1、1.4.1 充分条件和必要条件问题问题1 1：在初中，我们学习过什么是命题？命题通常写成什么形：在初中，我们学习过什么是命题？命题通常写成什么形式？什么是真命题和假命题？你能举例说明吗？式？什么是真命题和假命题？你能举例说明吗？l 真命题和假命题：判断为真的语句是真命题；判断为假的语真命题和假命题：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题句是假命题.l 命题的形式：命题的形式：“若若p p，则，则q q”的形式是数学命题的一般形式，的形式是数学命题的一般形式，其中称其中称p p为命题的条件，称为命题的条件，称q q为命题的结论。为命题的结论。复习概念复习概念l 命题：把用语言、符号或式子
2、表达的，可以判断真假的陈命题：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题；述句称为命题；如：（如：（1 1）同位角相等，两直线平行。）同位角相等，两直线平行。（2 2）两直线平行，同位角相等。）两直线平行，同位角相等。问题问题2 2：下列：下列“若若p p，则，则q q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假真假？你是如何判断一个命题的真假的？是假真假？你是如何判断一个命题的真假的？(1)(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；若平行四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；(2)(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；若
3、两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)(3)若若x x2 2-4x+3=0-4x+3=0，则，则x=1x=1；(4)(4)若平面内两条直线若平面内两条直线a,ba,b都垂直于直线都垂直于直线l l，则，则a/b.a/b.概念引入概念引入“若若p p，则，则q”q”为真命题，是指有为真命题，是指有条件条件p p通过推理可以得出通过推理可以得出结论结论q q，记作：记作：pq称称p p是是q q的的充分条件充分条件，q q为为p p的的必要条件必要条件。理解：理解：1.1.分清条件分清条件p p与结论与结论q q；2.2.条件条件p p推出结论推出结论q q，条件，条件p p是结论是结论
4、q q充分条件充分条件.定义概念定义概念(1)(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；若平行四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；理解理解概念概念结论结论q“q“这个四边形是菱形这个四边形是菱形”是条件是条件p“p“平行四边形的对角线互相垂平行四边形的对角线互相垂直直”的的必要条件必要条件。条件条件p“p“平行四边形的对角线互相垂直平行四边形的对角线互相垂直”是结论是结论q“q“这个四边形是菱这个四边形是菱形形”的的充分条件充分条件。(4)(4)若平面内两条直线若平面内两条直线a,ba,b都垂直于直线都垂直于直线l l，则，则a/b.a/b.真命题真命题真命题真命题条件条
5、件p“p“平面内两条直线平面内两条直线a,ba,b都垂直于直线都垂直于直线l”l”是结论是结论q“a/b”q“a/b”的的充充分条件分条件。结论结论q“a/b”q“a/b”是条件是条件p“p“平面内两条直线平面内两条直线a,ba,b都垂直于直线都垂直于直线l”l”是的是的必要条件必要条件。“若若p p，则，则q”q”为真命题，是指有为真命题，是指有条件条件p p通过推理可以得出通过推理可以得出结论结论q q，记作：记作：pq称称p p是是q q的的充分条件充分条件，q q为为p p的的必要条件必要条件。理解概念理解概念l 若若p p成立，则成立，则q q一定成立；一定成立；显然：对于显然：对于
6、p p是是q q的充分条件来讲的充分条件来讲l 若若q q不成立，则不成立，则p p一定不成立。一定不成立。q q成立是成立是p p成立成立必不可少必不可少的条的条件，称为必要条件。件，称为必要条件。例例1 1 下列下列“若若p,p,则则q”q”形式的命题中，哪些命题中的形式的命题中，哪些命题中的p p是是q q的充分的充分条件？条件？(1)(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.(2)(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似.(3)(3)若四边形是菱形，则这个四边形的
7、对角线互相垂直若四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.(4)(4)若若x x2 2=1=1，则，则x=1.x=1.(5)(5)若若a=ba=b，则，则ac=bc.ac=bc.(6)(6)若若x,yx,y是无理数，则是无理数，则xyxy是无理数是无理数.关键：认清关键：认清“p p是是q q的充分条件的充分条件”这句话中谁是条件，谁是结论！这句话中谁是条件，谁是结论！举例分析举例分析例例1 1 下列下列“若若p,p,则则q”q”形式的命题中，哪些命题中的形式的命题中，哪些命题中的p p是是q q的充分的充分条件？条件？(1)(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形若四边形
8、的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.思考：例思考：例1 1中中(1)(1)给出了给出了“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”的一个充分条的一个充分条件，即件，即“四边形的两组对角分别相等四边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一，这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件？吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件？如：如：若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形.若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形.若四边形的两
9、条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.“若若p p，则，则q”q”形式的命题为真命题时，命题中形式的命题为真命题时，命题中p p是是q q的充分条件。的充分条件。反思小结反思小结即：即：q q的充分条件并不一定唯一。的充分条件并不一定唯一。是指由条件是指由条件p p可以推出结论可以推出结论q q，但这并不意味着只能由这个条件，但这并不意味着只能由这个条件p p才能推出结论才能推出结论q.q.例例1 1 下列下列“若若p,p,则则q”q”形式的命题中，哪些命题中的形式的命题中，哪些命题中的p p是是q q的充分的充分条件？条件？(1)(
10、1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形.如：如：若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形.若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形.若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.这些都是平行四边形的判定定理，每一个判定定理都给出这些都是平行四边形的判定定理，每一个判定定理都给出了了“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”的一个的一个
11、充分条件充分条件，即这个条件，即这个条件能充能充分保证分保证四边形是平行四边形。四边形是平行四边形。数学中的每一条数学中的每一条判定定理判定定理都给出了相应数学结论成立的一个都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。充分条件。思思 考：考：从集合角度如何理解从集合角度如何理解p p是是q q的充分条件？的充分条件？A=x|x A=x|x满足条件满足条件p B=x|xp B=x|x满足条件满足条件qq则集合则集合A,BA,B间的关系如何？间的关系如何？AB 例例2 2：下列下列“若若p,p,则则q”q”形式的命题中，哪些命题中的形式的命题中，哪些命题中的q q是是p p的必的必要条件？要条件？(1
12、)(1)若若四边形是平行四边形，则这个四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等四边形的两组对角分别相等.(2)(2)若若两个三角形相似，则这两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例两个三角形的三边成比例.(3(3）若）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形四边形是菱形.(4)(4)若若x=1x=1，则，则x x2 2=1=1.(5)(5)若若ac=bcac=bc，则，则a=ba=b.(6)(6)若若数数xyxy是无理是无理数，则数，则x,yx,y是无理数是无理数.例例2 2 中中(1)(1)给出了给出了“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”的一
13、个必要条件，即的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗？如果这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件？不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件？如：如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.“若若p p，则，则q”q”形式的命题为真命
14、题时，命题中形式的命题为真命题时，命题中q q是是p p的必要条件。的必要条件。反思小结反思小结即：即：p p的必要条件并不一定唯一。的必要条件并不一定唯一。是指以是指以p p为条件为条件可以推出结论可以推出结论q q，但这并不意味着由条件，但这并不意味着由条件p p只能推只能推出结论出结论q.q.例例2 2 中中(1)(1)若若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形是平行四边形。四边形。如：如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且
15、相等若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.这些都是平行四边形的性质定理，每一个性质定理都给出这些都是平行四边形的性质定理，每一个性质定理都给出了了“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”的一个的一个必要条件。必要条件。数学中的每一条数学中的每一条性质定理性质定理都给出了相应数学结论成立的一个都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。必要条件。练习练习1 1：若两个角是对顶角，则这两个角相等：若两个角是对顶角，则这两个角相等。巩 固 提 高巩 固 提 高l 对顶角的性质定
16、理对顶角的性质定理l“这两个角相等这两个角相等”是是“两个角是对顶角两个角是对顶角”的必要条件的必要条件体会性质定理与必要条件的关系体会性质定理与必要条件的关系变式变式：若：若两个角相等，则这两个角相等，则这两个角是对顶角两个角是对顶角。l 假命题假命题l“两个角相等两个角相等”就不是就不是“两个角是对顶角两个角是对顶角”的充分条件的充分条件练习练习2 2：若平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形：若平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形l 矩形的判定定理矩形的判定定理l“平行四边形的对角线相等平行四边形的对角线相等”是是“这个平行四边形是矩形这个平行四边形是矩形”的充分条件的
17、充分条件体会判定定理与充分条件的关系体会判定定理与充分条件的关系1.1.课本课本P20P20练习练习2.2.已知已知p:1x3p:1x3，则，则p p的一个充分是的一个充分是 .(.(写出一写出一个正确的就可以个正确的就可以)3.3.已知已知p:1x3p:1x3，q:-axa+1q:-axa+1，若，若p p是是q q的必要条件，则实数的必要条件，则实数a a的的取值范围是取值范围是 .课堂练习课堂练习1.1.初步理解充分条件、必要条件的含义；初步理解充分条件、必要条件的含义；课堂小结课堂小结2.2.体会判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的关系；体会判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的关系；3.3.初步使用初步使用“充分条件充分条件”“”“必要条件必要条件”逻辑用语梳理初中所学逻辑用语梳理初中所学过的数学知识，进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素过的数学知识，进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。养。
