1、13.5 逆命题与逆定理 第13章 全等三角形 2.线段垂直平分线 1.理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或 计算.(重点) 2.知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 3.了解数学和生活的紧密联系，培养应用数学的能力. 学习目标 高高 速速 公公 路路 A B 在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂 的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两 个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方 案是什么? 生活中的数学生活中的数学 l 导入新课导入新课 问题情境 讲授新课讲授新课 线段垂直平分线的性质定理 一 如图，直线MN
2、是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、 PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明 过程. M N P A C B 对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 下面我们来证明刚才得到的结论： 证明： MN AB（已知）, ACP=BCP=90(垂直的定义). 在ACP和BCP中, ACPBCP(S.A.S.). PA=PB(全等三角形的对应边相等). AC=BC, ACP=BCP, PC=PC, M N P A C B 你能用一句话来描述刚得到的结论吗？ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线
3、的性质定理： 知识归纳知识归纳 M N P A C B 几何语言叙述: 点P在线段AB的垂直平分线上（或PCAB，AC=BC）， PA=PB. 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t t条条 件件 结结 论论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平 分线上 这个点到线段两端的 距离相等 一个点到线段两端的 距离相等 这个点在线段的垂直平 分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定定理 二 逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂 直平分线上. 已知： 如图，Q
4、AQB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上 分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以 先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后 证明QC垂直于线段AB 证明：过点Q作MNAB，垂足为点C， 故QCA=QCB=90. 在RtQCA 和RtQCB中， QA=QB，QC=QC， RtQCARtQCB（H.L.）. AC=BC. 点Q在线段AB的垂直平分线上 已知： 如图，QAQB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 知识要点 线段垂直平分线的判定 应用格式：
5、 PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上 P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后， 你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点 这一点到三角形三个顶点的距离相等 做一做 怎样证明这个结论呢? 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中 两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如 下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n m l是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA
6、=PC 点P在AC的垂直平 分线上 证明：连接PA，PB，PC. 点P在AB，AC的垂直平分线上， PA=PB， PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. PB=PC. 点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上）. B C A P l n m 当堂练习当堂练习 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） AAB垂直平分CD B CD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分 DCD平分 ACB 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样 的点组合共有 种. A 无数 3.下列说法： 若点
7、P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）. 4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则 BCE的周长是 cm. A B C D E 16 课堂小结课堂小结 线段的垂直平分线 的性质和判定 性质 到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段的两个端 点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线 上
