1、数学 三角函数的图象与性质(二) 01 学科素养 探究提升 02 高效演练 分层突破 考点一考点一 三角函数的周期性与奇偶性三角函数的周期性与奇偶性(基础型基础型) 复习复习 指导指导 借助正弦、余弦、正切的图象 借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性了解三角函数的奇偶性及周期性 核心素养：核心素养：逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算 (1)函数函数 f(x)2cos2 x 4 1 是是 ( ) A最小正周期为最小正周期为 的奇函数的奇函数 B最小正周期为最小正周期为 的偶函数的偶函数 C最小正周期为最小正周期为 2的奇函数 的奇函数 D最小正周期为最小正周期为 2的偶函数
2、 的偶函数 (2)(2020 湖北宜昌联考湖北宜昌联考)已知函数已知函数 y2sin(x)(0)为偶函数为偶函数，其图象与直线其图象与直线 y 2 的某两个交点的横坐标分别为的某两个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x2x1|的最小值为的最小值为 ，则则 ( ) A2， 2 B1 2， ， 2 C1 2， ， 4 D2， 4 【解析解析】 (1)因为因为 f(x)2cos2 x 4 1 cos 2 x 4 cos 2x 2 sin 2x. 所以所以 T2 2 ，f(x)sin 2x 是奇函数是奇函数 故函数故函数 f(x)是最小正周期为是最小正周期为 的奇函数的奇函数 (2)因为函数因为函数
3、y2sin(x)的最大值为的最大值为 2，且其图象与直线且其图象与直线 y2 的某两个交点的横坐的某两个交点的横坐 标分别为标分别为 x1，x2，|x2x1|的最小值为的最小值为 ，所以函数所以函数 y2sin(x)的最小正周期是的最小正周期是 . 由由2 得得 2. 因为函数因为函数 y2sin(x)为偶函数为偶函数，所以所以 2 k，kZ. 又又 0，所以所以 2， ，故选故选 A 【答案答案】 (1)A (2)A (1)奇偶性的判断方法：奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或或 yAtan x 的形的形 式式，而偶函数一般可化为而偶函数
4、一般可化为 yAcos xb 的形式的形式 (2)周期的计算方法：周期的计算方法：利用函数利用函数 yAsin(x)(0)，yAcos(x)(0)的最小正的最小正 周期为周期为2 ，函数函数 yAtan(x)(0)的最小正周期为的最小正周期为 求解 求解 1下列函数中下列函数中，最小正周期为最小正周期为 的奇函数是的奇函数是 ( ) Aysin 2x 2 Bycos 2x 2 Cysin 2xcos 2x Dysin xcos x 解析：解析：选选 Bysin 2x 2 cos 2x 是偶函数是偶函数，不符合题意；不符合题意；ycos 2x 2 sin 2x 是是 T 的奇函数的奇函数，符合题
5、意；同理符合题意；同理 C，D 均不是奇函数均不是奇函数 2(2020 石家庄市质量检测石家庄市质量检测)设函数设函数 f(x)sin x 4 0，| 2 的最小正周期的最小正周期 为为 ，且且 f(x)f(x)，则则 ( ) Af(x)在在 0， 2 上单调递增上单调递增 Bf(x)在在 2， ， 2 上单调递减上单调递减 Cf(x)在在 0， 2 上单调递减上单调递减 Df(x)在在 2， ， 2 上单调递增上单调递增 解析：解析：选选 Af(x)sin x 4 ，因为因为 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 ，所以所以 2，所以所以 f(x) sin 2x 4 .f(x)f(x)，即即
6、 f(x)为偶函数为偶函数，所所以以 4 k 2(k Z)，所以所以 k 3 4 (kZ)因为因为| 2， ，所以所以 4， ，所以所以 f(x)cos 2x，所以所以 f(x)在在 0， 2 上单调上单调 递增递增，在在 2， ，0 上单调上单调递减递减，故选故选 A 考点二考点二 三角函数的对称性三角函数的对称性(基础型基础型) 复习复习 指导指导 正弦、 正弦、余弦函数图象的对称轴与余弦函数图象的对称轴与 x 轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方 (即波峰和波谷即波峰和波谷)取得取得， 对称中心的横坐标均在三角函数值为对称中心的横坐标均在三角函数值
7、为 0 的地方的地方(即平衡位置即平衡位置)取得取得 函数函数 f(x)Asin(x) A0，0，| 2 的图象关于直线的图象关于直线 x 3对称 对称，它的它的 最小正周期为最小正周期为 ，则函数则函数 f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是 ( ) A 3， ，1 B 12， ，0 C 5 12， ，0 D 12， ，0 【解析解析】 由题意可得由题意可得2 ，所以所以 2， 可得可得 f(x)Asin(2x)， 再由函数图象关于直线再由函数图象关于直线 x 3对称 对称， 故故 f 3 Asin 2 3 A， 故可取故可取 6. 故函数故函数 f(x)Asin 2x 6 ，令令
8、 2x 6 k，kZ， 可得可得 xk 2 12， ，kZ，故函数的对称中心为故函数的对称中心为 k 2 12， ，0 ，kZ. 所以函数所以函数 f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是 12， ，0 . 【答案答案】 B 三角函数图象的对称轴和三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法对称中心的求解思路和方法 (1)思路：思路：函数函数 yAsin(x)图象的对称轴和对称中心可结合图象的对称轴和对称中心可结合 ysin x 图象的对称轴图象的对称轴 和对称和对称中心求解中心求解 (2)方法：方法：利用整体代换的方法求解利用整体代换的方法求解，令令 xk 2 ，kZ，解得解得 x
9、 （2k1）2 2 ，kZ，即对称轴方程；令即对称轴方程；令 xk，kZ，解得解得 xk ，k Z，即对称中心的横坐标即对称中心的横坐标(纵坐标为纵坐标为 0)对于对于 yAcos(x)，yAtan(x)，可可 以利用类似方法求解以利用类似方法求解(注意注意 yAtan(x)的图象无对称轴的图象无对称轴) 1 (2019 高考全国卷高考全国卷)若若x1 4， ， x23 4 是函数是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点两个相邻的极值点， 则则 ( ) A2 B3 2 C1 D1 2 解析：解析： 选选 A 依题意得函数依题意得函数 f(x)的最小正周期的最小正周期 T2 2(3 4 4
10、) ， 解得解得 2， 选选 A 2已知函已知函数数 f(x)|sin x|cos x|，则下列说法错误的是则下列说法错误的是 ( ) Af(x)的图象关的图象关于直线于直线 x 2对称 对称 Bf(x)的周期为的周期为 2 C(，0)是是 f(x)的一个对称中心的一个对称中心 Df(x)在区间在区间 4， ， 2 上单调递减上单调递减 解析：解析：选选 Af(x)|sin x|cos x|sin xcos x|1 2 |sin 2x|， ，则则 f 2 1 2|sin | 0，则则 f(x) 的图象不关于直线的图象不关于直线 x 2对称 对称，故故 A 错误；函数周期错误；函数周期 T1 2
11、 2 2 2， ，故故 B 正确；正确；f() 1 2|sin 2| 0， 则则(， 0)是是 f(x)的一个对称中心的一个对称中心， 故故 C 正确； 当正确； 当 x 4， ， 2 时时， 2x 2， ， ， 此时此时 sin 2x0，且且 sin 2x 为为减函数减函数，故故 D 正确正确 考点三考点三 三角函数的图象与性质的综合问题三角函数的图象与性质的综合问题(综合型综合型) 复习复习 指导指导 此类问题常与三角恒等变换综合考查 此类问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为其思路为：先将三角函数式转化为 y Asin(x)的形式的形式，再求其周期、单调区间、最值等
12、再求其周期、单调区间、最值等 已知函数已知函数 f(x)sin(2x) sin 3 2 x 3cos2x 3. (1)求求 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当当 x 0，7 12 时时，求求 f(x)的最小值和最大值的最小值和最大值 【解】【解】 (1)由题意由题意，得得 f(x)(sin x)(cos x) 3cos2x 3sin xcos x 3cos2x 31 2sin 2x 3 2 (cos 2x1) 31 2sin 2x 3 2 cos 2x 3 2 sin 2x 3 3 2 ， 所以所以 f(x)的最小正周期的最小正周期 T2 2 ；
13、 令令 2x 3 k 2(k Z)，则则 xk 2 5 12(k Z)， 故所求图象的对称轴方程为故所求图象的对称轴方程为 xk 2 5 12(k Z) (2)当当 0 x7 12时 时， 3 2x 3 5 6 ， 由函数图象由函数图象(图略图略)可知可知， 3 2 sin 2x 3 1，即即 0sin(2x 3) 3 2 2 3 2 . 故故 f(x)的最小值为的最小值为 0，最大值为最大值为2 3 2 . 解决三角函数图象与性质综合问题的方法解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将先将 yf(x)化为化为 yasin xbcos x 的形式的形式，然后用辅助角公式化为然后用辅助角公式化为
14、 yAsin(x)的的 形式形式，再借助再借助 yAsin(x)的性质的性质(如周期性、对称性、单调性等如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题解决相关问题 已知函数已知函数 f(x)2sin 2x 4 . (1)求函数的最大值及相应的求函数的最大值及相应的 x 值的集合；值的集合； (2)求函数求函数 f(x)的的图象的对称轴方程与对称中心图象的对称轴方程与对称中心 解：解：(1)当当 sin 2x 4 1 时时，2x 4 2k 2， ，kZ， 即即 xk3 8 ，kZ，此时函数取得最大值为此时函数取得最大值为 2； 故故 f(x)的最大值为的最大值为 2，使函数取得最大值的使函数取得最大值的 x 的集合的集合为为 x x 3 8 k，kZ . (2)由由 2x 4 2 k，kZ， 得得 x3 8 1 2k， ，kZ. 即函数即函数 f(x)的图象的对称轴的图象的对称轴方程为方程为 x3 8 1 2k， ，kZ. 由由 2x 4 k，kZ 得得 x 8 1 2k， ，kZ， 即对称中心为即对称中心为 8 1 2k， ，0 ，kZ. 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
