1、专题专题 4.19导数大题（与三角函数相结合的问题导数大题（与三角函数相结合的问题 1） 1设 * (1) ( )() (1)n ln x f xnN x （1）判断函数( )f x是否不单调，并加以证明； （2）试给出一个正整数a，使得 sin x eax x lnx xx 对(0,)x 恒成立，并说明理由 （参考数据：2.72e ， 2 7.39e ， 3 20.10)e 解： （1）函数( )f x不单调，证明如下： 令1tx，则0t ，则 n lnt y t ，则 1 21 1 1 nn nn tntlnt nlnt t y tt ， 因为*nN，由0y ，解得 1 n te， 当 1
2、 n te时，0y，则y单调递减， 当 1 n te时，0y ，则y单调递增， 所以函数 n lnt y t 在 1 (0,) n e上单调递增，在 1 ( n e，)上单调递减， 所以函数 n lnt y t 不单调， 故函数( )f x不单调； （2）当1a 时，可证明 2 sin x ex lnxx对(0,)x 恒成立， 当01x 时， 2 0 x lnx，sin1x，1 x e ，不等式恒成立，符合题意； 当1x e 时， 22 sin1x lnxxx， 令 2 1 ( ) x x g x e ， 则 2 2(1) ( )0 x xx g x e ，则函数( )g x单调递减， 所以(
3、 )g xg（1） 2 1 e ， 所以 2 1 x ex，故不等式恒成立，符合题意； 当xe时，因为 22 sin1x lnxx x lnx，故只需证 2 1 x ex lnx， 即证明 33 1 x elnx xxx ，只需证 33 1 x elnx xxe ， 在（1）中，令1n ，可得 1lnt xe ，即 33 111lnt teee ， 令 3 ( ) x e h x x ，则 4 (3) ( )0 x ex h x x ，解得3x ， 当3ex时，( )0h x，则( )h x单调递减， 当3x 时，( )0h x，则( )h x单调递增， 所以当3x 时，函数( )h x取得最
4、小值h（3） ，即( )h xh（3） 3 1 272 e ， 又 33 1111 2 lnt teee ， 故原不等式也成立，符合题意； 综上所述，当1a 时，使得 sin x eax x lnx xx 对(0,)x 恒成立 2已知 2 1 ( )sin,0, 22 x f xexkxx x （1）求证：当 2 k 时( )f x在0, 2 x 上单调递增； （2）对于任意0,) 2 x ，证明： 22 2 ( )(1)(2)tan2f xkxxxxx 证明： （1）因为 2 1 ( )sin 2 x f xexkxx， 所以( )sincos1 xx fxexexkx 又0, 2 x ，所
5、以sin0 x ex， 因为 2 k ，设( )cos1 x g xexkx， 则( )cossin xx g xexexk， 而( )2sin0 x gxx e ， 所以( )cossin xx g xexexk在0, 2 x 单调递减， 故 2 ( ),1g xekk ； 当 2 ke 时，此时( )0fx，即( )f x在0, 2 x 上单调递增； 当 2 2 ek 时，存在 0 (0,) 2 x ，使得( )g x在 0 (0,)x上单调递增，在 0 (,) 2 x 上单调减， 又 (0)2 0 ()10 22 g gk ，此时( )0fx，即( )f x在0, 2 x 上单调递增；
6、综上可得，当 2 k ，( )f x在0, 2 x 上单调递增； （2）因为 2 1 ( )sin 2 x f xexkxx， 所以 2 2 ( )2sin2 x f xexkxx， 所以要证 22 2 ( )(1)(2)tan2f xkxxxxx，0,) 2 x ， 即证明 2 1 cos(1)(2) 2 x exxx，0,) 2 x ， 令1 x yex ，则1 x ye ， 当0 x 时，0y，故函数单调递减， 当0 x 时，0y ，故函数单调递增， 所以当0 x 时，y取得最小值 0， 所以10 x ex ，即1 x ex， 又当0, 2 x 时，令sinyxx，则cos1 0yx ，
7、 所以sin0yxx ，即sinx x， 所以 2 22 cos(12sin) (1)(12( ) )(1)(1) 222 xx xxx exexx， 综上所述，任意0,) 2 x ， 22 2 ( )(1)(2)tan2f xkxxxxx 3已知函数( )(sincos ) x f xexx（其中e为自然对数的底数） ，( )fx是函数( )yf x的导函数 （1）求函数( )f x的单调区间； （2）设( )2 ( )( )g xf xfx，如果对于任意的0, 2 x ，( )g xkx恒成立，求实数k的取值范围 解： （1）( )(sincos )(cossin )2cos xxx fx
8、exxexxex, 令( )0fx,即cos0 x ,解得：22() 22 kxkkZ , 令( )0fx,即cos0 x ,解得： 3 22() 22 kxkkZ , 故( )f x在(2 2 k ,2)() 2 kkZ 递增，在(2 2 k , 3 2() 2 kkZ 递减 (2) ( )2 ( )( )2sin x g xf xfxex, 故对于任意的0, 2 x ，( )g xkx恒成立， 等价于2sin x ex kx恒成立， 即(2sin)0 x min exkx,令( )2sin x h xexkx, 则( )2(sincos ) x h xexxk, 由（1）的结论知( )h
9、x在0, 2 上为增函数， ( )(0)2 min h xhk , 2 ( )()2 2 max h xhek , 当20k ,即2k时，( ) 0h x恒成立， 故( )h x在0, 2 上递增，即( )(0)0h xh,符合题意， 当 2 20ek 即 2 2ke 时，( ) 0h x恒成立， 故( )h x在0, 2 递减，即( )(0)0h xh,不合题意， 当 2 22ke 时，存在 0 (0,) 2 x ,使得 0 ()0h x, 当 0 (0,)xx时，( )0h x,( )h x在 0 (0,)x递减， 当 0 (xx,) 2 时，( )0h x,( )h x在 0 (x,)
10、2 递增， 故 0 ()(0)0h xh,不合题意， 综上：实数k的取值范围是(，2 4已知函数 2 ( )() x f xaex aR（其中2.71828e 为自然对数的底数） （1）当1a 时，求证：函数( )f x图象上任意一点处的切线斜率均大于 1 2 ； （2）若 1 ( )(1)cos 2 f xln xx对于任意的0 x，)恒成立，求实数a的取值范围 解： （1）证明：1a 时， 2 ( ) x f xex,( )2 x fxex, 设( )( )2 x g xfxex,则( )2 x g xe,令( )0g x,解得：2xln, 故( )g x在区间(,2)ln递减，在(2,)
11、ln递增， 故( )g x的最小值是 1 (2)222 2 g lnln,即 1 ( ) 2 fx对任意xR恒成立， 故函数( )f x图象上任意一点处的切线斜率均大于 1 2 ； （2）先证对任意(0,)x,(1)ln xx, 2 1 1 2 x exx, 令( )(1)h xln xx, 1 ( )1 11 x h x xx ,令( )0h x,解得：0 x , 故( )h x在区间( 1,0)递增，在(0,)递减， 故( )(0)0h xh,故(1)ln xx, 令 2 1 ( )1 2 x p xexx, 1 ( )2( ) 2 x p xexm x,( )2 x m xe, 令( )
12、0m x,解得：2xln, 故( )m x在区间(,2)ln递减，在区间(2,)ln递增， 故( )(2)0m xm ln,故( )0p x,( )p x递增， 故( )(0)0p xp,故 2 1 1 2 x exx,0 x,), 1 ( )(1)cos 2 f xln xx对于任意0 x,)恒成立， 1 (0)(01)cos01 2 fln,故1a , 当1a 时， 1 ( )(1)cos 2 f xln xx 2 1 (1)cos 2 x aexln xx 2 1 (1)cos 2 x exln xx 22 11 1(1)cos 22 xxxln xx 11 (1)1cos 22 xln
13、 xx 11 1cos1cos0 22 xxxx , 即 1 ( )(1)cos 2 f xln xx对于任意的0 x，)恒成立， 综上：a的取值范围是(1,) 5已知函数 sin ( ),(0,) x f xx x ，将( )f x的极小值点从小到大排列，形成的数列记为 n x， nN，首项记为 0 x （）证明： 3 (2,2), 2 n xnnnN； （）证明：2 n xn是单调递增数列； （）求( )f x的最小值 解： （）证明：令 2 cossin ( )0 xxx fx x ，则cossin0 xxx， 令( )cossing xxxx，在( )sing xxx ， 令( )0g
14、 x，解得222()nxnnN ，令( )0g x，解得22nxn ，nN， ( )g x在2n，2n，nN单调递减，在2n，22n，nN单调递增， 又(2)20gnn，(2)(21)0gnn ，则( )g x在2n，2n，nN上有唯一零 点且为( )f x的极大值点， 又 3 (2)10 2 gn ，则( )g x在2n，22n，nN有唯一零点，且位于区间 3 (2,2), 2 nnnN， 易知该零点为( )f x的极小值点，故 3 (2,2), 2 n xnnnN； （）证明：令 3 2( ,) 2 nn yxn，又()cossin0 nnnn g xxxx，则tan nn xx， 令(
15、)tanF xxx，则()tan2tan(2)2 nnnnn F yyyxnxnn ， 1 ()() nn F yF y ， 又 2 1 ( )10F x cos x ，即( )F x在 3 ( ,) 2 上单调递减， 1nn yy （）由题意知( )f x的极小值中的最小的值即为( )f x的最小值， 又 01 3 2 n yyy， 00 (cos)coscos n minyyx， ( )f x的最小值为 0 cosx 6已知函数 32 17 ( )(4)3 22 x f xxexx ，( )cos x g xaex，其中aR （1）讨论函数( )f x的单调性，并求不等式( )0f x 的
16、解集； （2）若1a ，证明：当0 x 时，( )2g x ； （3）用max m，n表示m，n中的最大值，设函数( ) ( )h xmax f x，( )g x，若( ) 0h x 在(0,) 上恒成立，求实数a的取值范围 解： （1） 33 ( )(3)3(3)(1) xx fxxexxe ， （1 分） 当3x 时，30 x ， 3 10 x e ，( )0fx ， 当3x 时，30 x ， 3 10 x e ，( )0fx ， 当3x 时，( )0fx， （2 分） 所以当xR时，( ) 0fx，即( )f x在R上是增函数； （3 分） 又f（3）0，所以( )0f x 的解集为(3
17、,) （4 分） （2）( )sin x g xex （5 分） 由0 x ，得1 x e ，sin 1x ，1， （6 分） 则( )sin0 x g xex，即( )g x在(0,)上为增函数 （7 分） 故( )(0)2g xg，即( )2g x （8 分） （3）由（1）知， 当3x时，( ) 0f x 恒成立，故( ) 0h x 恒成立； 当3x 时，( )0f x ，因为( ) ( )h xmax f x，( )g x，要使得( ) 0h x 恒成立， 只要( ) 0g x 在(0,3)上恒成立即可 （9 分） 由( )cos0 x g xaex，得 cos x x a e 设函数
18、 cos ( ) x x r x e ，0 x，3， 则 sincos ( ) x xx r x e （10 分） 令( )0r x，得 3 4 x 随着x变化，( )r x与( )r x的变化情况如下表所示： x 3 (0,) 4 3 4 3 (,3) 4 ( )r x 0 ( )r x 单调递增极大值单调递减 所以( )r x在 3 (0,) 4 上单调递增，在 3 ( 4 ，3)上单调递减 （11 分） ( )r x在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大值 3 4 32 () 42 re ，故 3 4 2 2 ae 综上所述，所求实数a的取值范围为 3 4 2 2 e ，) （12 分）
