1、2020.11新课程标准新课程标准核心素养核心素养1.1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点；数学抽象数学抽象2.了解函数零点与方程解的关系了解函数零点与方程解的关系；数学抽象数学抽象3.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理.逻辑推理逻辑推理情境引入情境引入 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道知道一元二次方程的实数根一元二次方程的实数根就是相应就是相应二次函数的零点二次函数的零点.例如，方程例如，方程x212x2
2、00的解为的解为x12，x210，,则二次函数则二次函数f(x)=y=x212x+20的零点就是的零点就是2和和10 xyo210在图像上显示为在图像上显示为画出下列函数的图象(1)f(x)=x1 f(x)=x22x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x 1 f(x)=log2x1x,11,1x xx21-1-2120yx-121-1-2120yx-121-1-2120yx-1思考：当函数和思考：当函数和x轴有交点时，轴有交点时，其交点横坐标与方程其交点横坐标与方程 f(x)=0的的解有什么关系？解有什么关系？如图为函数如图为函数 在在 上的图象：上的图象：f x4,4xyo1-2
3、243-3-1-4问题问题1：根据函数的图象，你能否得出方程：根据函数的图象，你能否得出方程 的实根？的实根？x=-3，x=-1，x=2问题问题2：你认为：你认为方程方程f(x)=0的实根的实根和对应函数的图象和对应函数的图象与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标有什么关系？有什么关系？方程方程f(x)=0的实数根的实数根 函数函数y=f(x)图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数零点的定义函数零点的定义:与二次函数与二次函数的零点一样，对于一般函数的零点一样，对于一般函数 y=f(x)，我们把使得，我们把使得 f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点.知识点一知
4、识点一 这样，函数这样，函数y=f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函的实数解，也就是函数数y=f(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.所以：所以：方程方程f(x)=0有实数解有实数解函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数y=f(x)的图像与的图像与x轴有交点轴有交点思考思考(1)函数的零点是点吗？函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、轴的交点个数、方程方程f(x)0根的个数有什么关系？根的个数有什么关系？数值上相等数值上相等 存在性相同存在性相同 个数相等个数相等函数的零点不是点，而是
5、实数函数的零点不是点，而是实数零点的定义给出了求解函数零点的基本方法零点的定义给出了求解函数零点的基本方法(1)代数法：代数法：若方程若方程 f(x)=0可解，其实数根就是函数可解，其实数根就是函数y=f(x)的零点的零点.(2)图像法：图像法：若方程若方程f(x)=0 难以直接求解，将其改为难以直接求解，将其改为f(x)=g(x)-h(x)=0 ,进一步改为进一步改为g(x)=h(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数，在同一坐标系中分别画出两个函数y=g(x)和和 y=h(x)的图像，两图像交点的横坐标就是函数的图像，两图像交点的横坐标就是函数 y=f(x)的零点的零点.1.函数 的零点是（
6、）(6)(1)yxxA.（1,0）或（）或（6,0）B.x=6 C.（6,0）D.1和和6 2.求下列函数的零点求下列函数的零点.(1)()21f xx2(2)()lg(22)f xxx12-1，3 以二次函数以二次函数 f(x)=x2-2x-3为例为例,观察它的图象观察它的图象,发现它在区间发现它在区间2,4上有零点。上有零点。这时，函数图象与这时，函数图象与x轴有什么关系轴有什么关系?在区间在区间-2,0上是否也有这种关系上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，再任
7、意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法的取值刻画这种关系的方法.可以发现，在零点附近，函数图象是可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断连续不断的，并且的，并且“穿过穿过”x轴。函数在端点轴。函数在端点x=2和和x=4的取值异号，即的取值异号，即 f(2)f(4)0,函数函数 f(x)=x2-2x-3在在区间区间(2,4)内有零点内有零点x=3,它是方程它是方程x2-2x-3=0的一的一个根。个根。21-1-2120yx3-14-2同样地，同样地，f(-2)f(0)0，函
8、数，函数f(x)=x2-2x-3在在(-2,0)内有零点内有零点x=-1,它是方程它是方程x2-2x-3=0的另一个根。的另一个根。观察函数的图象观察函数的图象在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；f(a)f(b)_0（或）（或）在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点；f(b)f(c)_ 0（或）（或）在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；f(c)f(d)_ 0（或）（或）bac0yxd有有有有有有21-1-2120yx3-14-2知识点知识点二二 函数零点存在定理函数零点存在定理如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是
9、连续不断连续不断的一条曲线，的一条曲线，且有且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，内有零点，即即存在存在 c (a,b)，使得，使得 f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程 f(x)=0 的解的解。思考思考1：如果函数：如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上有上有 f(a)f(b)0，那么函数那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内是否一定有零点是否一定有零点？ab0yx思考思考2：如果函数：如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上上是连续不断连续不断的一条曲线，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内
10、是否一定有零点？是否一定有零点？ab0yx“在给定区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a)f(b)0”这两个条件缺一不可这两个条件缺一不可思考思考3：如果函数：如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上是一条连续不断的曲线，且上是一条连续不断的曲线，且在区间在区间(a,b)内内有零点有零点，是否一定有，是否一定有f(a)f(b)0？abxy0“在给定区间在给定区间a,b上连续上连续”和和“f(a)f(b)0”这两个这两个条件是条件是函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必充分不必要条件。要条件。问题问题4 如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是
11、连续不断连续不断的一条的一条曲线，且有曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数，那么函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，内有零点，但但是否只有一个零点是否只有一个零点呢？呢？ab0yx函数零点存在定理可以函数零点存在定理可以证明函数有零点，证明函数有零点，但但不能判定零点的个数不能判定零点的个数。例例1 已知函数已知函数f(x)=lnx+2x6，能判断出函数零点大致在哪个区，能判断出函数零点大致在哪个区间上吗？间上吗？x1 2 3456789f(x)-4 4-1.3069-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解：解：
12、用计算工具作出用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象x0246105y241086121487643219由函数零点存在定理可由函数零点存在定理可知，这个函数在区间知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点内至少有一个零点。1函数函数f(x)x2log2x，则，则f(x)的零点所在区间为的零点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析解析f(1)1log211，f(2)log221，f(1)f(2)0，2.f(x)lnxx39的零点所在的区间为的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析解析f(1)1980，f(2)l
13、n289ln210，f(2)f(3)0，函数函数f(x)的零点所在的区间为的零点所在的区间为(2,3)例2.如何求方程lnx+2 x6=0实数解的个数？解：函数f(x)=lnx+2 x6的定义域为(0,+)y=lnx和y=2x-6在(0,+)上都是增函数，f(x)=lnx+2x-6在(0,+)上是增函数，又f(2)=ln2+2 260,函数在定义域(0,+)内仅有一个零点方程lnx+2 x6=0实数解的个数化成f(x)=lnx和f(x)=-2x+6图像交点的个数？思考思考21-1-2120yx3-1y=lnxy=2x+6函数零点存在定理的推论：如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的的,并且在闭区间并且在闭区间的两个端点上的函数值的两个端点上的函数值互异，互异，即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那么，这个函数在那么，这个函数在(a,b)内必有内必有惟一的一个零点惟一的一个零点。CD310yx
