1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第2页页 课前自助餐 授人以渔 02 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第3页页 第3课时 等比数列等比数列 2020考纲下载 1理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用 有关知识解决相应的问题 4了解等比数列与指数函数的关系 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理
2、（新课标 版）版） 第第4页页 请注意 等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及 基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与 等差数列或其它内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、 等价转化的思想、分类讨论的思想等从思维品质上看更讲究 思维的灵活性及深刻性 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第5页页 课课前前自自助助餐餐 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第6页页 1基础知识 (1)等比数列的定义：若数列an满足_， 则称数列an为等比数列 (2)通项公式 an_am_ (3)前 n 项和公式
3、 Sn _，q1， _，q1. (4)M，N 同号时它们的等比中项为_ a1 qn1 qnm na1 当 n2 时 an an1q(q0) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第7页页 2性质 (1)等比数列an中，m，n，p，qN*，若 mnpq，则 aman_ (2)等比数列an中，Sn为其前 n 项和，当 n 为偶数时，S 偶 S奇_ (3)等比数列an中，公比为 q，依次 k 项和为 Sk，S2kSk， S3kS2k(Sk0)成_数列，新公比 q_ ap aq q 等比 qk 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版）
4、第第8页页 3常用技巧 (1)若等比数列an的前n项和SnA qnB，则A，B满足的 关系式为_ (2)三个数成等比数列可设三个数分别为 b q ，b，bq，四个数 成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为 b q3， b q，bq，bq 3. AB0 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第9页页 1(课本习题改编)(1)等比数列x，3x3，6x6，的第四 项等于_ 答案 24 解析 由x，3x3，6x6成等比数列，知(3x3)2x (6x 6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3， 6，12.故第四项为24. 高考一轮总复习高考一轮总复习
5、 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第10页页 (2)若数列an为等差数列，则数列2an为_数列； 若数列an为等比数列，且an0，则数列lgan为_数 列 答案 等比 等差 解析 若数列an为等差数列，设公差为d，则 2an1 2an 2an1an2d，2an为等比数列； 若数列an为等比数列，设公比为q， 则lgan1lganlga n1 an lgq，lgan为等差数列 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第11页页 2(2019 四川资阳一诊)已知各项均为正数的等比数列an 满足 a1a516，a22，则公比 q( ) A4 B.5 2
6、C2 D.1 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第12页页 答案 C 解析 方法一：由题意，得 a1a1q416， a1q2， 解得 a11， q2 或 a11， q2 (舍去)，故选 C. 方法二：a1a5a3216. 由 an0，得 a34，qa3 a22. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第13页页 3(2019 课标全国)记Sn为等比数列an的前n项和若a1 1，S33 4，则 S4_ 答案 5 8 解析 方法一：设等比数列an的公比为q，由a11及S3 3 4 ， 易知q1.把a11代入S3 a1（
7、1q3） 1q 3 4，得1qq 23 4，解得q 1 2，所以S4 a1（1q4） 1q 1 1 1 2 4 1 1 2 5 8. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第14页页 方法二：设等比数列an的公比为q，因为S3a1a2a3 a1(1qq2) 3 4 ，a11，所以1qq2 3 4 ，解得q 1 2 ，所以 a4a1q3 1 2 31 8，所以S4S3a4 3 4 1 8 5 8. 方法三：设等比数列an的公比为q，由题意知q1.设数列 an的前n项和SnA(1qn)(其中A为常数)，则a1S1A(1q) 1 ，S3A(1q3) 3 4 ，则由
8、可得A 2 3 ，q 1 2 . 所以S42 31 1 2 45 8. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第15页页 4(1)已知各项均为正数的等比数列 an中，a1a2a35， a7a8a910，则a4a5a6_ 答案 5 2 解析 (a1a2a3)(a7a8a9)a5650，a4a5a6a535 2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第16页页 (2)若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这 三个数分别是_ 答案 2，2，2 2或 2，2，2 2 解析 设插入的三个数分别为a，b，c，则b214，b
9、2 或b2(舍)，a21b2.a 2，同时c2b48，c 2 2，且a，c同号这三个数为 2，2，2 2或 2，2，2 2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第17页页 5(2017 课标全国，理)我国古代数学名著算法统宗 中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的 顶层共有灯( ) A1盏 B3盏 C5盏 D9盏 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第18页页 答案 B 解析 由题意知
10、，该问题实际上是：已知数列an的公比为 2，S7381，求a1. S7a 1（12 7） 12 127a1381， a13，即塔的顶层有3盏灯 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第19页页 授授 人人 以以 渔渔 题型一 等比数列的基本量 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第20页页 例1 an为等比数列，求下列各值 (1)已知a3a636，a4a718，an1 2，求n； (2)已知a2a836，a3a715，求公比q； (3)已知q 2，S815(1 2)，求a1； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（
11、新课标理（新课标 版）版） 第第21页页 【解析】 (1)方法一： a4a7a3qa6qq（a3a6）18， a3a636， q1 2. 又a3a6a3(1q3)36，a332. ana3qn 332 1 2 n328n1 22 1， 8n1，即n9. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第22页页 方法二：a4a7a1q3(1q3)18且a3a6a1q2(1q3) 36，q1 2，a1128. 又ana1qn 127 1 2 n128n1 22 1， 8n1，即n9. (2)a2a8a3a736且a3a715， a33，a712或a312，a73. q4
12、4或q41 4，q 2或q 2 2 . 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第23页页 (3)S8a 11（ 2） 8 1 2 a 1（15） 1 2 15(1 2)， a1(1 2) (1 2)1. 【答案】 (1)9 (2) 2或 2 2 (3)a11 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第24页页 状元笔记 等比数列基本量的求法 等比数列的通项公式ana1qn 1及前n项和公式S n a1（1qn） 1q a1anq 1q (q1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知 其三就能求其二，体现了方程思想的应用 高
13、考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第25页页 思考题1 (1)在等比数列an中，若a4a26，a5a1 15，则a3_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第26页页 【解析】 设等比数列an的公比为q(q0)，则 a1q3a1q6， a1q4a115，两式相除，得 q 1q2 2 5，即2q 25q20，解得 q2或q1 2. 所以 a11， q2， 或 a 116， q1 2. 故a34或a34. 【答案】 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第27页页 (2)设等比数列a
14、n的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1 1，a34，Sk63，则k_ 【解析】 设等比数列an的公比为q，由已知a11，a34， 得q2 a3 a1 4.又an的各项均为正数，所以q2.而Sk 12k 12 63， 所以2k163，解得k6. 【答案】 6 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第28页页 (3)在等比数列an中，a311 2，S34 1 2，求a1和q. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第29页页 【解析】 当q1时，S3 a1（1q3） 1q 4 1 2 ，又a3 a1q211 2，解得q 1
15、 2(q1舍)，a16. 当q1时，S33a1，a111 2. 综上所述，得 a 16， q1 2 或 a 111 2， q1. 【答案】 a 16， q1 2 或 a 111 2， q1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第30页页 题型二 等比数列的性质 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第31页页 例2 (1)已知等比数列an，a1a2a37，a1a2a38，则an _ 【解析】 a1a2a3a238，a22， a1a35， a1a34. 解得 a11， a34 或 a14， a31. 当a11，a22，a3
16、4时，q2，an2n 1； 当a14，a22，a31时，q1 2，an4 1 2 n123n. 【答案】 2n 1或23n 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第32页页 (2)在等比数列an中，若a34，a91，则a6_， 若a34，a111，则a7_ 【解析】 设数列an的公比为q，则a3，a6，a9组成的新数列 的公比为q3. 若a34，a91，则a624，a6 2，合题意； a3，a7，a11组成的新数列的公比为q4，由a34，a111，得a72 4，当a72时，q4 1 2 ，合题意，当a72时，q4 1 2 ，不合题 意，舍去 【答案】 2 2
17、 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第33页页 (3)已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m _(mN*) 【解析】 an是等比数列，(S2mSm)2Sm(S3m S2m)，即20210 (S3m30)，得S3m70. 【答案】 70 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第34页页 (4)(2019 珠海质量监测)等比数列an共有奇数项，所有奇数 项和S奇255，所有偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1 等于( ) A1 B2 C3 D4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理
18、（新课标 版）版） 第第35页页 【解析】 an192，q S偶 S奇an 126 63 2. 又Sna 1anq 1q S奇S偶， a 1192（2） 1（2） 255(126)， 解得a13，故选C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第36页页 状元笔记 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形， 二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条 件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破 口 (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）
19、版） 第第37页页 思考题2 (1)(2020 衡水中学调研卷)若等比数列an满足a2a4 1 2，则a1a3 2a 5_ 【解析】 等比数列an中，因为a2a4 1 2 ，所以a32a1a5a2a4 1 2，所以a1a3 2a 51 4. 【答案】 1 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第38页页 (2)(2018 课标全国)已知等比数列an的前n项和为Sn，S4 1，S83，则a9a10a11a12( ) A8 B6 C4 D2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第39页页 【解析】 等比数列an的前n项和
20、为Sn，S41，S83， 由等比数列的性质得S4，S8S4，S12S8成等比数列，1，3 12，S12S8a9a10a11a12成等比数列，a9a10a11 a124.故选C. 【答案】 C 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第40页页 (3)在等比数列an中，若a7a8a9a10 15 8 ，a8a9 9 8，则 1 a7 1 a8 1 a9 1 a10_ 【解析】 1 a7 1 a10 a7a10 a7a10 ， 1 a8 1 a9 a8a9 a8a9 ，而a8a9 a7a10， 1 a7 1 a8 1 a9 1 a10 a7a8a9a10 a8a9
21、 15 8 9 8 5 3. 【答案】 5 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第41页页 题型三 等比数列的判定 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第42页页 例3 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an 2(nN*) (1)设bnan12an，求证：bn是等比数列； (2)设cn an 3n1，求证：cn是等比数列 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第43页页 【证明】 an2Sn2Sn14an124an24an1 4an. (1)b n1 bn a n22
22、an1 an12an （4a n14an）2an1 an12an 2a n14an an12an 2， 数列bn是公比为2的等比数列，首项为a22a1. S2a1a24a12，a25，b1a22a13. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第44页页 (2)由(1)知bn3 2n 1a n12an，a n1 2n 1 an 2n 23. 数列 an 2n 2是等差数列，公差为3，首项为2. an 2n 22(n1)33n1. an(3n1) 2n 2.c n2 n2. c n1 cn 2 n1 2n 22.数列cn为等比数列，公比为2. 【答案】 (1)略
23、 (2)略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第45页页 状元笔记 证明数列an是等比数列一般有两种方法 (1)定义法：an1qan(nN*，q是常数)； (2)等比中项法：an12anan2(nN*) 根据已知条件来确定用哪一种方法 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第46页页 思考题3 (2020 浙江温州质量检测)已知数列an的首项 a10，an1 3an 2an1(nN *) (1)若a1 2 3 ，求证 1 an1 是等比数列，并求出an的通项公 式； (2)若an1an对一切nN*都成立，求a1的取值范
24、围 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第47页页 【解析】 (1)证明：设bn 1 an1，则 bn1 bn 1 an11 1 an1 2an1 3an 1 1 an1 2an13an 33an 1an 3（1an） 1 3， 所以 1 an1 是等比数列又因为b1 1 a11 3 21 1 2，所以 1 an1 1 2 1 3 n1，即a n 23n 1 123n 1.所以数列an的通项公式为an 23n 1 123n 1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第48页页 (2)由(1)知 1 an-1= 1 a1
25、1 1 3 n1,即1 an 1 a11 1 3 n11. 由a10，an1 3an 2an1，知an0. 若an1an，则 1 an1 1 an，即 1 a11 1 3 n10，又a10，故0a11. 故a1的取值范围是(0，1) 【答案】 (1)an 23n 1 123n 1 (2)(0，1) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第49页页 1通过例1复习等比数列求基本量的问题 2通过例2复习等比数列的性质 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非 常重要但有时会产生增解 3应用等比数列前n项和公式时，需注意是否对q1和q 1进行讨论 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第50页页 4解答数列综合题，要重视审题、细心联想、沟通联 系如等比数列an中的a3，a9是方程x26x20的两根，求 a6，由根与系数关系可知a3a92，再由等比数列性质知a62 2，a62，若将a3，a9改为a2，a10其它条件不变，则a6只等 于 2，而不等于 2. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第51页页 请做：题组层级快练（三十八） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢
