1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (五十八 ) 1 双曲线 x236 m2y2m2 1(00)的离心率为 2， 则 a ( ) A 2 B. 62 C. 52 D 1 答案 D 解析 因为双曲线的方程为 x2a2y23 1， 所以 e2 1 3a2 4， 因此 a2 1， a 1.选 D. 4 (2017 北京西城期末 )mn0 和 m0， n0 时 ， 方程 x2my2n 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线； 当 m0， n0， n0， b0)上一点 ， F1， F2 分别是双曲线的左、右焦点 ， 已知 PF1 PF2， 且 |PF1| 2|PF2|， 则双曲线的一条渐近线方程是 (
2、 ) A y 2x B y 3x C y 2x D y 4x 答案 C 解析 由双曲线的定义可得 |PF1| |PF2| 2a， 又 |PF1| 2|PF2|， 得 |PF2| 2a， |PF1| 4a.在 Rt PF1F2 中 ， |F1F2|2 |PF1|2 |PF2|2， 4c2 16a2 4a2， 即 c2 5a2， 则 b2 4a2， 即 b 2a， 则双曲线 x2a2y2b2 1 的一条渐近线方程为 y 2x.故选 C. 7 (2018 安徽屯溪一中模拟 )已知双曲线的离心率为 72 ， 且其顶点到其渐近线的距离为2 217 ， 则双曲线的方程为 ( ) A.x23y24 1 B.
3、x24y23 1 C.x23y24 1 或y23x24 1 D.x24y23 1 或y24x23 1 答案 D 解析 当焦点在 x 轴上时 ， 设双曲线方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)双曲线的离心率为 ecaa2 b2a2 1b2a272 ， ba32 ， 渐近线方程为 y bax 32 x. 由题意 ， 顶点到渐近线的距离为| 32 a|34 1 2 217 ， 解得 a 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = b 3， 双曲线的方程为 x24y23 1. 当焦点在 y 轴上时 ， 设双曲线方程为 y2a2x2b2 1(a0， b0)双曲线的离心率为 eca 1b2a2 72 ，
4、 ba 32 ， 渐近线方程为 y abx 2 33 x， 由题意可知：顶点到渐近线的距离为|a|43 1 2 217 ， 解得 a 2， b 3， 双曲线的方程为 y24x23 1. 综上可知 ， 双曲线的方程为 x24y23 1 或y24x23 1.故选 D. 8 已知点 F1， F2分别是双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点 ， 过点 F1且垂直于 x 轴的直 线与双曲线交于 A， B 两点 ， 若 ABF 2 是锐角三角形 ， 则该双曲线离心率的取值范围是( ) A (1， 3) B ( 3， 2 2) C (1 2， ) D (1， 1 2) 答案 D 解析 依题
5、意 ， 00， n0)的离心率为 2， 则椭圆 mx2 ny2 1 的离心率为 ( ) A.12 B. 63 C. 33 D.2 33 答案 B 解析 由已知双曲线的离心率为 2， 得1m1n1m 2. 解得 m 3n.又 m0， n0， mn， 即 1n1m. 故由椭圆 mx2 ny2 1， 得 y21n x21m 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所求椭圆的离心率为 e1n1m1n1n13n1n 63 . 10 已知双曲线的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离为53c(c 为双曲线的半焦距长 )， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 52
6、 B.32 C.3 55 D.23 答案 B 解析 双曲线 x2a2y2b2 1的渐近线为xayb 0， 焦点 A(c， 0)到直线 bx ay 0的距离为bca2 b2 53 c， 则 c2 a2 59c2， 得 e2 94， e 32， 故选 B. 11 (2018 成都市高三二诊 )设双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 OF1(O 为坐标原点 )为直径的圆与 PF2相切 ， 则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 6 24 C. 3 D.3 6 27 答案 D 解析 如
7、图 ， 在圆 O 中 ， F1F2为直径 ， P 是圆 O 上一点 ， 所以 PF1 PF2，设以 OF1为直径的圆的圆心为 M， 且圆 M 与直线 PF2相切于点 Q， 则 M(c2， 0)， MQ PF2， 所以 PF1 MQ， 所以|MQ|PF1|MF2|F1F2|， 即c2|PF1|3c22c， 可得 |PF1| 2c3 ， 所以 |PF2| 2c3 2a， 又 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2， 所以 4c29 (2c3 2a)2 4c2，即 7e2 6e 9 0， 解得 e 3 6 27 ， e 3 6 27 (舍去 )故选 D. 12 (2018 贵阳市高三检测 )双曲
8、线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的两条渐近线将平面划分为 “ 上、下、左、右 ” 四个区域 (不含边界 )， 若点 (2， 1)在 “ 右 ” 区域内 ， 则双曲线离 心率 e 的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A (1， 52 ) B ( 52 ， ) C (1， 54) D (54， ) 答案 B 解析 依题意 ， 注意到题中的双曲线 x2a2y2b2 1 的渐近线方程为 y bax， 且 “ 右 ” 区域是不等式组?y bax所确定 ， 又点 (2， 1)在 “ 右 ” 区域内 ， 于是有 112， 因此题中的双曲线的离心率 e 1（ ba） 2 ( 52
9、， ) ， 选 B. 13 已知曲线方程 x2 2y2 1 1， 若方程表示双曲线 ， 则 的 取值范围是 _ 答案 1 解析 方程 x2 2y2 1 1 表示双曲线 ， ( 2)( 1)0， 解 得 1. 14 (2016 北京 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条 渐近线为 2x y 0， 一个焦点为( 5， 0)， 则 a _； b _ 答案 1 2 解析 由题意知 ， 渐近线方程为 y 2x， 由双曲线的标准方程以及性质可知 ba 2， 由 c 5，c2 a2 b2， 可得 b 2， a 1. 15 (2015 课标全国 ， 文 )已知双曲线过点 (4， 3)， 且
10、渐近线方程为 y 12x， 则该双曲线的标准方程为 _ 答案 x24 y2 1 解析 方法一：因为双曲线过点 (4， 3)， 且渐近线方程为 y 12x， 故点 (4， 3)在直线y 12x 的下方设该双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 所以?42a2 （ 3） 2b2 1，ba12，解得?a 2，b 1， 故双曲线方程为x24 y2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 方法二：因为双曲线的渐近线方程为 y 12x， 故 可设双曲线为 x24 y2 (0) ， 又双曲线过点 (4， 3)， 所以 424 ( 3)2 ， 所以 1， 故双曲线方程为 x24 y2 1.
11、 16 (2018 湖南长沙模拟 )P 是双曲线 C： x22 y2 1 右支上一点 ， 直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线 ， P 在 l 上的射影为 Q， F1是双曲线 C 的左焦点 ， 则 |PF1| |PQ|的最小值为 _ 答案 2 2 1 解析 设右焦点为 F2， |PF1| |PF2| 2 2， |PF1| |PF2| 2 2， |PF1| |PQ| |PF2| 2 2 |PQ|.当且仅当 Q， P， F2 三点共线 ，且 P 在 F2， Q 之间 时 ， |PF2| |PQ|最小 ， 且 最小值为 F2到 l 的距离 由题意得 l 的方程为 y 12x， F2( 3， 0)，
12、F2到 l 的距离 d 1， |PQ| |PF1|的最小值为 2 2 1. 17.如图所示 ， 双曲线的中心在坐标原点 ， 焦点在 x 轴上 ， F1， F2分别为左、右焦点 ， 双曲线的左支上有一点 P， F1PF2 3 ，且 PF1F2的面积为 2 3，又双曲线的离心率为 2， 求该双曲线的方程 答案 3x22 y22 1 解析 设双曲线的方程为 x2a2y2b2 1， F1( c， 0)， F2(c， 0)， P(x0， y0) 在 PF 1F2中 ， 由余弦定理 ， 得 |F1F2|2 |PF1|2 |PF2|2 2|PF1| |PF2| cos 3 (|PF1| |PF2|)2 |P
13、F1| |PF2|. 即 4c2 4a2 |PF1| |PF2|. 又 S PF1F2 2 3， 12|PF1| |PF2| sin 3 2 3. |PF1| |PF2| 8. 4c2 4a2 8， 即 b2 2. 又 e ca 2， a2 23. 所求双曲线方程为 3x22 y22 1. 18 (2018 上海崇明一模 )已知点 F1， F2为双曲线 C： x2 y2b2 1 的左、右焦点 ， 过 F2作垂直于 x 轴的直线 ， 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M， MF1F2 30 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求双曲线 C 的方程； (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作
14、该双曲线两条渐近线的垂线 ， 垂 足分别为 P1， P2， 求 PP1 PP2的值 答案 (1)x2 y22 1 (2)29 解析 (1)设 F2， M 的坐标分别为 ( 1 b2， 0)， ( 1 b2， y0)(y00)， 因为点 M 在双曲线 C 上 ， 所以 1 b2 y02b2 1， 则 y0 b2， 所以 |MF2| b2. 在 Rt MF2F1中 ， MF1F2 30， |MF2| b2， 所以 |MF1| 2b2. 由双曲线的定义可知： |MF1| |MF2| b2 2，故双曲线 C 的方程为 x2 y22 1. (2)由条件可知：两条渐近线分别为 l1： 2x y 0， l2
15、： 2x y 0. 设双曲线 C 上的点 P(x0， y0)两条渐近线的夹角为 ， 由题意知 cos 13.则点 P 到两条渐近线的距离分别为 |PP1| | 2x0 y0|3 ， |PP2| | 2x0 y0|3 . 因为 P(x0， y0)在双曲线 C： x2 y22 1 上 ， 所以 2x02 y02 2. 所以 PP1 PP2 | 2x0 y0|3 | 2x0 y0|3 cos |2x02 y02|3 1329. 1 (2015 广东 ， 理 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1 的离 心率 e54， 且其右焦点为 F2(5， 0)， 则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x24y23 1 B.x29y216 1 C.x216y29 1 D.x23y24 1 答案 C 解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5， 0)， 所以 c 5. 因为离心率 e ca 54， 所以 a 4. 又 a2 b2 c2， 所以 b2 9. 故双曲 线 C 的方程为 x216y29 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 若双曲线 x2a2y2b2 1 的离心率为 3， 则其渐近线方程为 ( ) A y 2x B y 2x C y 12x D y 22 x 答案 B 解析 由离心率为 3， 可知 c 3a， b 2a. 渐近线方程为 y bax 2x， 故选B.
