1、 小结与复习第14章 勾股定理要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c2a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、b(且ab)，那么，当第三边c是斜边时，c_；当a是斜边时，第三边c_.1勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .平方 注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边要点梳理要点梳理222222,cabacbbcaa2b2c222ab22ab 如图，以a、b 为直角边(ba)，以c为斜边作四个全等
2、的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，它是一个边长为c的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH是一个边长为 的正方形，它的面积等于 .12ab2勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：ba c2(ba)2四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，4 ab(ba)2c2，a2b2c2.123勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)
3、算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理平方和直角直角垂直 注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2b2c2之类的错误c24勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个 数，称为勾股数，即满足a2b2c2的三个 数a、b、c，称为勾股数注意 勾股数都是正整数5勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平
4、方关系问题；正整正整直角5勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；(3)在 上作表示 等数的点的问题；(4)解决实际问题一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理直角 数轴 235、 、例1 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解考点讲练考点讲练解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定
5、理，得又SABC bBD ac，2222437,cba673 7.84acBDb1212考点一 勾股定理 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰方法总结1已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A.25 B.14 C.7 D.7或25针对训练D例2 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形【解析】要证C90，只要证ABC是直角三角形，并且c边最大根据勾股定
6、理的逆定理只要证明a2b2c2即可考点二 勾股定理的逆定理与勾股数解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2 n42n21，从而a2b2c2，故可以判定ABC是 直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形方法总结3.下列各组数中，是勾股数的为（）A1，2，3B4，5，6C3，4，5D7，8，92.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_针对训练 (2
7、)(4) C考点三 勾股定理的应用例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图143所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？【解析】蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下： 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平” 把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间线段最短”求解 要注意的是需要认真审题，
8、确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况方法总结针对训练4.如图，已知长方体的长宽高分别为4、2、1，一只蚂蚁沿长 方体的表面，从点A爬到点B，最短路程为（）DA. B. C. D.5293721 例4 已如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（） 【解析】由题意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，在直角ABC中，AC为直角边，AC= =24米，已知AD=4米，则CD=24-4=20（米），在直角CDE中，CE为直角边，CE= =15（米），BE=15-7=8（米）故选CA4米 B6米 C8米D10米22ABB
9、C22DECDC针对训练5.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？在RtABO中，由题意知OA2米，DCOB1.4米，所以AB2221.422.04.因为42.61.4，1.421.96，2.041.96，所以卡车可以通过答：卡车可以通过，但要小心解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与
10、点A重合，折痕是DE，求CD的长 【解析】 欲求的线段CD在RtACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解考点四 本章数学思想和解题方法u方程思想解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形 在RtACD中，AC2CD2AD2， 设CDx cm，则ADBD(8x)cm， 代入式，得62x2(8x)2， 化简，得366416x， 所以x 1.75， 即CD的长为1.75 cm.74方法总结 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解针对训练6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=
11、12， BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A 处，则AE的长为 .103例6 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求四边形ABCD的面积；（2）求ABC的度数【解析】（1）先求出正方形EFGH的面积，再分别求出四个小三角形的面积，进而可得出四边形ABCD的面积；（2）先根据勾股定理求出AB、BC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，进而可得出ABC的度数u数形结合思想解：（1）每个小方格都是边长为1的正方形，SEFGH=55=25，S四边形ABCD=SEFGH-SADE-SAFB-SBCG-SCDH=25- 23- 24- 12- 33=
12、25-3-4-1-=12.5；1212121292（2）在RtABF中，AB2=AF2+BF2=22+42=20，在RtBGC中，BC2=BG2+CG2=12+22=5，AB2+BC2=20+5=25.又AC2=52，AB2+BC2=AC2.ABC是直角三角形，B=90 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想.勾股定理是由图形的特征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关系（三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2）;勾股定理的逆定理由数量之间的关系（a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形）.只有把数和形有机地结合起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其
13、逆定理解决问题.对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算.方法总结解：（1）S四边形ABCD=66- 26 24 12 2512=18； (2)AB2=22+4220，BC2=12+225，AC2=32+4225，AB2+BC2=AC2， ABC=90针对训练7.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C，D都在格 点上（要求：写出必要的过程） （1）求四边形ABCD的面积； （2）求ABC的度数12121212u转化思想例7 如图，已知在RtABC中，ACB=90，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1
14、、S2，则S1+S2等于 2【解析】S1= = AC2，S2= = BC2S1+S2= （AC2+BC2）= AB2=21222AC181222BC181818 利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决.方法总结针对训练8.如图，已知在RtABC中，BCA=90，AB=10，分别以AC、 BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2= 12.5勾股定理及逆定理勾股定理的应用勾股定理利用勾股定理和逆定理解决实际问题勾股数确定几何体上的最短距离a2b2c2勾股定理的验证课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业
