1、教考衔接7空间直角坐标系的构建策略【原卷版】类型1利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系【例1】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，AA14.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA21，BB2DD22，CC23.（1）证明：B2C2A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150时，求B2P.类型2利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.类型3利用面面垂直关系构建空间直角
2、坐标系【例3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角E-BC-D的大小为45，求三棱锥A-BCD的体积.类型4利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BEVC，则DEB的余弦值为.类型5利用底面正三角形构建空间直角坐标系【例5】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2
3、）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.类型6不规则图形的建系【例6】如图，三棱锥A-BCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点.（1）证明：BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角D-AB-F的正弦值.1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC12AD，BADABC90，E是PD的中点.（1）证明：直线CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值.2.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二面角F
4、-DC-B的平面角为60.设M，N分别为AE，BC的中点.（1）证明：FNAD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.教考衔接7空间直角坐标系的构建策略【解析版】 类型1利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系【例1】如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，AA14.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA21，BB2DD22，CC23.（1）证明：B2C2A2D2；（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150时，求B2P.以C为坐标原点，CD，CB，CC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C
5、-xyz.类型2利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PDDC1，M为BC的中点，且PBAM.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.因为PD平面ABCD，所以PDAD，PDDC.在矩形ABCD中，ADDC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系.类型3利用面面垂直关系构建空间直角坐标系【例3】如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角E-BC-D的大小为45，求三棱锥A-BCD的体积.由题意知A
6、O平面BCD，显然AOOB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.类型4利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，若BEVC，则DEB的余弦值为.如图所示，以V在底面ABCD内的投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB.类型5利用底面正三角形构建空间直角坐标系【例5】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2
7、）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB，OC，OO1为基底，建立空间直角坐标系.类型6不规则图形的建系【例6】如图，三棱锥A-BCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，E为BC的中点.（1）证明：BCDA；（2）点F满足EFDA，求二面角D-AB-F的正弦值.由于题目中没有明确给出建系所需的垂直条件，而是给出了其他可证明三线共点且两两垂直的条件，在此情况下就必须先证明再建系.本题在第（1）问证明BCDA时，已证得BC平面ADE，又因DADBDC，设
8、DADBDC2，由ADBADC60，知ABD与ACD为等边三角形，所以ABAC2.又BDCD，所以BC22.因为AB2AC2BC2，所以ABC为直角三角形，且BAC90，所以AE2.因为BDCD，所以DE12BC2.因为AE2DE2AD2，所以AEDE.又AEBC，BC平面BCD，DE平面BCD，BCDEE，所以AE平面BCD，所以可分别以ED，EB，EA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标.1.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC12AD，BADABC90，E是PD的中点.（1）证明：直线CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底
9、面ABCD所成角为45，求二面角M-AB-D的余弦值.解：（1）证明：如图，取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EF12AD.由BADABC90得BCAD，又BC12AD，所以EFBC，所以四边形BCEF是平行四边形，所以CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.（2）由已知得BAAD，以A为坐标原点，分别以AB，AD的方向为x轴、y轴的正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，1， 3），所以PC（1，0，3），AB（1，0，0）.设M（x
10、，y，z）（0x1），则BM（x1，y，z），PM（x，y1，z3）.因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n（0，0，1）是底面ABCD的一个法向量，所以cosBM，nBMnBMnsin 45，即z（x1）2y2z222，整理得（x1）2y2z20，又M在棱PC上，设PMPC，即（x，y1，z3）（1，0，3），则x，y1，z33.由解得x=1+22，y=1，z62（舍去）或x=122，y=1，z62，所以M122，1，62，从而AM122，1，62.设m（x0，y0，z0）是平面ABM的法向量，则mAM=0，mAB=0，即（22）x0+2y06z0=0，x0=0.所以可取m（0，6，2）
11、.于是cosm，nmnm|n105.因此二面角M-AB-D的余弦值为105.2.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，ABDC，DCEF，AB5，DC3，EF1，BADCDE60，二面角F-DC-B的平面角为60.设M，N分别为AE，BC的中点.（1）证明：FNAD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.解：（1）证明：因为ABCD是直角梯形，BAD60，所以ABC90，即ABBC.因为CDEF是直角梯形，CDE60，所以DCF90，即DCFC.如图，在AB边上取AH2，连接DH，易得DHAB，在RtDAH中，因为DAH60，所以AD2AH4，DH23BC.在DC边上取DG2，连接E
12、G，易得GEDC，在RtEGD中，因为EDG60，所以DE2DG4，EG23FC.易知二面角F-DC-B的平面角为FCB60，又FCBC23，故FBC为等边三角形.又N为BC的中点，所以FNBC.因为DCFC，DCBC，FCBCC，所以DC平面BCF.又FN平面BCF，所以DCFN.因为BCFN，BCDCC，故FN平面ABCD，又AD平面ABCD，故FNAD.（2）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，3，0），A（5，3，0），D（3，3，0），E（1，0，3），M3，32，32.设平面ADE的法向量为n（x，y，z），则nAD=0，nDE=0，即n(2,23，0）2x23y=0，n(2，3，3）2x3y+3z=0，取x3，则y1，z3，即n（3，1，3）是平面ADE的一个法向量.设直线BM与平面ADE所成角为，因为BM3,32，32，所以sin cosBM，nBMnBM|n5714.所以直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5714
