1、期末复习（二）期末复习（二）不等式、基本不等式、一元二次不等式不等式、基本不等式、一元二次不等式 一单选题 1已知a、bR，且ab，则下列不等式恒成立的是() A 11 ab BlnalnbC 22 abD22 ab 2若0 x ，0y ，且满足 91 2 11xy ，则xy的最小值是() A6B7C8D9 3 关于x的不等式 2 0axbxc的解集为 | 12xx ， 则关于x的不等式 2 0bxaxc 的解集为() A | 21xx B | 12xx C |2x x 或1x D |1x x 或2x 4已知正数x，y满足 1 1x y ，则 1 4y x 的最小值为() A9B10C6D8
2、5下列说法不正确的是() A 1 (0)xx x 的最小值是 2 B 2 2 5 4 x x 的最小值是 2 C 2 2 2 2 x x 的最小值是2 D若0 x ，则 4 23x x 的最大值是24 3 6已知( )f x是二次函数，不等式( )0f x 的解集是(，1)(2，)，则(2 )0 x f的 解集是() A(0,2)B(1,2)C(0,1)D(2,4) 7函数 2 ( )f xxbxc，满足(0)3f，且对任意实数x都有(1)(1)fxfx，则() x f b 与()(0) x f cx 的大小关系为() A()() xx f bf c B0 x 时，()() xx f bf c
3、；0 x 时，()() xx f bf c C()() xx f bf c D0 x 时，()() xx f bf c；0 x 时，()() xx f bf c 8已知正实数x，y满足等式8xyxy，若对任意满足条件的x，y，不等式 2 ()()1 0 xya xy 恒成立，则实数a的取值范围是() A 65 (, 8 B(，8C 65 (, 4 D(，16 二多选题 9若 11 0 ab ，则下列不等式中正确的是() AababB2 ba ab C 2 abbD 22 ab 10设1a ，1b 且()1abab，那么() Aab有最小值22 2Bab有最大值22 2 Cab有最小值32 2D
4、ab有最大值12 11 已知一元二次方程 2 1 (1)0() 2 xmxmZ有两个实数根 1 x， 2 x， 且 12 013xx ， 则m的值为() A2B3C4D5 12下列有关说法正确的是() A当0 x 时， 1 2lgx lgx B当0 x 时， 1 2x x C当(0,) 2 时， 2 sin sin 的最小值为2 2 D当0a ，0b 时， 11 ()() 4ab ab 恒成立 三填空题 13已知x，yR， 22 91xxyy，则3xy的最大值为 14若0a ，0b ，()lgalgblg ab，则 14 11 b ab 的最小值为 15已知1x ，求 4 1 x x 的最小值
5、是 16设正实数x，y，z满足 22 240 xxyyz，则 xy z 当取得最大值时， 211 xyz 的最 大值为 四解答题 17已知函数 2 ( )3f xxax （1）若不等式( )4f x 的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若不等式( ) 26f xax 对任意1x，3恒成立，求实数a的取值范围 18设函数 2 ( )(2)3(0)f xaxbxa （1）若不等式( )0f x 的解集为( 1,3)，求a，b的值； （2）若当f（1）2，且0a ，1b ，求 41ab aba 的最小值 19 已知函数 2 ( )442f xxmxm的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为 1
6、x， 2 x （1）求m的取值范围； （2）求 22 12 xx的取值范围； （3）若函数 2 ( )442f xxmxm在(，1上是减函数、且对任意的 1 x， 2 2x ， 1m总有 12 |()()|64f xf x成立，求实数m的范围 20对于函数( )f x，若存在 0 xR，使得 00 ()f xx成立，则称 0 x为函数( )f x的不动点已 知二次函数 2 ( )4f xaxbx有两个不动点1和 4 （1）求( )f x的表达式； （2）求函数( )f x在区间t，1t 上的最小值( )g t的表达式 （3）在（2）的条件下，求不等式 1 (2)( )0 2 gxg x的解 期
7、末复习期末复习（二二）不等式不等式、基本不等式基本不等式、一元二次不等式答案一元二次不等式答案 1解：当1a ，1b 时显然ab，但A不成立， 当0ab时B显然不成立， 当1a ，1b 时，C显然不成立， 由于2xy 单调递增，由ab可得22 ab ，D成立故选：D 2解： 911 (1)(1)2(1)(1)()2 112 xyxyxy xy 9(1)111 (10)2 (102 9)26 1122 yx xy 当且仅当 9(1)1 11 yx xy ，即5x ，1y 时取“” ， 故xy的最小值是 6，故选：A 3解：因为不等式 2 0axbxc的解集为 | 12xx ， 所以0a ，1,2
8、 bc aa ，故ba ，2ca ， 所以 2 0bxaxc可化为 2 20axaxa， 即 2 20 xx，分解因式得(1)(2)0 xx，解得2x 或1x ， 所以不等式的解集为 |1x x 或2x ，故选：D 4解：正数x，y满足 1 1x y ， 11111 4(4 )()144 2459yy xxyxy xxyxyxy ， 当且仅当 1 4xy xy 时“”成立，故选：A 5解：对于A，0 x ， 11 22xx xx ，当且仅当1x 时取等号，故A正确； 对于B， 22 2 222 5411 42 444 xx x xxx ， 当且仅当 2 41x 时取等号， 显然x的 值不存在，
9、故B错误； 对于C， 2 2 2 2 22 2 x x x ，当且仅当0 x 时取等号，故C正确； 对于D，0 x ， 44 2322 324 3xx xx ，当且仅当 2 3 3 x 时取等号，故D正 确， 故选：B 6解：由题设可得：不等式( )0f x 的解集为(1,2)， 不等式(2 )0 x f可化为122 x ，解得：01x，故选：C 7解：由(0)3f代入函数 2 ( )f xxbxc能得出3c 由(1)(1)fxfx能得出函数对称轴为1x ，即12 2 b b 2 ( )23f xxx 2 xx b ，3 xx c ，当x一样时，0 xx bc， 对称轴为1x ，不能直接判断(
10、) x f b与()(0) x f cx 的大小关系，故A，C错 当0 x 时，1 xx bc，在对称轴右侧，函数单调递增，()() xx f bf c 当0 x 时，1 xx bc，在对称轴左侧侧，函数单调递减，()() xx f bf c 故选：D 8解：正实数x，y满足等式8xyxy， 2 () 8 4 xy xy ， (8)(4) 0 xyxy， 4 0 xy，8 0 xy ，8xy （当且仅当4xy时，取等号） ， 对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式 2 ()()1 0 xya xy ， 1 ()axy xy 对任意满足条件的正实数x，y恒成立， 令(8)txy t，则 1 (
11、 )f tt t 在(8,)上为单调增函数， 1165 ( )8 88 f tt t （当且仅当8t ，即4xy时，取等号） ， 65 8 a ，实数a的取值范围是(， 65 8 故选：A 9解： 11 0 ab ，0ba， 0ab，0ab ，abab，即选项A正确； 0ba， 2 abb， 22 ab，即选项C和D错误； 由于0 b a ，0 a b ，且ab， 22 bab a aba b ，即选项B正确 故选：AB 10解：1a ，1b ， 2 1() () 2 ab abab （当且仅当1ab时，取等号） ， 即 2 ()4()4 0abab 且2ab， 22 2ab ， ab有最小值
12、22 2，即选项A正确，B错误； 由()1abab，得12ababab （当且仅当1ab时，取等号） ， 即21 0abab 且1ab ， 32 2ab， ab有最小值32 2，即选项C正确，D错误 故选：AC 11 解：一元二次方程 2 1 (1)0() 2 xmxmZ有两个实数根 1 x，2x， 且 12 013xx ， 设 2 1 ( )(1) 2 f xxmx，则 1 (0)0 2 5 (1)0 2 25 (3)30 2 f fm fm ，求得 255 62 m 结合mZ，可得3m ，4，故选：BC 12解：当1x 时，A显然不成立， 当0 x 时，由基本不等式可得， 1 2x x ，
13、B成立， 由(0,) 2 可得0sin1，而 2 sin2 sin ，没有最小值，C不成立， 当0a ，0b 时， 1111 ()()224 bab a ababab ababababa b ， 当且仅当 1 ab ab 且 ab ba 即1ab时取等号，D成立 故选：BD 13解： 22 91xxyy， 2222 91296xyxyxyxy ，即 1 5 xy， 当且仅当3xy，即 3 15 11 x ， 15 15 y 时，等号成立， 222 112 (3 )691717 55 xyxxyyxy ， 2 152 15 3 55 xy， 3xy的最大值为 2 15 5 故答案为： 2 15
14、5 14解：因为0a ，0b ，()lgalgblg ab， 所以()()lg ablg ab即abab， 所以0 1 b a b ，故1b ， 同理1a ，所以(1)(1)1ab， 则 141444144 4 248 111111(1)(1) bb abababab ， 当且仅当 14 11ab 且(1)(1)1ab即 3 2 a ，3b 时取等号， 故答案为：8 15解：由于1x ，所以10 x ， 所以 444 (1)1 2 (1)15 111 xxx xxx ，当且仅当3x 时，等号成立 故答案为：5 16解：因为 22 240 xxyyz，所以 22 24 1 xxyy zzz ，
15、且 2222 444 2 xyxyxy zzzzz ，则 42 1 xyxy zz ，即 1 2 xy z ， 当且仅当 22 4xy zz ，即2xy， 2 4zy时，等号成立， 则 2 2 211211 1 (4)4 44xyzyyy ， 当且仅当 1 4 y ， 1 2 x ， 1 4 z 时，取得最大值：4 故答案为 4 17解： （1）由不等式( )4f x 的解集为R， 2 34xax 解集为R， 即 2 10 xax 解集为R， 可得0，即 2 40a ， 解得22a ， 故a的取值范围是( 2,2) （2）由不等式( ) 26f xax 对任意1x，3恒成立， ( ) 26f
16、xax，即 2 3 26xaxax对任意1x，3恒成立， 即 2 3 0 xax 对任意1x，3恒成立， 3 ()minax x ，1x，3； 33 22 3xx xx ； 当且仅当 3 x x ，即3x 时取等号 2 3a 故a的取值范围是(，2 3 18 解：（1） 由不等式( )0f x 的解集为( 1,3)可得： 2 (2)3axbx的两根为1， 3 且0a ， 由根与系数的关系可得： 2 13 3 1 3 b a a 可得1a ，4b ， （2）若f（1）232ab， 则1ab，0a ，10b ， 1 (1)1 2 ab， 41141141149 (1)()5 121212 abba
17、 ab abaababab ， 当且仅 2 3 a ， 1 3 b 时式中等号成立， 41ab aba 的最小值为 9 2 19解： （1）根据题意，可得 2 1616(2)0mm， 解得：1m 或2m ； （2）由题意， 2 ( )4420f xxmxm的两个根为 1 x， 2 x， 12 xxm， 12 2 4 m x x ， 22222 121212 2117 ()2() 2416 m xxxxx xmm 1m 或2m ， 令 2 117 ( )() 416 h mm，故( )h m在(, 1) 递减，在(2,)递增， 故( ) ( 1) min h mmin h或h（2），由 1517
18、 ( 1)2 4444 ， 故 7 ( )( 1) 16 min h mh； 22 12 7 16 xx； （3）若( )f x在(，1上是减函数， 则对称轴1 2 m x ，故2m， 由110 22 mm m ，故21 2 m m ， 故( )f x在 2，) 2 m 递减，在( 2 m ，1m递增， 故 2 ( )()2 2 min m f xfmm ， 而( 2)918fm，(1)56f mm， 故( 2)(1)ff m，故( )( 2)918 max f xfm， 若对任意的 1 x， 2 2x ，1m，总有 12 |()()|64f xf x成立， 故只需( )( )64 maxmi
19、n f xf x即可， 即 2 918(2) 64mmm ，即 2 848 0mm，解得：124m， 由（1）( )0f x 有 2 个根，2m ， 综合得：24m 20解： （1）由题意可得 2 ( )4f xaxbxx有两个根1和 4 即 2 (1)40axbx的根为1，4， 所以 1 14 4 1 4 b a a ， 解得，1a ，2b ， 所以 2 ( )24f xxx； （2） 2 ( )24f xxx的对称轴1x ，开口向上， 当1 1t 即0t时，函数在t，1t 上单调递减， 2 ( )(1)5g tf tt， 当1t时，函数在t，1t 上单调递增， 2 ( )( )24g tf ttt， 当01t 时，函数在t，1t 上先减后增，( )g tf（1）5 ， 故 2 2 5,0 ( )5,01 24,1 tt g tt ttt （3）由（2）知( )g t的图象如图所示，函数的图象关于 1 2 x 对称， 由 1 (2)( )0 2 gxg x可得 1 (2)( ) 2 gxg x， 故 111 |2| | 222 xx，即 1 |2 | | 2 xx， 解可得， 12 212 2 66 x
