1、3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求抛物线标准方程1.抛物线的定义 概念形成2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0) Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ()(2)y4x2的焦点坐标为(1,0) ()(3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x24y (
2、)2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D83抛物线x4y2的准线方程是()Ay By1Cx Dx4抛物线y4ax2(aR且a0)的焦点坐标为_一、问题导学我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线抛物线如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线
3、，这条曲线就叫做抛物线比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 同椭圆双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程。建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。抛物线的标准方程有哪些不同的形式？ 二、典例解析例1. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时
4、，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与的几何意义跟踪训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点例2. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标典例解
5、析求解抛物线实际应用题的步骤跟踪训练2.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值跟踪训练1准线与x轴垂直，且经过点(1，)的抛物线的标准方程是()Ay22xBy22x Cx22y Dx22y2过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A圆 B椭圆 C直线 D抛物线3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_4如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它
6、到焦点的距离为10，求点M的坐标6.若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程参考答案：知识梳理1提示(1)(2)(3)2C由y28x得p4，即焦点到准线的距离为4.3C由x4y2得y2x，故准线方程为x.4把方程化为标准形式为x2y，所以焦点在y轴上，坐标为.学习过程一、问题导学如图所示，以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2设M x,y是抛物线上一点，则M到F的距离为MF=(x-p2)2+y2, 则M到直线l的距离为x+p2,所以(x-p2)2+y2=x+p2上式两边平方，整理可得y2=2
7、 p x 二、典例解析例1. 思路探究.解(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0)又2，2p8，故所求抛物线的标准方程为x28y. (2)点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y中，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.跟踪训练1 解(1)因为抛物线的准线
8、交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y. (3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，
9、3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.例2. 解：（1）以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，设抛物线的方程为y22px（p0），代入点（0.5，2.4），可得2.422p0.5，解得p5.76，即抛物线的方程为y211.52x，焦点为（2.88，0）；（2）设抛物线的方程为y22mx（m0），代入点（0.5，2.6），可得2.622m0.5，解得m6.76，即有抛物线的方程为y213.52x，焦点为（3.38，0）跟踪训
10、练2. 解以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示设抛物线方程为x22py(p0)AB是OD的4倍，点B的坐标为.由点B在抛物线上，得2p，p.抛物线方程为x2ay.设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2ay，得0.82ay0，y0，点E到拱底AB的距离h|y0|，令h3，则3，解得a6或a6(舍去)a的最小整数值为13.达标检测1B由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则()2a，解得a2，因此抛物线的标准方程为y22x，故选B.2 D由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.3 6由抛物线的方程得2，再根据抛物
11、线的定义，可知所求距离为426.4 2建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米5 解由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9,6)或(9，6)6. 解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)
