第3讲 不等式与基本不等式 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第第3讲讲 不等式与基本不等式不等式与基本不等式一、知识点详解一、知识点详解知识点知识点1 不等式的性质不等式的性质1、性质 1：若ba，那么ab；反之若ab，则ba 2、性质 2：若cbba,，那么ca 3、性质 3：若ba，那么cbca4、性质 4：若0,cba，那么bcac；若若0,cba，那么bcac 5、性质 5：若dcba,，那么dbca6、性质 6：若0,0dcba，那么bdac 7、性质 7：若,0ba那么nnba)2,(nNn8、若0,0cba，那么bcac知识点知识点2 基本不等式基本不等式1、若2,0,0baabba则叫做基本不等式当且仅当ba 时候，等号成立ab称为几何平均数，2ba称为代数平均是2、不等式常见结论：2222babaab知识点知识点3 二次函数、一元二次方程与不等式关系二次函数、一元二次方程与不等式关系1、一元二次不等式解法、一元二次不等式解法2、二次函数，一元二次方程与不等式关系二次函数，一元二次方程与不等式关系二、例题解析二、例题解析例 1：不等式性质例 1：不等式性质（1）下列命题中正确的是()A若0ab，ab，则11abB若ab，则22acbcC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则abcd【答案】A【解析】解：0ab，ab，11ababab，11ba，故A正确；取0c，可排除B，D；由ab，cd，可知adbc，故C错误 故选：A【题干】（2）若a，b，cR，给出下列命题：若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd；若ab，0c，则acbc其中正确命题的序号是()ABCD【答案】B【解析】解：ab，cd，由不等式的可加性得acbd，故正确；由正确，可知不正确；取42，13 ，则4(1)(2)(3)不成立，故不正确；ab，0c，acbc故正确综上可知：只有正确例例 2：基本不等式：基本不等式（1）已知0a，0b，若6ab，则ab的最大值为【答案】9【解析】解：0a，0b，6ab，62abab ，9ab，当且仅当3ab时，等号成立故答案为：9（2）设0ab，则下列不等式中正确的是()A2abababB2abaabbC2abaabbD2ababab【答案】B【解析】解：令1a，4b则 2ab，522ab，51242 2abaabb 故选：B（3）已知0a，0b，且满足1ab，则14ab的最小值为()A7B9C4D42 2【答案】B【解析】解：因为0a，0b，且1ab，所以144()()59baababab，当且仅当12,33ab时，等号成立故选：B（4）已知2x ，则12xx的最小值为()A12B1C2D0【答案】D【解析】解：2x，则11122 2(2)20222xxxxxx，当且仅当1x 时取等号12xx的最小值为 0例例 3：二次函数、一元二次方程与不等关系：二次函数、一元二次方程与不等关系（1）等式220 xmxn的解集是|3x x 或2x ，则m，n的值分别是()A2，12B2，2C2，12D2，12【答案】D【解析】解：不等式220 xmxn的解集是|3x x 或2x ，一元二次方程220 xmxn的两个根为 3，2由根与系数关系得：232232mn ，解得：2m ，12n （2）二次不等式20axbxc的解集是全体实数的条件是()A00a B00a C00a D00a【答案】B【解析】解：二次不等式20axbxc的解集是全体实数，00a，（3）解关于x的不等式220(0)axxaa【答案】综上，当1a 时，解集为R 当1a 时，解集为|1x x 当10a 时，解集为211|ax xa 或211axa 当0a时，解集为|0 x x 【解析】解：（1）当0a时，有20 x，即0 x（2）当0a时，244a当0，即1a 时，xR 当0，即1a 时，1x 当0，即10a 时，方程220axxa两根2111|axa 或2211axa 且12xx，所以2xx或1xx 三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1、下列命题中，正确的是()A若acbc则abB若acbc则abC若ab，则ccabD若22acbc，则ab2若0 x，0y，且1xy，则11xy的最小值为()A2B32C4D22 23.若0a，0b，且4ab，则下列不等式恒成立的是()A112abB111abC2abD22118ab4.已知实数0a，0b，11111ab，则2ab的最小值是()A3 2B2 2C3D25.已知210a ，关于x的不等式22450 xaxa的解集是()A|5x xa或xa B|5 xaxa C|5x xa或xa D|5xaxa B 类B 类6、已知a，b，c满足cba且0ac，则下列选项中一定成立的是()AabacB()0c baC22cbabD()0ac ac7若023x，则(32)x x的最大值为()A916B94C2D988已知0a，0b，12abab，则ab的最小值为()A2B2C2 2D49若正数a，b满足：121ab，则2112ab的最小值为()A2B2C2 2D110.若正数m，n满足35mnmn，则34mn的最小值为()A245B285C6D5C 类C 类11若正数x，y满足210 xy，则2xyxy的最小值为()A1B7C8D912、已知x，y，z为正实数，则222xyyzxyz的最大值为()A2 35B22C45D2313函数24813(1)6(1)xxyxx 的最小值是()A1B32C2D314已知关于x的不等式268 0kxkxk 对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A01kB01k C0k 或1k D0k或1k15、已知实数m，(0,)n且1mn，则4133mnmn的最小值为_四、课后作业四、课后作业A 类A 类1.已知实数m，n满足10mn，则22mn的最小值为()A22B12C1D22若0 x，0y 且4xy，则下列不等式中恒成立的是()A114xyB111xyC2xyD114xy3已知0a，0b，且31ab，则43ab的最小值是4设0 x，若1axx恒成立，则a的取值范围是()A1(4，)B1(2，)C(1,)D(2,)5已知x，y均为正实数，且2762xyxy，则3xy的最小值为B 类B 类6.已知0 x，0y，且280 xyxy，则xy的最小值为7.已知正实数a，b满足11ab，则4ba的最小值为8已知ab，1ab，则22abab的最小值是()A2 2B2C2D19已知不等式2230 xx的解集为A，不等式260 xx的解集为B，不等式20 xaxb的解集为AB，则(ab)A3B1C1D3C 类C 类10已知不等式201xx的解集为|x axb，点(,)A a b在直线10mxny 上，其中0mn，则21mn的最小值为()A4 2B8C9D1211若正数a，b满足111ab，则41611ab的最小值为()A16B25C36D4912设0ab，则211()aaba ab的最小值是()A1B2C3D413.设0a，0b，21ab，则22(4)(1)abab的最小值为第3讲 不等式与基本不等式一、知识点详解知识点1 不等式的性质1、性质 1：若ba，那么ab；反之若ab，则ba 2、性质 2：若cbba,，那么ca 3、性质 3：若ba，那么cbca4、性质 4：若0,cba，那么bcac；若若0,cba，那么bcac 5、性质 5：若dcba,，那么dbca6、性质 6：若0,0dcba，那么bdac 7、性质 7：若,0ba那么nnba)2,(nNn8、若0,0cba，那么bcac知识点2 基本不等式1、若2,0,0baabba则叫做基本不等式当且仅当ba 时候，等号成立ab称为几何平均数，2ba称为代数平均是2、不等式常见结论：2222babaab知识点3 二次函数、一元二次方程与不等式关系1、一元二次不等式解法2、二次函数，一元二次方程与不等式关系二、例题解析例 1 1：不等式性质（1）下列命题中正确的是()A若0ab，ab，则11abB若ab，则22acbcC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则abcd【答案】A【解析】解：0ab，ab，11ababab，11ba，故A正确；取0c，可排除B，D；由ab，cd，可知adbc，故C错误 故选：A【题干】（2）若a，b，cR，给出下列命题：若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd；若ab，cd，则acbd；若ab，0c，则acbc其中正确命题的序号是()ABCD【答案】B【解析】解：ab，cd，由不等式的可加性得acbd，故正确；由正确，可知不正确；取42，13 ，则4(1)(2)(3)不成立，故不正确；ab，0c，acbc故正确综上可知：只有正确例例 2：基本不等式：基本不等式（1）已知0a，0b，若6ab，则ab的最大值为【答案】9【解析】解：0a，0b，6ab，62abab ，9ab，当且仅当3ab时，等号成立故答案为：9（2）设0ab，则下列不等式中正确的是()A2abababB2abaabbC2abaabbD2ababab【答案】B【解析】解：令1a，4b则 2ab，522ab，51242 2abaabb 故选：B（3）已知0a，0b，且满足1ab，则14ab的最小值为()A7B9C4D42 2【答案】B【解析】解：因为0a，0b，且1ab，所以144()()59baababab，当且仅当12,33ab时，等号成立故选：B（4）已知2x ，则12xx的最小值为()A12B1C2D0【答案】D【解析】解：2x，则11122 2(2)20222xxxxxx，当且仅当1x 时取等号12xx的最小值为 0例 3：二次函数、一元二次方程与不等关系（1）等式220 xmxn的解集是|3x x 或2x ，则m，n的值分别是()A2，12B2，2C2，12D2，12【答案】D【解析】解：不等式220 xmxn的解集是|3x x 或2x ，一元二次方程220 xmxn的两个根为 3，2由根与系数关系得：232232mn ，解得：2m ，12n （2）二次不等式20axbxc的解集是全体实数的条件是()A00a B00a C00a D00a【答案】B【解析】解：二次不等式20axbxc的解集是全体实数，00a，（3）解关于x的不等式220(0)axxaa【答案】综上，当1a 时，解集为R 当1a 时，解集为|1x x 当10a 时，解集为211|ax xa 或211axa 当0a时，解集为|0 x x 【解析】解：（1）当0a时，有20 x，即0 x（2）当0a时，244a当0，即1a 时，xR 当0，即1a 时，1x 当0，即10a 时，方程220axxa两根2111|axa 或2211axa 且12xx，所以2xx或1xx 三、课堂练习A 类A 类1、下列命题中，正确的是()A若acbc则abB若acbc则abC若ab，则ccabD若22acbc，则ab【答案】D【解析】解：对于A，若acbc，不知道c正负，故不能判断a与b的大小，故错误，对于B，若acbc，不知道c是否为 0，故不能判断a与b的大小，故错误，对于C，不知道c的情况，故不能判断其大小，故错误，对于D，若22acbc，20c，故正确故选：D2若0 x，0y，且1xy，则11xy的最小值为()A2B32C4D22 2【答案】C【解析】解：1xy111111()1()()2xyxyxyxyxyyx 又0 x，0y 112224xyxyxyyxyx 当1xyxyyx，即12xy时取得最小值 43.若0a，0b，且4ab，则下列不等式恒成立的是()A112abB111abC2abD22118ab【答案】D【解析】解：0a，0b，且4ab，2()42abab，114ab，故A不成立；1141abab，故B不成立；2ab，故C不成立；4ab，4ab，1628ab，2221111()21628abababab，故D成立4.已知实数0a，0b，11111ab，则2ab的最小值是()A3 2B2 2C3D2【答案】B【解析】解：实数0a，0b，11111ab，则112(1)12(1)12(1)2(1)()322 2111111babaababababab，当且仅当12(1)21ab 时取等号2ab的最小值是2 2B 类B 类5.已知210a ，关于x的不等式22450 xaxa的解集是()A|5x xa或xa B|5 xaxa C|5x xa或xa D|5xaxa【答案】C【解析】解：不等式22450 xaxa可化为(5)()0 xa xa；方程(5)()0 xa xa的两根为15xa，2xa，且210a ，12a，5aa；原不等式的解集为|5x xa，或xa 6、已知a，b，c满足cba且0ac，则下列选项中一定成立的是()AabacB()0c baC22cbabD()0ac ac【答案】A【解析】解：a，b，c满足cba且0ac，0ca 由此知A选项abac正确，由于()0c ba知B选项不正确，由于2b可能为 0，故C选项不正确，由于0ac，0ac，故()0ac ac，所以D不正确 故选：A7若023x，则(32)x x的最大值为()A916B94C2D98【答案】D【解析】解：023x，320 x，0 x，211(322)9(32)(32)2()2228xxx xxx，当且仅当322xx，即34x 时取等号 32)x x 的最大值为988已知0a，0b，12abab，则ab的最小值为()A2B2C2 2D4【答案】灵 C【解析】解：0a，0b，1 2122aba bab，2 2abab，即2 2ab 9若正数a，b满足：121ab，则2112ab的最小值为()A2B2C2 2D1【答案】A【解析】解：正数a，b满足121ab，21aba，由201aba可得10a ，2121212121aabaa21122(1)aaaa2121221212aaaa当且仅当2112aa即3ab时取等号 故选：A10.若正数m，n满足35mnmn，则34mn的最小值为()A245B285C6D5【答案】D【解析】解：正数m，n满足35mnmn，315mnmn，即13155nm，1334(34)()55mnmnnm3941213312255555555mnmnnmnm，当且仅当31255mnnm即1m且12n 时取等号，C 类C 类11若正数x，y满足210 xy，则2xyxy的最小值为()A1B7C8D9【答案】D【解析】解：正数x，y满足210 xy，即21xy21222(2)()55229xyxyx yxyxyyxyxy x，当且仅当13xy时取等号12、已知x，y，z为正实数，则222xyyzxyz的最大值为()A2 35B22C45D23【答案】B【解析】解：22122xyxy，22122zyyz，222222()xyzxyyzxyyz，22222xyyzxyz，当且仅当22xzy时取等号，故222xyyzxyz的最大值为22，13函数24813(1)6(1)xxyxx 的最小值是()A1B32C2D3【答案】C【解析】解：令1xt，由1x 可得0t，2248134(1)8(1)131919(4)2 426(1)666xxttyttxttt当且仅当94tt即32t 即12x 时取得最小值 214已知关于x的不等式268 0kxkxk 对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A01kB01k C0k 或1k D0k或1k【答案】A【解析】解：当0k 时，不等式268 0kxkxk 化为8 0恒成立，当0k 时，不等式268 0kxkxk 不能恒成立，当0k 时，要使不等式268 0kxkxk 恒成立，需22364(8)0kkk，解得01k，15、已知实数m，(0,)n且1mn，则4133mnmn的最小值为【答案】94【解析】解：令3mnx，3mny，则4xy，41411 41149()()(5)33444yxxymnmnxyxyxy，当且仅当2xy，4xy，即84,33xy，即51,66mn时等号成立四、课后作业A 类A 类1.已知实数m，n满足10mn，则22mn的最小值为()A22B12C1D2【答案】B【解析】解：22222()mnmn的22()mnmn222()122mnmn，故选：B2若0 x，0y 且4xy，则下列不等式中恒成立的是()A114xyB111xyC2xyD114xy【答案】D【解析】若0 x，0y 且4xy，则114xy，故A错误；22112xyxy，当且仅当2xy时成立，则111xy，故B错误；42xyxy，当且仅当2xy时取“”，故2xy，故C错误；2xy，得：04xy，即114xy，故D正确，3已知0a，0b，且31ab，则43ab的最小值是【答案】25【解析】4343()(3)ababab，1231231313225babaabab，当且仅当123baab且31ab即15b，25a 时取等号，此时取得最小值 254设0 x，若1axx恒成立，则a的取值范围是()A1(4，)B1(2，)C(1,)D(2,)【答案】A【解析】解：设0 x，若1axx恒成立，则：20 xxa，即211()024xa，104a，解得：14a，B 类B 类5已知x，y均为正实数，且2762xyxy，则3xy的最小值为【答案】2【解析】解：2762xyxy，则21772 6622yx，2212232233(3)()(7)(72)272 672 672 6xyxyxyxyyxyxyx，当且仅当23xyyx时取等号，故3xy的最小值为 2，6.已知0 x，0y，且280 xyxy，则xy的最小值为【答案】64【解析】解：0 x，0y，280 xyxy，282 168xyxyxyxy，8xy，64xy当且仅当416xy时取等号故xy的最小值为 647.已知正实数a，b满足11ab，则4ba的最小值为【答案】9【解析】解：0a，0b，且11ab，101ba，01a，则44141()(1)11baaaaaaa4(1)591aaaa，当且仅当4(1)1aaaa即23a 时取得最小值 98已知ab，1ab，则22abab的最小值是()A2 2B2C2D1【答案】A【解析】解：222()22ababababababab，ab0ab22abab2()()2 2abab（当2ab时等号成立）9已知不等式2230 xx的解集为A，不等式260 xx的解集为B，不等式20 xaxb的解集为AB，则(ab)A3B1C1D3【答案】A【解析】解：由题意：|13Axx，|32Bxx，|12ABxx，由根与系数的关系可知：1a ，2b ，10已知不等式201xx的解集为|x axb，点(,)A a b在直线10mxny 上，其中0mn，则21mn的最小值为()A4 2B8C9D12【答案】C【解析】解：不等式20(2)(1)01xxxx，解得21x 2a，1b 点(2,1)A 在直线10mxny 上，化为21mn0mn，212122(2)()55229nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当13mn时取等号 21mn的最小值为 9C 类C 类11若正数a，b满足111ab，则41611ab的最小值为()A16B25C36D49【答案】A【解析】解：由111ab得，(1,1)1ababa，4164164416(1)216(1)161111111aaaabaaaa，当且仅当416(1)1aa即32a 时取等号，32a时41611ab取最小值 16，12设0ab，则211()aaba ab的最小值是()A1B2C3D4【答案】C【解析】解：21111()4()()aaba ababa ababa ab当且仅当11()()ababa aba ab取等号即222ab取等号211()aaba ab的最小值为 413.设0a，0b，21ab，则22(4)(1)abab的最小值为42 5【答案】42 5【解析】解：0a，0b，21ab，则222222(4)(1)44aba bababab，2(2)44abababab，45ababab，54 42 5abab，当且仅当5ab 时取等号，此时取得最小值42 5