1、线段、角的轴对称性（线段、角的轴对称性（1） 宜兴外国语学校：初二备课组宜兴外国语学校：初二备课组 沪沪 宁宁 高高 速速 公公 路路 在沪宁高速公路在沪宁高速公路l的同侧，有的同侧，有 两个化工厂两个化工厂A、B，为了便于两厂，为了便于两厂 的货物运输，市政府计划在公路的货物运输，市政府计划在公路 边上修建一处高速入口，使得两边上修建一处高速入口，使得两 个工厂的工人都没意见，问入口个工厂的工人都没意见，问入口 应选在何处？应选在何处？ A B 如图，线段如图，线段AB，直，直 线线MN垂直平分垂直平分AB。在直。在直 线线MN上任取一点上任取一点P，连，连 结结PA与与PB； 如果我们把线
2、段如果我们把线段AB沿直线沿直线MN 对折，线段对折，线段PA和和PB会重合吗？会重合吗？ A B C M N 量一量：量一量：PA、PB的的 长，你能发现什么？长，你能发现什么？ A B P C D O PA=PB 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上点点到这条到这条 线段线段两端两端的距离的距离相等相等。 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 几何语言： 线段的垂直平分线外的线段的垂直平分线外的 点，到这条线段两端的点，到这条线段两端的 距离相等吗？为什么？距离相等吗？为什么？ 如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分的垂直平分 线线l
3、外任取一点外任取一点P，连接，连接PA、 PB，PA交交l于点于点Q，PA与与PB 相等吗？为什么？相等吗？为什么？ 点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 PA=PB 到线段两端距离相等的点，在到线段两端距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上。这条线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线性质的逆定理线段垂直平分线性质的逆定理 几何语言： 1. 如图，直线如图，直线MN垂直平垂直平 分线段分线段AB，则，则AE=AF。 2. 如图，线段如图，线段MN被直线被直线 AB垂直平分，则垂直平分，则ME=NE。 3. 如图，如图，PA=PB， 则直线则直线MN是线段是线段AB 的垂直平分线。
4、的垂直平分线。 1. 到线段两端到线段两端 距离相等的点有距离相等的点有 _个。个。 无无 数数 2. 一条线段的一条线段的 垂直平分线有垂直平分线有 _ 条。条。 1 你会用直尺和圆规画已知你会用直尺和圆规画已知 线段的垂直平分线吗？线段的垂直平分线吗？ 思考：为什么你所作直线就是线段思考：为什么你所作直线就是线段 AB的垂直平分线？的垂直平分线？ 沪沪 宁宁 高高 速速 公公 路路 在沪宁高速公路在沪宁高速公路l的同侧，有的同侧，有 两个化工厂两个化工厂A、B，为了便于两厂，为了便于两厂 的货物运输，市政府计划在公路的货物运输，市政府计划在公路 边上修建一处高速入口边上修建一处高速入口P，
5、使得两，使得两 个工厂的工人都没意见，问入口个工厂的工人都没意见，问入口P 应选在何处？应选在何处？ A B 例、如图，在直线例、如图，在直线l 上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB. l A B 实际问题实际问题 数学化数学化 数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务。数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务。 PA=PB p P 例、如图，在直线例、如图，在直线l 上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB. l A B 实际问题实际问题 数学化数学化 数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务。数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务。 变形：把点、改变形
6、：把点、改 为在直线为在直线l的两侧。的两侧。 现有三个村庄甲、乙、丙，现要新建一 个水泵站P，使它到三个村庄的距离相等， 应建在何处？（画出点P的位置） 例例2 2 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, , 边边ABAB、BCBC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.P. 求证：求证：PA=PB=PCPA=PB=PC PA=PB=PC PB=PC 点点P在线段在线段BC的的 垂直平分线上垂直平分线上 PA=PB 点点P在线段在线段AB的的 垂直平分线上垂直平分线上 分析：分析： B A C M N E F P 例例2 2 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, ,边边
7、ABAB、BCBC的垂直平分线的垂直平分线 交于交于P.P.求证：求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC. 证明：证明： 点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上， PA=PB（？）（？）. 同理同理 PB=PC. PA=PB=PC. B A C M N E F P 例例已知已知: :如图如图, ,在等腰三角形在等腰三角形 ABCABC中中, ,腰腰ABAB的垂直平分线的垂直平分线MNMN交腰交腰 ACAC于于D,BC=8D,BC=8厘米厘米, ,BDCBDC的周长为的周长为 2020厘米。求厘米。求:AB:AB的长的长. . A B C D M N 解：解： MNMN是线段
8、是线段ABAB的垂直平行线，的垂直平行线， AD = BD AD = BD （线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等） BDCBDC的周长的周长 = BD + DC + BC= BD + DC + BC = AD + DC + BC 20cm= AD + DC + BC 20cm = AC+ BC = AC+ BC =20cm=20cm BC = 8cm BC = 8cm AC = 12 cm AC = 12 cm AB AB和和ACAC是等腰三角形是等腰三角形ABCABC的腰的腰 AB = AC= 12cmAB = AC= 12cm
9、随堂练习随堂练习 如图，如图， ABCABC中，已知中，已知ACAC， ABAB的垂直平分线的垂直平分线DEDE交交AB,ACAB,AC于于E,DE,D， BCDBCD 周长为，求周长为，求BCBC的长的长 A E B D C 随堂练习随堂练习 变：变： ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的垂直平分线的垂直平分线 DEDE交交AB,ACAB,AC于点于点E,DE,D，若，若 ABCABC和和 BCDBCD的的 周长分别为周长分别为25cm25cm和和5cm5cm， 求求 ABCABC的各边长的各边长 A E B C D 例例如图，如图，D是是BC延长线上的一点，延长线上的一点，
10、BD=BC+AC， 求证：点求证：点C在在AD的垂直平分线上的垂直平分线上 例例在在ABC中，中，ON是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，OA=OC 求证：点求证：点O在在BC 的垂直平分线上的垂直平分线上 想一想：你能得到什么结论想一想：你能得到什么结论？ 结论：结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点 到三角形三个顶点的距离相等。到三角形三个顶点的距离相等。 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。 PA=PB 点点P在线段在线段 AB的垂的垂 直平分线上直平分线上 线段垂直平分线上的点到线段垂
11、直平分线上的点到 这条线段两端的距离相等这条线段两端的距离相等 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的对称轴。线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的对称轴。 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 点点P在线段在线段 AB的垂的垂 直平分线上直平分线上 PA=PB 到线段两端距离相等的点，到线段两端距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。 用直尺和圆规画已知线段的垂直平分线用直尺和圆规画已知线段的垂直平分线 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 通过预习你已经掌握通过预习你已经掌握 了哪些知识？了哪些知识？ 还有哪些疑问还有哪些疑问?
