1x yx y f(x)2x2f(x)x2f(x)x(x1)f:xy
3、2x2f:xyx2f:xyx反函数反函数：根据这个函数中根据这个函数中x、y的关系，用的关系，用y把把x表示出来，得到表示出来，得到 ，x(y)如果对于如果对于y在在C中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过 ，x在在A中都有唯一的值和它对应，中都有唯一的值和它对应，x(y)那么那么 就表示就表示y是自变量，是自变量，x是自变量是自变量y的函数，的函数，x(y)记作：记作：（yC）1xf(y)对调对调 中的字母中的字母x,y,把它改写成：把它改写成：1xf(y)1yf(x)三、新授课三、新授课反函数定义反函数定义：函数函数 中，设它的值域为中，设它的值域为C，yf(x)(xA)yf(x)(xA
4、)这样的函数这样的函数 （yC）叫做函数）叫做函数 的反函数的反函数.x(y)yf(x)(xA)四剖析定义四剖析定义:(),()|yf xxA Cf xxA(),xyyC1(),xfyyC1(),yfxxC解方程解方程记作记作X,y互换互换思考思考:4、与与 是同一个函数吗？是同一个函数吗？1(),.yfxx C1(),xfyy C1、哪些函数有反函数？、哪些函数有反函数？2、单调函数一定有反函数吗？、单调函数一定有反函数吗？有反函数的函数一定为单调吗有反函数的函数一定为单调吗?3、函数、函数与与互为反函数互为反函数.yf(x)1yf(x)xyf 1f1f xyf 1f(f(x)x,(xC)1
5、f(f(x)x,(xA)6、5、函数函数与与的定义域与值域的关系的定义域与值域的关系.yf(x)1yf(x)AC值域CA定义域1yf(x)yf(x)求反函数的步骤：求反函数的步骤：1、反解：、反解：2、互换：、互换：3、求原函数值域，即为反函数的定义域、求原函数值域，即为反函数的定义域.yf(x)1yf(x)1xf(y)1xf(y)五、例题例1：已知下列函数都有反函数，试求出它们 的反函数.2x1f(x).x1(1)解：解：y=2x3,x2y3y2x=.1x3f(x)x2 （x2).f(x)x 1,(x0).(2)2f(x)x4x3,(x3).(3)12f(x)(x1)(x1)解：解：解解：2
6、2yx4x3(x2)1,2(x2)y 1,x21,x2y 1.x2y 1,1f(x)2x1(x0).yx1,2x(y 1).例2：若函数y=ax+b（a0）的反函数就是它本身，求a，b应满足的条件.解：y=ax+b,ybx.a xbaxb,a1a,abb.a xby.a y=ax+b 的反函数是的反函数是 y=ax+b 的反函数就是它本身的反函数就是它本身a1b0a1,bR.或或六、课堂小结：1、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才、构成函数的映射是一一映射时，这个函数才 有反函数；有反函数；3、求反函数的一般步骤是：、求反函数的一般步骤是：解方程；解方程；x，y互换；互换；写出反函数的定义域写出反函数的定义域2、反函数的定义域、值域分别是原函数的值、反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域；域、定义域；七、课后思考：2f(x)x2x5(x0)1f(0)1、若若,求求2、若 存在反函数，求 的反函数.yf(x)yf(x1)
