1、6 2 等差数列 第一章 集合与常用逻辑用语 第六章 数 列 1. 等差数列的定义 一般地 ， 如果一个数列从第 2 项起 ， 每一项与它的前一项的 _ _ _ _ 等于同一个 _ _ _ ， 那么这个数列就叫做等差数列 ， 这个常数叫做等差数列的_ _ _ ， 通常用字母 d 表示 ， 即 _ _ _ _ d ( n N ， 且 n 2 ) 或 _ _ _ d ( n N ) 2 等差中项 三个数 a ， A ， b 成等差数列 ， 这时 A 叫做 a 与 b 的 _ _ _ _ _ 3 等差数列的通项公式 若 an 是等差数列 ， 则其通项公式 an _ _ _ _. an 成等差数列 ?
2、 an pn q ， 其中 p _ _ _ _ _ ， q _ _ _ _ ， 点 ( n ，an) 是直线 _ _ _ 上一群孤立的点 单调性： d 0 时 ， an 为 _ _ _ 数列； d 0 时 ， an 为 _ _ _ _ 数列；d 0 时 ， an 为 _ _ _ _ 4 等差数列的前 n 项和公式 ( 1 ) 等差数列前 n 项和公式 Sn _ _ _ _ _ _ _ _. 其推导方法是 _ _ _ _ ( 2 ) an 成等差数列 ， 求 Sn的最值： 若 a1 0 ， d 0 ， 且满足? an_ _ _ ，an1_ _ _时 ， Sn最大； 若 a1 0 ， d 0 ，
3、且满足? an_ _ _ ，an1_ _ _时 ， Sn最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值 5 等差数列的性质 ( 1 ) am an _ _ _ _ d ， 即 d am anm n. ( 2 ) 在等差数列中 ， 若 p q m n ， 则有 ap aq am _ _ _ ；若 2 m p q ， 则有 _ _ _ am apaq( p ， q ， m ， n N*) 但要注意：在等差数列 an kn b 中 ， 若 m p q ， 易证得 am ap aq成立的充要条件是 b 0 ，故对一般等差数列而言 ， 若 m p q ， 则 am ap aq并不一定成立 ( 3 ) 若
4、 an ， bn 均为等差数列 ， 且公差分别为 d1， d2， 则数列 pan ， an q ， an bn 也为 _ _ _ _ _ 数列 ，且公差分别为 _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ ， _ _ _ _ . ( 4 ) 在等差数列中 ， 按序等距离取出 若干项也构成一个等差数列 ， 即 an， anm， an2 m， ? 为等差数列 ， 公差为 md . ( 5 ) 等差数列的前 n 项和为 Sn， 则 Sn， S2 n Sn， S3 n S2 n， ? 为等差数列 ， 公差为 n2d . ( 6 ) 若等差数列的项数为 2 n ， 则有 S 偶 S 奇 nd ，S 奇S 偶a
5、nan1. 自查自纠 1 差 常数 公差 an an1an1 an2 等差中项 3 a1 ( n 1 ) d d a1 d y dx ( a1 d ) 单调递增 单调递减 常数列 4 ( 1 )n （ a1 an）2na1n （ n 1 ） d2倒序相加法 ( 2 ) 0 0 0 0 5 ( 1 )( m n ) ( 2 ) an2 ( 3 ) 等差 pd1d1d1 d2( 2016 全国卷 ) 已知等差数列 a n 前 9 项的和为 27 ，a 10 8 ， 则 a 100 ( ) A 100 B 99 C 98 D 97 解： 由题意得? 9 a 1 9 82 d 27 ，a 1 9 d
6、8 ，解得? a 1 1 ，d 1 ，所以 a 100 a 1 99 d 9 8. 故选 C . 在等差数列 a n 中 ， a 3 a 9 27 a 6 ， S n 表示数列 a n 的前 n 项和 ， 则 S 11 ( ) A 18 B 99 C 1 98 D 297 解： 因为 a 3 a 9 27 a 6 ， 2 a 6 a 3 a 9 ， 所以 3 a 6 27 ，所以 a 6 9 ， 所以 S 11 112( a 1 a 11 ) 11 a 6 9 9. 故选 B . 在等差数列 a n 中 ， a 1 29 ， S 10 S 20 ， 则数列 a n 的前 n 项和 S n 的最
7、大值为 ( ) A S 15 B S 16 C S 15 或 S 16 D S 17 解： 因为 a 1 29 ， S 10 S 20 ， 所以 10 a 1 10 92d 20 a 1 20 192d ， 解得 d 2 ， 所以 S n 29 n n （ n 1 ）2 ( 2 ) n2 30 n ( n 15 )2 225. 所以当 n 15 时 ， S n 取得最大值 故选 A . ( 2015 广东 ) 在等差数列 a n 中 ， 若 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 25 ， 则 a 2 a 8 _ _ _ _. 解： 因为 a n 是等差数列 ， 所以 a 3 a 7 a 4
8、a 6 a 2 a 8 2 a 5 ， a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 5 a 5 25 ， 得a 5 5 ， a 2 a 8 2 a 5 10. 故填 10 . ( 2016 江苏 ) 已 知 a n 是等差数列 ， S n是其前 n 项和 若 a 1 a22 3 ， S 5 10 ， 则a 9 的值是 _ _ _ _ 解： 设公差为 d ， 则由题意可得 a 1 ( a 1 d )2 3 ， 5 a 1 10 d 10 ， 解得 a 1 4 ， d 3 ，则 a 9 4 8 3 20 . 故填 20 . 类型一 等差数列的判定与 证明 数列 an 满足 a1 1 ， a2 2 ， an 2 2 an 1 an 2. ( 1 ) 设 bn an 1 an， 证明 bn 是等差数列； ( 2 ) 求 an 的通项公式
