1、第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力中学生标准学术能力诊断诊断性性测试测试 2022 年年 3 月月测试测试 理科理科数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟。 一、一、选择题选择题：本题共：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的 1 设集合()()110Axxx=+，0By y=，则()BA=RA B)0,1C( 1,0)D(1,02 已知双曲线12222=bxay的一条渐近线过点(2
2、,1)，则此双曲线的离心率为 A3 B23C5D253 若复数z满足()1i2i1z+=（i为虚数单位） ，则下列说法正确的是 Az的虚部为3i2B102z =C3zz+= Dz在复平面内对应的点在第二象限 4 设0,0ba，则“49+ ba”是“94ab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 已知函数( )xf的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A( )2ln(1cos)fxx=+B( )2ln(1cos)fxxx=C( )2ln(1sin)fxx=+D( )2ln(1sin)fxxx=6 为了得到函数sin(2)3yx=+的图象，可以将函数co
3、s 24yx=+的图象 A向左平移524个单位 B向右平移524个单位 C向左平移2个单位 D向右平移2个单位 7 已知61(0)axax+的展开式中含2x的系数为 60，则61axx的展开式中的常数项为 A160 B160C80D808 如图所示， 已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中不可能成立的是 AABCD BADBC CABBD DCDBC 9 已知随机变量的分布列如下表所示，且满足( )0=E，则下列方差值中最大的是 10 2 Pa21bA( )D B()D C(21)D+D(32)D1
4、0 已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为33， 过左焦点F作一条斜率为(0)k k 的直线， 与椭圆交于BA,两点，满足FBAF2=，则实数k的值为A1 B2C3D211对任意的(12,1,2xx ，当12xx时，1212ln02xaxxx+恒成立，则实数a的取值范围是 A(2)+ ，B)2,+C(4)+ ，D)4,+12设数列na的前n项和为nS，满足()212nnnaSna+= N，则下列说法正确的是 （第 5 题图） （第 8 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 A202120221aa B202120221aa C202222022a D2022
5、22022a 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13在长方体1111DCBAABCD 中，已知2=AB，tBC =，若在线段AB上存在点 E，使得EDEC 1，则实数t的取值范围是 14 平面向量,a b满足：1,23aaba b=+= ， 设向量,a b的夹角为， 则sin的最大值为 15已知实数ba,满足baba44221+=+，则bat22 +=的取值范围是 16电影院一排有八个座位，甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影，他们要求坐在同一排，问恰有两个连续的空座位的情况有 种 三三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题
6、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为题为必考题，每个试题考生都必须作答第必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，若2=b，且42coscaC= （1）求角B的大小； （2）若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围 18 （12 分）已知数列na满足11=a，且123()naaaan n= N （1）求数列na的通项公式； （2）设() ()()(
7、)11,22,1nnnnannnbnan+=，且数列nb的前n项和为nS，若()23+nSn恒 成立，求的取值范围 19 （12 分）如图所示，在四棱锥ABCDP 中，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，120 ,1,ABCPBPBAB= （1）求证：平面PBD平面PAC； （2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小 20 （12 分）已知实数yx,满足()222ee2xyxy+= （1）若0=x时，试问上述关于y的方程有几个实根？ （2）证明：使方程()222ee2xyxy+=有解的必要条件为：20 x 21 （12 分）如图所示，已知抛物线2:2Eypx=，其
8、焦点与准线的距离为 6，过点()0 , 4M作直线21,ll与 E 相交，其中1l与E交于BA,两点，2l与E 交于DC,两点，直线 AD 过 E 的焦点F，若 AD，BC 的斜率为1k，2k （1）求抛物线E的方程； （2）问21kk是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号分作答时请写清题号 22 （10 分）选修：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等
9、的长度单位，已知 直 线l的 参 数 方 程 为cos(0)2sin2xttyt=+为参数， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为sin8cos2= （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于BA,两点，当变化时，求AB的最小值 23 （10 分）选修：不等式选讲 设函数( )22+=xxxf （1）若( )3442+xxxf，求x的取值范围； （2）若2 ax，求证：( )( )aafxf46 + （第 21 题图） （第 19 题图） 第1页 共6页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年年 3 月测试月测试 理科理科数学参考答案数学参考答案
10、 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B A D B A B D B D A 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13(1 , 0 1413133 15+21031， 16720 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明
11、过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） （1）解：由余弦定理可得：4244cos22caacaC=+=，.2 分 整理得acca+=224， 解得2124cos22=+=accaB， .4 分 ()0,B ，故3B=.5 分 （2）由（1）可知：24sin332bB=， 所以有：CcAasin34,sin34= 故161621631sinsinsinsinsincossin333322acACAAA
12、AA= =+ ()288311843 sincossinsin 2cos2sin 233222363AAAAAA=+=+=+.8 分 第2页 共6页 ABC是锐角三角形，022032ACA=，可得：,62A ，9 分 52,666A， 所以1sin2,162A， 故4,38ac.11 分 故ABC的面积13sin234Sacac=，则23,33S.12 分 18 （12 分） （1）解：123()naaaan n= N 当2n时，有：11221= naaaann，2 分 两式作商，可得：当2n时，1=nnan，.3 分 又由11=a，得()=1, 12,1nnnnan.4 分 （2）当2n时，
13、() ()nnnnnnnnnb212111+=+=， 当1=n时，111221 = ab，所以对任意的n N，均有nnnb21+=，5 分 nnnS21232221+ +=，1322123222+ +=nnnS， 利用错位相减法:：n-123n11111421111111122222212nnnSnn+=+=+ =1212123+nnn，求得nnnnS212131+=， 8 分 由()23+nSn得()nnn223+，9 分 令( )()nnnng223+=， 第3页 共6页 则()( )()()14132322nnng nnng nn+=+()()()224123nnn+=+，11 分 因为
14、( )0ng，所以有：()( )ngng+1，即随着n增大，( )ng减小，( )( )max213g ng=.12 分 19 （12 分） （1）证明：平面PAB平面ABCD，面PAB面ABABCD =，且ABPB ， PB平面ABCD，2 分 AC面ABCD，PBAC ， 由菱形性质知BDAC ，BBDPB=， AC平面PBD，4 分 又AC平面PAC，平面PBD平面PAC 5 分 （2）如图，设CD的中点为E，121=CDCE，60BCE=，2BC =，CEBE ， ABBE ，平面PAB平面ABCD，面PAB面ABABCD =，且ABBE ， BE面PAB，.7 分 以点B为原点，以直
15、线 BA、BP、BE 为xyz、 、轴，如图所示建立空间直角坐标系， 可得()0,0,0B，()2,0,0A，()0,1,0P，()1,0,3C ，()1,0,3D 设平面PAD的一个法向量为(), ,mx y z=，而()()1,0,3 ,2,1,0ADAP= = ， 由00m ADm AP=，得=+=+0203yxzx，取3=x， 得()3,23,1m =，.9 分 设平面PBC的一个法向量为(), ,na b c=，且()0,1,0BP =，()1,0,3BC = ， 由00n BPn BC=，得=+=030cab，取3=a，得()3,0,1n =， .11 分 设平面PAD与平面PBC
16、所成锐二面角为，则 第4页 共6页 311coscos,231212m nm nmn+=+ ，所以60=， 故平面PAD与平面PBC所成锐二面角为60.12 分 注：其他解法酌情给分 20 （12 分） （1）解：将0=x代入得：()221e2yy+=， 不妨记( )2221eyfyyy=+，( )2222eyfyy=+，.2 分 易知( )fy在R上递增，且( )00f=， 可得：当0y 时，( )0fy ；当0y 时，( )0fy ， 即：( )fy在(),0单调递减，()0,+单调递增；.4 分 由于( )( )00fyf=， 故0=x时关于y的方程有唯一的根 .5 分 （2）先证e1x
17、x+，令( )()e1xg xx=+，则( )e1xgx =， 当0 x 时，( )0gx ，( )g x单调递减；0 x 时，( )0gx ，( )g x单调递增； ( )( )00g xg=， 所以有e1xx+恒成立， .8分 由()()()22e2 e1e10 xxxyyy+=， 可得：()()2e2 e1xxyy10 分 所以有：()()()2222222ee2 e1122e2 1xyxxxyxyyxxx=+ + +=+， 所以220 xx+，即20 x.12 分 21 （12 分） （1）解：抛物线E：pxy22=，焦点0 ,2pF，准线：2px=， 焦点与准线的距离为6=p， 则抛
18、物线E的方程为：xy122=.3 分 （2）设()1216 ,3ttA，()2226 ,3ttB，()3236 ,3ttC，()4246 ,3ttD， 41242141123366ttttttk+=，同理3222ttk+=， 第5页 共6页 413232412122ttttttttkk+=+= .5 分 ()211142:63ADlytxttt=+， .6 分 将()0 , 3F代入可得：141=tt.7 分 ()21211326:txtttylAB+=，将()0 , 4M代入可得：3421=tt 同理：3443=tt，.8 分 由可知：3434,34,11431214ttttttt= 10
19、分 代入：341134134341111111121=+=ttttttttkk 21kk为定值，值为34.12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号答时请写清题号 22 （10 分） （1）解：由sin8cos2=,得()sin8cos2=， 所以曲线C的直角坐标方程为yx82= 3 分 （2）将直线l的参数方程代入yx82=，得()()2sin8cos2+=tt， 化简得：016sin8cos22=tt，0恒成立5 分 设BA,两点对应的
20、参数分别为21,tt， 第6页 共6页 则=+221221cos16cossin8tttt，7 分 所以()22222122121cos8cos64cossin84=+=+=ttttttAB9 分 当0=时，AB的最小值为 8 10 分 23 （10 分） （1）解：函数( )22+=xxxf，代入( )3442+xxxf，可得：363+x， 2 分 所以363+x，或363+x， 可知x的取值范围是1, 3xxx或 4 分 （2）因为2 ax，所以( )( )()2222fxfaxxaa=+ ()22xaxa=()()1xaxa=+ 6 分 1xaxa=+21xa+()()221xaa=+ 8 分 ()221xaa+42 21a+()42 21a+64 a=+10 分
