1、 简单的三角恒等变换同步练习简单的三角恒等变换同步练习 一、选择题 1. 函数() = 3 的一个单调递增区间是( ) A. ,2- B. ,1 2, 3 2- C. , 1 6, 5 6- D. ,5 6, 11 6 - 2. 关于函数() = 3 2cos(cos sin)，有以下 4 个结论： ()的最小正周期是；()的图象关于点( 8 ,0)中心对称； ()的最小值为2 2；()在区间( 6 , 5 12)内单调递增 其中所有正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 3. 已知向量 = (sin, 1 2)与向量 = (3,sin + 3cos)共线， 其中 A 是 的内角， 则
2、角 A的大小为( ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 4. 函数 = 1 2sin2 + sin 2， 的值域是( ) A. , 1 2, 3 2- B. , 2 2 + 1 2, 2 2 + 1 2- C. , 3 2, 1 2- D. , 2 2 1 2, 2 2 1 2- 5. 设 = cos50cos127+ cos40sin127， = 2 2 (sin56 cos56)， = 1;tan239 1:tan239， 则 a，b，c 的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 已知函数() = 2cos2 3sin2，在 中，内角,的对边分别是,， 内角 A满足() =
3、1，若 = 6，则 的面积的最大值为( ) 第 2 页，共 11 页 A. 33 B. 33 2 C. 3 4 D. 23 7. 已知函数() = 3sincos + cos2 ，则 A. ()的图象关于直线 = 6对称 B. ()的最大值为 2 C. ()的最小值为1 D. ()的图象关于点. 12,0/对称 8. 若sin( + 2 3 ) + cos( + 2) = 3 3 ，则cos(2 + 2 3 ) = A. 7 9 B. 1 3 C. 1 3 D. 7 9 9. 已知cos = 1 3， . 3 2 ,2/，则cos 2等于( ) A. 6 3 B. 6 3 C. 3 3 D.
4、3 3 10. 若点(cos 5 6 ,sin 5 6 )在角的终边上，则2 = ( ) A. 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 11. 函数() = 2sin2的最小正周期是 A. 2 B. C. 2 D. 4 12. 已知2 = 1 2，且 (0, 2)，则 = ( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题 13. 函数() = sin2 + sin + 1的最小正周期是_，单调递减区间是_ 在 中， 角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c， 已知 = 2， = 4 ， 且 ， 则 面积的最大值为_ 14. 函数() = sin 2 cos 2 + cos2
5、 2，当 (0, 2)时，()的值域为_ 三、解答题 15. 若函数() = 3sin2 + 2cos2 + 3. ()求 = ()的最小正周期及单调增区间； ()求 = ()在 时的最小值，并求相应的 x 取值集合 16. 已知a， b， c分别是锐角 三个内角A， B， C所对的边， 向量 = (,23)， = (2,)，设() = ()若() = 23，求角 A； ()在()的条件下，若 + = 2 ， = 22，求三角形 ABC的面积 17. 已知三角函数() = 23sin( + 4)cos( + 4) + 2cos 2( 4) 1， ()求函数()的最小正周期； ()求函数()在区
6、间,0, 2-上的最大值和最小值及相应的 x的值 第 4 页，共 11 页 18. 已知函数() = 23cossin + 2cos2 + 2 (1)求函数()的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()在00, 21上的最大值和最小值 答案和解析答案和解析 1.D 解：() = 3 = 2( + 6 )， 结合余弦函数的性质可知， ， 可得， 结合选项可知，D符合题意 2.【答案】B 【解答】 解：() = 3 2cos2 + 2sincos = 3 (1 + cos2) + sin2 = 2sin(2 4) + 2， ， = 2 2 = ，正确； ，( 8) = 2sin,2( 8) 4
7、- + 2 = 2 + 2 0，错误； ，()的最小值为2 2，正确； ，因为2 4 ( 12, 7 12)， = 在( 12, 7 12)上不单调，错误 故选 B 3.【答案】C 【解答】 解： / ， ( + 3) 3 2 = 0， 22 + 23 = 3， 化为1 2 + 32 = 3， sin(2 6) = 1， (0,)， (2 6) ( 6 , 11 6 ) 2 6 = 2， 解得 = 3 故选：C 第 6 页，共 11 页 4.【答案】B 【解答】 解： = 1 2sin2 + sin 2 = 1 2sin2 + 1;cos2 2 = 2 2 ( 2 2 sin2 2 2 cos
8、2) + 1 2 = 2 2 sin(2 4) + 1 2 1 sin(2 4) 1; 2 2 + 1 2 2 2 + 1 2 ; 原函数的值域为, 2 2 + 1 2, 2 2 + 1 2-. 故选 B； 5.【答案】D 【解答】 解： = sin40cos127+ cos40sin127= sin(40+ 127) = sin167= sin13， = 2 2 (sin56 cos56) = 2 2 sin56 2 2 cos56= sin(56 45) = sin11， = cos239sin239 cos239 sin239+cos239 cos239 = cos239 sin239=
9、 cos78= sin12， sin13 sin12 sin11， 故选 D 6.【答案】B 【解答】 解：() = 2cos2 3sin2 = cos2 3sin2 + 1 = 2cos(2 + 3) + 1 则() = 2cos.2 + 3/ + 1 = 1 cos.2 + 3/ = 1， 因为 A为三角形内角， 则 = 3， 又 = 6，2= 2+ 2 2cos = 2+ 2 2 = ， 当且仅当 = 时取等号，即 6， = 1 2sin 1 2 6 3 2 = 33 2 故选 B 7.【答案】A 【解答】 解：由题意 ， 由三角函数的性质，可知：，解得，故()的图 象关于直线 = 6对
10、称，故 A 正确； 该函数()的最大值为3 2，最小值为 1 2，故 B，C错误； ，解得，由三角函数的性质，函数的图象关于点 对称，故 D错误 故选 A 8.【答案】A 【解答】 解： sin( + 2 3 ) + cos( + 2) = 1 2sin + 3 2 cos sin = 3 2 cos 3 2sin = 3cos( + 3) = 3 3 ， cos( + 3) = 1 3， cos(2 + 2 3 ) = 2cos2( + 3) 1 = 7 9 故选 A 9.【答案】B 【解答】 解：已知 = 1 3， ( 3 2 ,2)， 2 (3 4 ,)， 则cos 2 = 1: 2 =
11、 1:1 3 2 = 6 3 ， 故选：B 第 8 页，共 11 页 10.【答案】D 【解析】解：因为点(cos 5 6 ,sin 5 6 )在角的终边上，即点( 3 2 , 1 2)在角的终边上， 则 = = 3 3 ， 可得：2 = 2 1;tan2 = 3 11.【答案】B 【解答】 解：由题意可得：() = 2sin2 = 1 cos2， 所以周期为 = 2 2 = 故选 B 12.【答案】C 【解析】解： 2 = 1 2， 2 = 22， (0, 2)， 0， 可得 = ，即 = 1， = 4 13.【答案】； 【解答】 解： ， = 2 2 = ， 由 2 + 2 2 4 3 2
12、 + 2， ， 解得：3 8 + 7 8 + ， ， 单调递减区间是,3 8 + , 7 8 + -， 故答案为； 14.【答案】；, + 3 8 , + 7 8 -( ) 【解答】 解：化简可得() = sin2 + + 1 = 1 2 (1 2) + 1 2 2 + 1 = 2 2 sin(2) + 3 2， 原函数的最小正周期为 = 2 2 = ， 由2 + 2 2 4 2 + 3 2 可得 + 3 8 + 7 8 ， 函数的单调递减区间为, + 3 8 , + 7 8 -( ) 故答案为；, + 3 8 , + 7 8 -( ) 15.【答案】2 + 1 【解答】 解：根据正弦定理：
13、sin = 4sin = sin = 2 sin， 解得sin2 = 1 2， (0,)， 故sin = 2 2 ， ， 故 = 4， = 22sin， = 1 2 sin = 22sinsin = 22sinsin( 4 + ) = 2sin2 + 2sincos = 1 cos2 + sin2 = 2sin(2 4) + 1， 当 = 3 8 时有最大值为2 + 1 故答案为2 + 1 16.【答案】.1, 2:1 2 1 【解答】 解：， 第 10 页，共 11 页 当 (0, 2 )时， ， ()的值域为.1, 2:1 2 1 故答案为.1, 2:1 2 1 17.【答案】解：()()
14、 = 3sin2 + cos2 + 1 + 3 = 2sin(2 + 6) + 4， 则 = ()的最小正周期 = ， 令， 解得， = ()的单调增区间为； ()由()可知() = 2sin(2 + 6) + 4， = ()在 时的最小值：()min= 2， 此时2 + 6 = 2 + 2,( )， = 3 + ,( )， 所以相应的 x取值集合为*| = 3 + , + 18.【答案】解：()() = 2 + 23sin2 = 2 32 + 3 = 2(2 3) + 3 因为() = 23，即sin(2 3) = 3 2 ，所以 = 3或 = 2 (舍去) ()由()可得 = 3， 因为
15、+ = 2 ，则 + = 2 ， 所以 + = 2 = 1， 又因为 + = 2 3 ， 所以 + cos(2 3 ) = 1 2 + 3 2 = 1 所以sin( + 6) = 1， 因为 B为三角形内角，所以 = = 3 所以三角形 ABC 是等边三角形，由 = 22， 所以面积 = 3 4 (22)2= 23 19.【答案】解：()函数() = 23sin( + 4)cos( + 4) + 2 2( 4) 1 = 3sin(2 + 2) + cos(2 2) = 32 + 2 = 2(2 + 3 )， 故函数()的最小正周期为2 2 = ()对于函数() = 2(2 + 3)，由 ,0, 2 -， 可得2 + 3 , 3 , 4 3 -， 故当2 + 3 = 2，即 = 12时，函数()取得最大值为 2； 当2 + 3 = 4 3 ，即 = 2时，函数()取得最小值为2 ( 3 2 ) = 3 20.【答案】解： ， = 2 2 = ， 令2 + 6 . 2 + 2, 3 2 + 2/ . 6 + , 2 3 + /， 即单减区间为. 6 + , 2 3 + /, ； (2)由 00, 21 = 2 + 6 0 6 , 7 6 1， 当 = 7 6 时，()的最小值为：2； 当 = 2时，()的最大值为：5
